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Chapitre I
Fonction quantile
Hypothèses 1
F est la fonction de répartition d'une probabilité µ sur R.
Dénition 2
On appelle fonction quantile de µ l'inverse généralisée de F , i.e. l'application G dénie sur
]0, 1[ et à valeurs dans R dénie par :
∀α ∈]0, 1[
G(α) = inf{t ∈ R : F (t) ≥ α}.
0.6
4
0.8
6
1.0
La gure de gauche est le graphe de la fonction de répartition F d'une probabilité µ sur
R, celle de droite la fonction quantile G de µ. On constate que les sauts (resp. les paliers) de F
se transforment en paliers (resp. sauts) de G.
●
y
2
0.4
y
●
0.2
0
●
0.0
−2
●
−2
0
2
4
6
x
a) G est croissante et continue à gauche
F [G(α)] ≥ α et F [G(α)−] ≤ α
c) si F est continue
∀α ∈]0, 1[
0.2
0.4
0.6
x
Propriété 3
b) ∀α ∈]0, 1[
0.0
F [G(α)] = α
0.8
1.0
Preuve
b) Par dénition de G on a pour tout n ≥ 1 F [G(α) + n1 ] ≥ α et F [G(α) − n1 ] < α ; par
passage à la limite on obtient les inégalités de b).
a) G est croissante par dénition. Soit α ∈]0, 1[ et soit b = lim G(α − n1 ) ≤ G(α). Par b)
n→∞
F [G(α− n1 )] ≥ α− n1 , si bien que par passage à la limite on obtient soit F (b) ≥ α, soit F (b−) ≥ α.
Dans les deux cas F (b) ≥ α, ce qui implique G(α) ≤ b; par conséquent G(α) = lim G(α − n1 ),
n→∞
ce qui établit la continuité à gauche de G.
c) résulte immédiatement de b).
Remarque 4
La propriété b) ci-dessus montre que G(α) est la borne inférieure de l'ensemble {F ≥ α},
autrement dit qu'on a l'équivalence
α ≤ F (t) ⇐⇒ G(α) ≤ t
donc aussi l'équivalence
F (t) < α ⇐⇒ t < G(α)
D'où le corollaire suivant.
Corollaire 5
Pour tout réel
t {G ≤ t} =]0, F (t)] si F (t) < 1 et {G ≤ t} =]0, 1] si F (t) = 1.
Proposition 6
Soit U une variable aléatoire réelle dénie sur (Ω, F, P ), à valeurs dans ]0, 1[ et de loi U0,1 .
La variable aléatoire G ◦ U a pour loi la probabilité µ. De façon équivalente la variable G, dénie
sur l'intervalle ]0, 1[ muni de la mesure de Lebesgue, a pour loi µ.
Preuve
D'après la première équivalence de la remarque 4 on a les égalités
{G ◦ U ≤ t} = {ω ∈ Ω : G[U (ω)] ≤ t} = {ω ∈ Ω : U (ω) ≤ F (t)} = {U ≤ F (t)},
si bien que P (G ◦ U ≤ t) = P (U ≤ F (t)) = F (t), puisque la loi de U est la loi uniforme sur
l'intervalle ]0, 1[. La variable G ◦ U possédant la même fonction de répartition que µ, la loi de
G ◦ U est µ.
Corollaire 7
Soit F une application de R dans R, croissante, continue à droite et vériant
lim F (x) = 0 et lim F (x) = 1. Il existe une unique probabilité µ dont la fonction de
x→−∞
x→+∞
répartition est l'application F .
Preuve
La proposition précédente montre que si G est l'inverse généralisé de F et si U est une
variable aléatoire réelle à valeurs dans ]0, 1[ et de loi U0,1 , la loi µ de la variable G ◦ U est une
probabilité de fonction de répartition F . L'unicité résulte du théorème de Dykin.
Corollaire 8
Soit F une application de R dans R, croissante, continue à droite et à valeurs dans un
intervalle [u, v]. Il existe une unique mesure nie µ sur R telle que pour tout réels x et y vériant
x≤y
µ(]x, y]) = F (y) − F (x).
Preuve
Soit a = lim F (x) et b = lim F (x).
x→−∞
x→+∞
Si a = b, alors F = 0 et la mesure nulle convient.
−a
Si a 6= b, l'application Fb−a
vérie les hypothèses du corollaire 7. Soit µ l'unique probabilité
−a
sur R de fonction de répartition Fb−a
, et soit ν = (b − a)µ. Pour x ≤ y ∈ R
h F (y) − a F (x) − a i
ν(]x, y]) = (b − a)µ(]x, y]) = (b − a)
−
= F (y) − F (x).
b−a
b−a
L'unicité résulte du théorème de Dykin.
Proposition 9
Soit X une variable aléatoire réelle dénie sur (Ω, F, P ), de loi µ et de fonction de répartition
F . Si F est continue, la variable F ◦ X a pour loi U0,1 .
Preuve
Puisque lim F (x) = 0 et lim F (x) = 1, pour tout réel x ∈]0, 1[ l'ensemble {F = x}
x→−∞
x→+∞
est par continuité de F un intervalle non vide [a, b], a ≤ b. Le réel b vérie à la fois F (b) = x et
{F ≤ x} =] − ∞, b]. On en déduit les égalités
{F ◦ X ≤ x} = {X ≤ b}
et
P (F ◦ X ≤ x) = P (X ≤ b) = F (b) = x,
ce qui prouve que la variable F ◦ X a pour loi U0,1 .