TS3 nom:................ le 8/02/2017 DS ( 1h) Exercice 1: (3,5 points) Résoudre dans ℝ : e2 x+4 a) −x+7 ⩾e e b) e 2 x +5e x −6=0 Exercice 2: (7,5 pts) Partie A Soit g définie sur ℝ par : g ( x ) =( 2 x+1 ) e 2 x −2 1°) Étudier les limites de g en −∞ et en +∞ . 2°) a) Calculer la dérivée de g puis tracer son tableau de variations complet. b) Justifier que l'équation g ( x ) =0 admet sur ℝ une unique solution α . c) A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de α d' amplitude 10−2 . d) Donner le tableau de signe de la fonction g . 3°)Soit G ( x ) = x e 2 x −2 x définie sur ℝ. Justifier que G est une primitive de g . Exercice 3: ( 9 points) Une épidémie touche 20% d'une population. Un test de dépistage de la maladie a été mis au point mais il n'est pas parfait. On suppose que toute la population est testée : • Si un individu est touché par la maladie le test est négatif dans 0,5% des cas. • Si un individu n'est pas touché par la maladie, le test est positif dans 2% des cas. On choisit une personne au hasard dans la population et on note : M l’événement la personne est atteinte par le virus. P l’événement : le test est positif. 1°) Donner pM ( P ) . 2°) Calculer la probabilité que la personne soit malade et ait un test négatif. 3°) Représenter cette situation par un arbre pondéré. 4°) On décide de donner un traitement à tous les individus ayant un test positif. a) Montrer que la probabilité qu'une personne reçoive le traitement est 0,215. b) Calculer la probabilité qu'un personne reçoive le traitement à tort ? 5°) On prélève un échantillon de 20 personnes, ce tirage est assimilé à un tirage avec remise. On note X le nombre de personnes ayant reçu un traitement dans cet échantillon. a) Quelle est la loi de X ? ( justifier) b) Calculer la probabilité pour qu'au moins une de ces personnes ait reçu un traitement. c) Calculer la probabilité pour qu'exactement 5 personnes aient reçu le traitement. d) Calculer l’espérance de X et interpréter cette valeur. correction : Exercice 1 : e2 x+4 2 x+ 4− (− x+7) =e3 x−3 donc l'inéquation équivaut à e 3 x−3⩾e1 ⇔ 3 x−3⩾1 a) −x+7 =e e 4 4 S = ;+∞ ⇔ x⩾ 3 3 [ [ b) On pose X =e x alors e 2 x = X 2 et l'équation équivaut à : X 2 +5 X −6=0 Δ=52 −4× (−6 ) =49=7 2 donc deux racines pour le trinôme : −5−7 −5+7 X 1= =1 et X 2= =−6 soit 2 2 ⇔ x=0 ou e x =−6 ( impossible car pour tout x , e x >0 ) donc S={0} e x =1 Exercice 2 : 1°) En - ∞ : g ( x ) = 2 x e 2 x +e 2 x −2 X e X =0 donc lim 2 x e2 x =0 par croissance comparée Xlim →−∞ x →−∞ X 2x lim e =0 donc lim e =0 . Enfin par somme lim f ( x ) =−2 x →−∞ X →−∞ x →−∞ X 2x e =+∞ donc lim e =+∞ En + ∞ : Xlim →+∞ x →+∞ lim 2 x+1=+∞ donc lim ( 2 x+1 ) e 2 x =+∞ . Enfin par somme lim f ( x ) =+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ 2°) a) g ' ( x ) =2e 2 x+ ( 2 x+1 ) ×2 e 2 x = ( 4 x+4 ) e 2 x Pour tout réel x e 2 x >0 donc g ' ( x ) est du signe de 4 x+4 : 4 x+4>0 ⇔ x>−1 et g (−1 ) =−e−2 −2 x signe de g' −∞ +∞ -1 + − +∞ -2 g −2 −e −2 b) *sur ]- ∞ ;-1] g est majorée par -2 donc l'équation g ( x ) =0 n'admet pas de solution. *sur [-1;+ ∞ [ : g est continue strictement croissante et 0 est compris entre g (−1 ) et lim f ( x ) donc d'après le TVI l'équation g ( x ) admet une unique solution α . x →+∞ En conclusion l'équation g ( x ) =0 admet une unique solution sur ℝ . d) x -∞ - ∞ α g ( x) - 0 + 3°) Il suffit de dériver G : G est dérivable sur ℝ , et pour tout réel x , 2x 2x 2x 2x 2x G' ( x )=1×e + x×( 2e )−2=e +2 x e −2=( 1+2 x ) e −2= g ( x ) donc G est bien une primitive de g . Exercice 3 : 1°) P M ( P ) est la probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade. le pourcentage associé est 100−0 , 5=99,5 soit une probabilité P M ( P ) =0,995 2°) P ( M ∩ P ) =P ( M ) P M ( P )=0,2×0,005=0,001 3°) 4°)a) M et M forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales : P ( P ) = P ( M ) P M ( P )+ P ( M ) P M =0,2×0,995+0,8×0,02=0,215 b) Attention ici à l'interprétation de l'énoncé , la phrase sous entend que la personne a reçu un traitement ( le test est donc positif), on veut donc connaître la probabilité que ce traitement ait été administré à tort (la personne n'est donc pas malade) : P ( M ∩ P ) 0,8×0,02 P P ( M )= = ≈0,0744 P ( P) 0,215 5°) a) Quand on choisit une personne au hasard il y a deux issues possibles, c'est donc une épreuve de Bernoulli dont l’événement succès est : « la personne a reçu un traitement » . Le choix des 20 personnes s'effectue de manière identique et indépendante ( tirage avec remise) donc X suit une loi binomiale de paramètres n=20 et p=0,214 . b) P ( X ⩾1 ) =1− P ( X =0 ) =1−( 1−0,214 ) 20≈0,9921 c) A l'aide de la calculatrice P ( X =5 ) ≈0,18866 d) E ( X )=n p=20×0,215=4 , 3 interprétation : si on répète un grand nombre de fois l'expérience, il y aura en moyenne 4,3 personnes sur 20 qui auront reçu le traitement.