Vocabulaire de la logique et des ensembles

SupC2
Vocabilaire de la logique et des ensembles
1. Logique élémentaire
• une assertion (ou proposition) est un énoncé dont on peut dire si il est vrai ou faux
• la négation d’une assertion P , notée nonP , est une assertion qui est vraie si P est fausse
• (P et Q) est vraie si P et Q sont toutes les deux vraies
• (P ou Q) est vraie si au moins l’une des deux assertions est vraie
• (P ⇒ Q) si (nonP ou Q) i.e: si P est vraie alors Q est vraie
(i.e = id est = c’est à dire)
• P ⇔ Q si (P ⇒ Q et Q ⇒ P ) i.e. P et Q ont même valeur logique.
• (P ⇒ Q) ⇔ (nonQ ⇒ nonP ) (contraposée de P ⇒ Q)
Proposition:
(a) non(P et Q) ⇔ nonP ou nonQ
(b) non(P ou Q) ⇔ nonP et nonQ
(c) P ou (Q et R) ⇔ (P ou Q) et (P ou R) (distributivité du ”ou” sur le ”et”)
(d) P et (Q ou R) ⇔ (P et Q) ou (P et R)
2. Vocabulaire des ensembles
• un ensemble contient des éléments
• x ∈ E signifie: l’élément x appartient à E
• A est un sous-ensemble (ou partie) de E si pour tout x ∈ A, x ∈ E (on note A ⊂ E).
• réunion: x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B
x ∈ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ⇔ il existe k ∈ [[1, n]] tel que x ∈ Ak ([[1, n]] = {1, 2, . . . , n})
• intersection: x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A et x ∈ B
x ∈ A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ⇔ pour tout k ∈ [[1, n]], x ∈ Ak
• complémentaire:
/ A} (ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A)
si A ⊂ E A = {x ∈ E, x ∈
Proposition:
(a) A ∪ B = A ∩ B
(b) A ∩ B = A ∪ B
(c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(d) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• un couple (x, y) est la donnée de deux éléments x et y dans cet ordre
• E × F = {(x, y), x ∈ E et y ∈ F } (produit cartésien de deux ensembles)
• E p = E × E × · · · × E = {(x1 , x2 , . . . , xp ), x1 ∈ E, x2 ∈ E, . . . , xp ∈ E}
(x1 , x2 , . . . , xp ) est appelé p−uplet ou p−liste
3. Quantificateurs
• universel: ∀x ∈ E, P (x) signifie: quel que soit x ∈ E, P (x)
• existentiel: ∃x ∈ E, P (x) signifie: il existe x ∈ E tel que P (x)
• non(∀x ∈ E, P (x)) ⇔ ∃x ∈ E, nonP (x)
• non(∃x ∈ E, P (x)) ⇔ ∀x ∈ E, nonP (x)
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Cours