Vocabulaire de la logique et des ensembles

SupC2 Vocabilaire de la logique et des ensembles Cours
1. Logique ´el´ementaire
•une assertion (ou proposition) est un ´enonc´e dont on peut dire si il est vrai ou faux
•la n´egation d’une assertion P, not´ee nonP, est une assertion qui est vraie si Pest fausse
•(Pet Q) est vraie si Pet Qsont toutes les deux vraies
•(Pou Q) est vraie si au moins l’une des deux assertions est vraie
•(P⇒Q) si (nonPou Q) i.e: si Pest vraie alors Qest vraie
(i.e = id est = c’est `a dire)
•P⇔Qsi (P⇒Qet Q⇒P) i.e. Pet Qont mˆeme valeur logique.
•(P⇒Q)⇔(nonQ⇒nonP) (contrapos´ee de P⇒Q)
Proposition:
(a) non(Pet Q)⇔nonPou nonQ
(b) non(Pou Q)⇔nonPet nonQ
(c) Pou (Qet R)⇔(Pou Q) et (Pou R) (distributivit´e du ”ou” sur le ”et”)
(d) Pet (Qou R)⇔(Pet Q) ou (Pet R)
2. Vocabulaire des ensembles
•un ensemble contient des ´el´ements
•x∈Esignifie: l’´el´ement xappartient `a E
•Aest un sous-ensemble (ou partie) de Esi pour tout x∈A,x∈E(on note A⊂E).
•r´eunion:x∈A∪B⇔x∈Aou x∈B
x∈A1∪A2∪ · · · ∪ An⇔il existe k∈[[1, n]] tel que x∈Ak([[1, n]] = {1,2, . . . , n})
•intersection:x∈A∩B⇔x∈Aet x∈B
x∈A1∩A2∩ · · · ∩ An⇔pour tout k∈[[1, n]], x∈Ak
•compl´ementaire:
si A⊂E A ={x∈E, x /∈A}(ensemble des ´el´ements de Equi n’appartiennent pas `a A)
Proposition:
(a) A∪B=A∩B
(b) A∩B=A∪B
(c) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
(d) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
•un couple (x, y) est la donn´ee de deux ´el´ements xet ydans cet ordre
•E×F={(x, y), x ∈Eet y∈F}(produit cart´esien de deux ensembles)
•Ep=E×E× · · · × E={(x1, x2, . . . , xp), x1∈E, x2∈E, . . . , xp∈E}
(x1, x2, . . . , xp) est appel´e p−uplet ou p−liste
3. Quantificateurs
•universel: ∀x∈E, P (x) signifie: quel que soit x∈E, P (x)
•existentiel: ∃x∈E, P (x) signifie: il existe x∈Etel que P(x)
•non(∀x∈E, P (x)) ⇔ ∃x∈E, nonP(x)
•non(∃x∈E, P (x)) ⇔ ∀x∈E, nonP(x)
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