
propositions  assertions
 !"#$"%&'()*&+,-
*#.%&/0,-*
1!2#3.4546#####
7
$"%68&
x0

x,0
*,#
Px
0

Qx,0
 9 !"46!!.
 5 P implique Q #
.54
PQ
!
. 5!#7#
Règle1 : Pour prouver qu'une implication
PQ
est fausse il suffit de prouver que l'on peut avoir
simultanément P vraie et Q fausse .
$" . %"
x,0x
0
!"81,%
−,,0et −,0
3..#
:
non PQ≡[ P et nonQ]

''
&*1
.5%)
;%7!
x,0

4!!
!"<=
!!%!!

x,0
#
:
PQ
"
x
0⇒  x,0
%
5;..5#
 %."5"" "
A{x ; P x}

B≝{x ;Q x}
alors:
PQ≡AB
:"%
A=
]
0;
[
B=
]
;
0
[
]
0;
[
%
  
%&
n,
*#3
!> %?#48, ?8@?
8,,?4 )#3#3
#$! 
PQ
 
nonQ⇒non P

nonQ ⇒non P

PQ
Règle 2: il est équivalent de prouver une implication ou sa contraposée
Règle 3 : il y a transitivité de l'implication : si
PQ
et
QR
alors
PR
7

PQ

QP

9  #
$"%
x
0x,0
 
x,0⇒  x
0
!
$41A!! &
*#.!4&.*1 #
5
77 
:".5 #
PQ
et
QP
:
PQ
!
PQ

QP
3&. B5*&.5#5!!;
.# %
PQ
!'8(
$"%"4,   %
xy
=
x
y
xy=
3,%

 !9!! 

P
xy
=
x
y
Pxy,=
x
y
,=x,y,,
xy
xy=
xy
xy=
5C:
3 %/
a=

b=

a=b⇔a,=b,
,
x
,=x,
0
x
y
=
xy
@
x=
x
⇔x=
777& $ *& 3 * 
« et »!&B!*%.5 .5
 #!>%&"
"D* 9B!D#
$"%"
a,b,==a==et b==
 %
{x ; P xet Q x}= AB
« ou »!&*!#.5 
. 5!4.!5 .5 #$!
%.5!#
$"%,
ab==[a==oub==]

ab=⇔a=et b=
 %
{x ; P xou Q x}= AB
Règle 4 : non(P ou Q)= (nonP) et (non Q) de même non( P et Q)= (non P) ou (non Q)
$"/,E&0*!!,E.et,E
05#
,.%
=x/
. 
=xet x/
nonP=x=ou/x
7F!
/!"
" =G"G/4
&""=G"G/* #
3
∃ x:=x/
!"
 "4"%
«! n :=4Hn/4HI »
!!/
,! 
3!!&"
x,=
#*3
x; x ,=
#
.44
4! #
0!%
7!"!!!%"!#
'
non x; x=x; x=
#:9!!&") 
,=*&) ,=*
Règle 5
non x P x ∃ x nonP x
et
non ∃ x P x x nonP x
Conséquence pratique : pour prouver qu'une affirmation universelle est fausse il suffit de donner un contre-
exemple ( un exemple qui va contre!) L'affirmation « la fonction définie sur
par
fx=x,x
est paire » est
fausse . En effet
non ∀ xfx= fx∃ xf−xfx
et il suffit de prendre x=1
F
$"  %
n ;Hn,@n,0n,
3
Pn=Hn,@n,0n,

/3%
.8=
H,
8,H
@,0,=/E+=,H
3.=1 
,J
34  
K/#'
n:Pn⇒ Pn/
#
#
Hn,@n,0n,
H%
Hn0H×@n,H×0n,
#3
H×@n,@×@n,

H×0n,0×0n,


Hn0@n00n0
.K/#3 
n:Pn⇒ Pn/
0#. = 
Le principe de récurrence est donc :
Soit une propriété P(n) telle que :
a)
Pn=
est vraie et b)
nn=:PnPn/
alors
nn=: P n
1 / 3 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !