Quelques éléments de logique mathématique

propositions  assertions
 !"#$"%&'()*&+,-
*#.%&/0,-*
1!2#3.4546#####
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x,0
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P≝ x 0
Q≝ x,0
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P⇒Q
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Règle1 : Pour prouver qu'une implication
P⇒Q
est fausse il suffit de prouver que l'on peut avoir
simultanément P vraie et Q fausse .
$" . %"
x,0⇒ x 0
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−,,0et −,≤0
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non P⇒Q≡[ P et nonQ]
'≡'
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;%7!
x,0
x0
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!!%!!
x0
x,0
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:
P⇒Q
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x 0⇒  x,0
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 %."5"" "
A≝{x ; P x}
B≝{x ;Q x}
alors:
P⇒Q≡ A⊂B
:"%
A=
]
0;∞
[
B=
]
−∞ ;− 0
[
∪
]
0;∞
[
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ℕ
%&
n,
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8,,?4 )#3#3
#$! 
P⇒Q
nonQ⇒non P
nonQ ⇒non P
P⇒Q
Règle 2: il est équivalent de prouver une implication ou sa contraposée
Règle 3 : il y a transitivité de l'implication : si
P⇒Q
et
Q⇒R
alors
P⇒R
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P⇒Q
Q⇒P
9  #
$"%
x 0⇒ x,0
x,0⇒  x 0
!
$41A!! &
*#.!4&.*1 #
5

77 
:".5 #
P⇒Q
et
Q⇒P
:
P⇔Q
!
P⇒Q
Q⇒P
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.# %
P⇔Q
!'8(
$"%"4,   %
∣ xy ∣ = ∣ x ∣ ∣ y ∣ ⇔ xy≥=
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–
– !9!! 
P≝
∣
xy
∣
=
∣
x
∣ ∣
y
∣
P⇔xy,= ∣ x ∣ ∣ y ∣ ,=x,y,, ∣ xy ∣ ⇔xy= ∣ xy ∣ ⇔xy≥=
5C:
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a≥=
b≥=
a=b⇔a,=b,
,
∣ x ∣ ,=x,
0
∣
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∣∣
y
∣
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∣
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∣
@
x= ∣ x ∣ ⇔x≥=
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« et »!&B!*%.5 .5
 #!>%&"
"D* 9B!D#
$"%"
a,b,==⇔a==et b==
 %
{x ; P xet Q x}= A∩B
« ou »!&*!#.5 
. 5!4.!5 .5 #$!
%.5!#
$"%,
ab==⇔[a==oub==]
ab≠=⇔a≠=et b≠=
 %
{x ; P xou Q x}= A∪B
Règle 4 : non(P ou Q)= (nonP) et (non Q) de même non( P et Q)= (non P) ou (non Q)
$"/,E&0*!!,E.et,E
05#
,.%
=≤x≤/
. 
=≤xet x≤/
nonP= x=ou/x
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/!"
" =G"G/4
&""=G"G/* #
3
∃ x∈ℝ :=x/
∃
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«∃! n ∈ℕ:=4Hn/4HI »
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,! 
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x,≥=
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∀x∈ℝ ; x ,≥=
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'
non ∀ x∈ℝ ; x=⇔∃ x∈ℝ ; x≤=
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,=*&) ,=*
Règle 5
non ∀ x P x⇔ ∃ x nonP x
et
non ∃ x P x⇔ ∀ x nonP x
Conséquence pratique : pour prouver qu'une affirmation universelle est fausse il suffit de donner un contre-
exemple ( un exemple qui va contre!) L'affirmation « la fonction définie sur
ℝ
par
fx=x,x
est paire » est
fausse . En effet
non ∀ x∈ℝ fx= f−x⇔∃ x∈ℝ f−x≠ fx
et il suffit de prendre x=1

F
$"  %
∀n∈ℕ ;Hn,≥@n,0n,
3
Pn=Hn,≥@n,0n,
/3%
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H,
8,H
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34  
K/#'
∀n∈ℕ:Pn⇒ Pn/
#
#
Hn,≥@n,0n,
H%
Hn0≥H×@n,H×0n,
#3
H×@n,≥@×@n,
H×0n,≥0×0n,
Hn0≥@n00n0
.K/#3 
∀n∈ℕ:Pn⇒ Pn/
0#. = 
ℕ
Le principe de récurrence est donc :
Soit une propriété P(n) telle que :
a)
Pn=
est vraie et b)
∀n≥n=:Pn⇒ Pn/
alors
∀n≥n=: P n