Quelques éléments de logique mathématique

Lycée Charlemagne TS
Quelques éléments de logique mathématique
Les objets de la logique sont des propositions (on dit aussi assertions ); une proposition est un énoncé dont on
peut décider sans ambiguïté s'il est vrai ou faux . Exemples : « Le triangle ABC est isocèle » ; « le nombre 927 est
premier » . Par contre l'énoncé : « 1327 est un grand nombre » n'est pas une proposition au sens mathématique du terme
(qu'est-ce que signifie grand ?) . On notera P , Q ,R .... des propositions.
I L'implication et sa contraposée
Exemple : R = « Si x  3 alors x 23 » est une proposition composée de 2 autres propositions .
P≝ x 3 et Q≝ x 23 peuvent être chacune vraie ou fausse ( tout dépend de x ), mais R affirme que si P
est vraie alors Q est vraie; on dit aussi P implique Q .
Si P et Q sont des propositions , l'implication  P ⇒ Q  est aussi une proposition qui est fausse uniquement
si P est vraie et Q est fausse . Implique est une opération sur les propositions.
Règle1 : Pour prouver qu'une implication  P ⇒ Q  est fausse il suffit de prouver que l'on peut avoir
simultanément P vraie et Q fausse .
Exemple . L'implication : pour tout réel x  x2 3⇒  x 3 est fausse puisqu'en prenant x= -2 on a:
2
−2 3 et −2≤ 3
On note non(P) la négation de P .
Donc non P ⇒Q ≡[ P et nonQ] ( on a utilisé le signe ' ≡' pour « est synonyme de »; sous-entendu
pour toutes propositions P et Q : c'est un théorème de logique )
Condition nécessaire (CN) : Il faut que x 23 pour que l'on ait x  3 , mais ce n'est pas suffisant (il
faudrait en outre (x>0)
Condition suffisante (CS) : il suffit que x  3 pour que x 23 mais ce n'est pas nécessaire .
Donc si  P ⇒ Q (dans l'exemple  x 3 ⇒  x2 3 ) alors :
Q est une CN pour P ; P est une CS pour Q .
Lien avec les ensembles: Soit P(x) et Q(x) deux propositions dépendant d'une variables x ; on pose
A≝{x ; P  x} et B≝{x ;Q  x } alors:  P ⇒ Q ≡ A⊂ B
Dans l'exemple : A= ]  3 ;∞ [
B=]−∞ ;− 3[ ∪ ]  3 ;∞ [
Contraposée :
Supposons qu'on veuille prouver dans ℕ l'implication : « si n 2 est impair alors n est impair » . On
peut raisonner de la façon suivante : supposons n² impair . Si n est pair , n s'écrit n=2p avec p entier donc n²=4p²
=2(2p²) serait pair , ce qui est contradictoire avec l'hypothèse . On en déduit donc que n est impair . On dit qu'on a
raisonné par l'absurde. En fait au lieu de prouver  P ⇒ Q  on a prouvé  nonQ ⇒ non P 
L'implication  nonQ ⇒ non P  est la contraposée de  P ⇒ Q 
Règle 2: il est équivalent de prouver une implication ou sa contraposée
Règle 3 : il y a transitivité de l'implication : si
 P ⇒ Q  et Q ⇒ R alors  P ⇒ R
Implications réciproques
Les implications  P ⇒ Q  et  Q ⇒ P  sont réciproques l'une de l'autre mais elles n'ont pas
nécessairement les mêmes valeurs de vérité .
Exemple :  x  3⇒  x2 3 est vraie ; mais  x2 3⇒  x 3  est fausse
En maths, on n'écrit - si possible – que des affirmations vraies et on ne précise donc pas en général « est
vraie ». Si la proposition P est fausse , on écrira « non P » (sous-entendu est vraie).
II L'équivalence
Deux propositions P et Q sont équivalentes si chacune implique l'autre.  P ⇒ Q  et  Q ⇒ P 
Donc  P ⇔ Q  signifie (  P ⇒ Q  et  Q ⇒ P  )
On lit « P équivaut à Q » ou « P si et seulement si Q) . Q est une condition nécessaire et suffisante (CNS)
pour P. Lien avec les ensembles :  P ⇔ Q  signifie que A=B
Exemple: Soit x et y , 2 réels on veut prouver l'équivalence : ∣x  y∣=∣x∣∣y∣⇔ xy≥ 0 
On dispose de 2 méthodes :
– soit démontrer une implication puis ensuite sa réciproque
– soit procéder par équivalences (mais il faut être certain que toutes les affirmations sont bien équivalentes)
P≝∣x y∣=∣x∣∣ y∣
2
2
P ⇔ x  y  =∣x∣∣y∣ = x2  y2 2∣xy∣⇔ xy=∣xy∣⇔ xy ≥0 CQFD
On a utilisé les propriétés suivantes : 1) si a ≥0 et b ≥0 alors  a= b ⇔ a2 =b2 
2
2) ∣x∣ = x 2 3) ∣x∣∣ y∣=∣xy∣ et 4)  x=∣x∣⇔ x ≥0 
Soit
III « Et » ; « Ou »
« et » signifie toujours en maths « à la fois » : la proposition (P et Q) n'est vraie que si P et Q sont
simultanément vraies . Ce n'est pas toujours le cas en français : quand un cinéma annonce « réductions aux étudiants et
aux chômeurs » on peut avoir une réduction même si on n'est pas à la fois étudiant et chômeur.
Exemple : Soit a et b deux réels a 2b2 =0 ⇔ a =0  et  b=0 
Lien avec les ensembles : {x ; P  x et Q  x }= A∩B
« ou » est toujours en maths (sauf précision contraire) un « ou » inclusif . La proposition (P ou Q) est vraie
soit si P est vraie et Q fausse , soit si P est fausse et Q vraie soit si (P et Q) est vraie . Elle est donc fausse dans un
seul cas : si P et Q sont fausses .
Exemple : soit a et b 2 réels ab =0 ⇔[ a =0 ou  b =0] et  ab ≠0 ⇔ a ≠0et b≠0 
Lien avec les ensembles : {x ; P  x ou Q  x }= A∪B
Règle 4 : non(P ou Q)= (nonP) et (non Q) de même non( P et Q)= (non P) ou (non Q)
Exemples 1) le nombre 26 n'est pas « impair ou multiple de 3 » en effet 26 n'est pas impair (non P) et 26
n'est pas multiple de 3 (non Q).
nonP = x 0  ou  1 x 
2) Soit P: 0≤ x ≤1 P est une abréviation de  0 ≤ x  et  x ≤1 
IV Les quantificateurs
1) quantificateur existentiel
Si l'on ne précise pas ce qu'est x on ne peut pas se prononcer sur la validité de (0 <x<1) ; mais par contre , on
peut dire que « il existe au moins un réel x tel que 0<x<1 » est une proposition vraie .
On écrit ∃ x ∈ℝ : 0 x 1
∃ est le quantificateur existentiel
Lorsqu'on veut préciser qu'il existe un et un seul , on utilise le point d'exclamation :
« ∃ ! n ∈ℕ :0,5  n 1,5 » (en effet c'est 1)
2) quantificateur universel
On peut affirmer que « pour tout réel x x 2≥0 . » On note ∀ x∈ℝ ; x 2≥0 .
Pour tout , quelque soit, ∀ , est le quantificateur universel.
3) négation d'une proposition quantifiée :
Il est faux de dire que tous les réels sont positifs en effet : il existe des réels négatifs ou nuls .
Autrement dit non ∀ x∈ℝ ; x0⇔∃ x∈ℝ ; x≤0 . De même la négation de l'affirmation « il existe un élève de
la classe qui a plus de 20 ans » est « tous les élèves ont 20 ans au plus »
Règle 5
non ∀ x P  x⇔ ∃ x nonP  x
et
non ∃ x P  x⇔ ∀ x nonP  x
Conséquence pratique : pour prouver qu'une affirmation universelle est fausse il suffit de donner un contreexemple ( un exemple qui va contre!) L'affirmation « la fonction définie sur ℝ par f  x = x 2 x est paire » est
fausse . En effet non  ∀ x ∈ℝ f  x = f −x ⇔∃ x ∈ℝ f − x ≠ f  x  et il suffit de prendre x=1
V Le raisonnement par récurrence
n2
n2
n 2 
Exemple on veut prouver : ∀ n∈ℕ ; 5
≥4
3
n2
n2 
n2
On pose P n=5
(c'est une proposition qui dépend de n )
≥4
3
1)On commence par initialiser:
Pour n=0 52 =25 et 42 3 2=16 9=25 On a donc P(0) ( sous-entendu est vraie)
2) Hérédité
On démontre que pour tout n , si la propriété est vraie au rang n elle est également vraie au rang
(n+1). Autrement dit ∀ n ∈ℕ :  P  n ⇒ P  n 1  .
Soit n un entier . Si 5n 2 ≥ 4 n2 3n2 alors en multipliant l'inégalité par 5 on obtient :
n 3 
n2 
 n2
. Or 5×4n2 ≥4× 4n 2  et 5×3n 2 ≥3×3n2 ;
5
≥5×4
5×3
n 3 
n 3 
n3
donc 5
qui est la propriété P(n+1) . On vient d'établir ∀ n ∈ℕ :  P  n ⇒ P  n 1 
≥4
3
3) Conclusion . Puisque la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire elle est toujours vraie sur ℕ
Le principe de récurrence est donc :
Soit une propriété P(n) telle que :
a) P  n0  est vraie et
b) ∀ n≥ n 0 :  P  n ⇒ P  n1 
alors ∀ n≥ n 0 : P  n 