Aide 1 : Un peu de logique

MPSI 1Aide 1 : Un peu de logique 2012
L’objet de ce poly est de travailler et r´efl´echir sur la logique au sens math´ematique du terme, sans toutefois
entrer dans des consid´erations trop th´eoriques. Le but est de revoir les notions d’implication, d’´equivalence et
l’usage des quantificateurs. L’objectif final est d’´ecrire correctement des phrases math´ematiques.
I. Assertion, pr´edicat, quantificateurs
D´efinition 1 :
Une proposition ou assertion est une phrase `a laquelle on peut attribuer une valeur de v´erit´e (vrai ou
faux).
Un connecteur logique permet de former de nouvelles propositions `a partir des propositions P,Q,R,...
Une table de v´erit´e est un tableau indiquant si une proposition Aconstruite `a partir des propositions P,
Q,R,... est vraie ou fausse, suivant les valeurs de v´erit´e de P,Q,R,...
La logique math´ematique s’int´eresse aux propositions et aux r`egles permettant d’´etablir leurs valeurs de v´erit´e.
Exemple :
1. La n´egation : non P(not´e aussi ¯ P).
non Pd´esigne la proposition ”contraire” `a P:
non Pest vraie quand Pest fausse et fausse quand
Pest vraie.
On r´esume ceci dans la table de v´erit´e
Pnon P
V F
F V
On remarque que non(nonP) a la mˆeme table de
v´erit´e que P: on dit alors que ces deux propositions
sont logiquement ´equivalentes.
2. La conjonction :Pet Q(not´e aussi P∧Q)
Pet Qest vraie quand Pest vraie et Qest vraie,
elle est fausse sinon.
Voici sa table de v´erit´e :
P Q P etQ
V V V
V F F
F V F
F F F
D´efinition 2 :
Deux assertions Pet Qsont dites logiquement ´equivalentes lorsqu’elles ont mˆeme table de v´erit´e.
D´efinition 3 :
Un pr´edicat est d´efini sur un ensemble Eet associe `a tout ´el´ement xde Eune assertion not´ee P(x).
Exemple
”−1 est un r´eel n´egatif” est une assertion.
”P(n) : nest un entier pair” d´efinit un pr´edicat sur N.P(n) sera vrai ou faux suivant la valeur de n.
D´efinition 4 : On d´efinit deux quantificateurs
∀qui se lit ”quelque soit” ou ”pour tout” (quantificateur universel).
∃qui se lit ”il existe” (quantificateur existentiel).
Cela permet d’´enoncer des propositions faisant intervenir des pr´edicats.
Exemple
”∀x∈R, x2≥0” se lit ”pour tout xde R, on a x2sup´erieur ou ´egal `a 0” : c’est une assertion vraie.
”∃x∈R, x2+ 2 = 0” se lit ”il existe xdans Rtel que x2+ 2 est ´egal `a 0” : cest une assertion fausse.
L’assertion ”∀x∈E, P (x)” est vraie si P(x) est vraie pour tout xde E.
L’assertion ”∃x∈E, P (x)” est vraie si P(x) est vraie pour au moins un xde E.
Magali Hillairet Lyc´ee Clemenceau, Nantes

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II. Connecteurs logiques
Passons en revue les principaux connecteurs logiques et les tables de v´erit´e associ´ees.
1. La n´egation et la conjonction ont ´et´e vues en exemple.
2. La disjonction :Pou Q(not´e aussi P∨Q)
Pou Qest fausse quand Pet Qsont fausses toutes les deux , elle est vraie dans tous les autres cas.
P Q P ouQ
V V V
V F V
F V V
F F F
3. L’implication :P⇒Q
Pimplique Qest fausse quand Pest vraie et Qest fausse, elle est vraie dans tous les autres cas.
P Q P ⇒Q
V V V
V F F
F V V
F F V
En pratique, on montre qu’une implication est vraie :
- de mani`ere directe, en supposant Pvraie et en montrant que Qest alors vraie,
- par contrapos´ee, en supposant que Qest fausse et en montrant qu’alors Pest fausse,
- par l’absurde, en supposant que Pest vraie et Qest fausse et en cherchant une contradiction.
4. L’´equivalence :P⇐⇒ Q
P⇐⇒ Qest vraie quand Pet Qont les mˆemes valeurs de v´erit´e, elle est fausse dans les autres cas.
P Q P ⇐⇒ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
En pratique, on montre qu’une ´equivalence est vraie :
- par ´equivalences successives,
- par double implication,
- par double implication avec une contrapos´ee (par exemple, on montre P=⇒Qvraie et non P=⇒
non Q) .
Questions 1 :
- Montrer que P⇒Qest logiquement ´equivalent `a (nonPou Q).
- V´erifier que P=⇒Qet (nonQ=⇒nonP) ont la mˆeme table de v´erit´e.
- Montrer que P⇐⇒ Qest logiquement ´equivalent `a (P=⇒Qet Q=⇒P).
Magali Hillairet Lyc´ee Clemenceau, Nantes

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III. Dans les d´emonstrations
Pour montrer qu’une propri´et´e est vraie, on peut utiliser plusieurs m´ethodes.
-Par implication : on sait que Pest vraie. Or (P⇒Q) est vraie, donc Qest vraie.
-Par contraposition : on sait que Pest vraie et que (nonQ=⇒nonP) est vraie donc on peut conclure
que Qest vraie.
-Par l’absurde : On montre que nonPest vraie (en pratique, on suppose que Pest faux) et on aboutit
`a une contradiction. On peut en conclure que Pest vraie ! Lorsque l’on veut montrer une implication
P=⇒Qpar l’absurde, on suppose donc non(P=⇒Q)et ceci ´equivaut `a Pet nonQ: en pratique, on
suppose donc que Pest vrai et Qest faux, puis on cherche une contradiction.
Le principe de r´ecurrence permet de montrer qu’un pr´edicat P(n) est vrai pour tout nde N.
Proposition 1 : (principe de r´ecurrence)
Si P(0) est vraie et si pour tout n∈N(P(n) =⇒P(n+ 1)) est vraie, alors pour tout n∈NP(n)est vraie .
IV. Quelques r`egles :vous devez r´efl´echir `a ces quelques r`egles. Elles se d´emontrent grˆace aux tables de v´erit´e
mais vous semblent-elles coh´erentes ? Vous devez chercher des exemples et contre-exemples pour bien les comprendre,
et travailler leur formulation de diff´erentes mani`eres.
1 N´egation d’une conjonction ou d’une disjonction
•non(Pet Q) ´equivaut `a (nonPou nonQ)
•non(Pou Q) ´equivaut `a (nonPet nonQ)
2 Associativit´e
•Pet (Qet R) ´equivaut `a (Pet Q) et R
•Pou (Qou R) ´equivaut `a (Pou Q) ou R
3 Distributivit´e
•Pet (Qou R) ´equivaut `a (Pet Q) ou (Pet R)
•Pou (Qet R) ´equivaut `a (Pou Q) et (Pou R)
4 Quantificateurs
Intervertion
• ∃x, ∃y, P (x, y) ´equivaut `a ∃y, ∃x, P (x, y)
• ∀x, ∀y, P (x, y) ´equivaut `a ∀y, ∀x, P (x, y)
N∃x, ∀y, P (x, y)n’´equivaut pas `a ∀y, ∃x, P (x, y)
(par exemple, comparer les assertions suivantes :
∀x∈R,∃y∈R, x ≤yet ∃y∈R,∀x∈R, x ≤y.)
n´egation
•non(∀x, P (x)) ´equivaut `a ∃x, non(P(x))
•non(∃x, P (x)) ´equivaut `a ∀x, non(P(x))
avec et/ou
• ∀x, P (x) ou Q(x) est diff´erent de ∀x, P (x) ou ∀x, Q(x)
• ∀x, P (x) et Q(x) ´equivaut `a ∀x, P (x) et ∀x, Q(x)
• ∃x, P (x) ou Q(x) ´equivaut `a ∃x, P (x) ou ∃x, Q(x)
• ∃x, P (x) et Q(x) est diff´erent de ∃x, P (x) et ∃x, Q(x)
Quelques noms que l’on peut associer `a la logique : Auguste De Morgan (1806-1871), George Boole (1815-1864).
Magali Hillairet Lyc´ee Clemenceau, Nantes

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Exercice 1
Comment prouver ou infirmer les assertions suivantes ?
•”Tous les ´el`eves de MPSI1 ont les yeux bleus et parlent breton”.
•”Tous les ´el`eves de MPSI1 ont les yeux bleus ou ont vu un ´el´ephant”
•”Les ´el`eves de MPSI1 ont tous les yeux bleus ou ont tous vu un ´el´ephant”
•”Il existe un ´el`eve de MPSI1 qui a les yeux bleus et qui parle breton”
•”Il existe un ´el`eve de MPSI1 qui a les yeux bleus et il en existe un qui a vu un ´el´ephant”
Exercice 2
Analysez les phrases suivantes (vraies, fausses, pourquoi, traduisez-les si possible par ... implique ...) :
- Il pleut, il y a donc des nuages.
- Puisqu’il pleut, il y a des nuages.
- Si il pleut alors il y a des nuages.
- Lorsqu’il pleut il y a n´ecessairement des nuages.
- Puisque nous sommes dans la premi`ere quinzaine de septembre, l’´et´e est bientˆot fini.
- Si nous sommes dans la premi`ere quinzaine de juin alors l’´et´e est proche.
- Si le soleil existe alors il y a de la vie sur terre.
- Si le soleil est violet alors le ciel est rouge.
Exercice 3
Pour traduire que deux propositions Aet Bsont ´equivalentes, on ´ecrit A⇐⇒ Bet on peut ´enoncer : ”On a A
si et seulement si on a B” ou encore ”Pour avoir A, il est n´ecessaire et suffisant d’avoir B” . Pr´eciser en termes
d’implications ce que signifie :
•”Pour avoir A, il est n´ecessaire d’avoir B”
•”Pour avoir A, il est suffisant d’avoir B”
•”Aest une condition suffisante pour avoir B”
•”On a Asi on a B”
Exercice 4
´
Ecrire avec des quantificateurs
”Tout r´eel strictement positif, inf´erieur ou ´egal `a un, est sup´erieur ou ´egal `a son carr´e”.
Est-ce une assertion vraie ou fausse ? ´ Ecrire la n´egation de cette assertion.
Exercice 5
Voici cinq assertions :
1. ∃x∈R,∀y∈R, x2+y > 0.
2. ∀x∈R,∃y∈R, x2+y > 0.
3. ∃x∈R,∀y∈R, y2> x.
4. ∀y∈R,∃x∈R, x2+y < 0.
5. ∀y∈R,∀x∈R, x2+y > 0.
- Donner leur n´egation.
- D´eterminer si elles sont vraies ou fausses (en le
d´emontrant).
Magali Hillairet Lyc´ee Clemenceau, Nantes