Aide 1 : Un peu de logique

MPSI 1
Aide 1 : Un peu de logique
2012
L’objet de ce poly est de travailler et réfléchir sur la logique au sens mathématique du terme, sans toutefois
entrer dans des considérations trop théoriques. Le but est de revoir les notions d’implication, d’équivalence et
l’usage des quantificateurs. L’objectif final est d’écrire correctement des phrases mathématiques.
I.
Assertion, prédicat, quantificateurs
Définition 1 :
Une proposition ou assertion est une phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité (vrai ou
faux).
Un connecteur logique permet de former de nouvelles propositions à partir des propositions P , Q, R,...
Une table de vérité est un tableau indiquant si une proposition A construite à partir des propositions P ,
Q, R,... est vraie ou fausse, suivant les valeurs de vérité de P , Q, R,...
La logique mathématique s’intéresse aux propositions et aux règles permettant d’établir leurs valeurs de vérité.
Exemple :
1. La négation : non P (noté aussi P̄ ).
non P désigne la proposition ”contraire” à P :
non P est vraie quand P est fausse et fausse quand
P est vraie.
P non P
On résume ceci dans la table de vérité V
F
F
V
On remarque que non(nonP ) a la même table de
vérité que P : on dit alors que ces deux propositions
sont logiquement équivalentes.
2. La conjonction : P et Q (noté aussi P ∧ Q)
P et Q est vraie quand P est vraie et Q est vraie,
elle est fausse sinon.
P Q P etQ
V V
V
Voici sa table de vérité : V F
F
F V
F
F F
F
Définition 2 :
Deux assertions P et Q sont dites logiquement équivalentes lorsqu’elles ont même table de vérité.
Définition 3 :
Un prédicat est défini sur un ensemble E et associe à tout élément x de E une assertion notée P (x).
Exemple
”−1 est un réel négatif” est une assertion.
”P (n) : n est un entier pair” définit un prédicat sur N. P (n) sera vrai ou faux suivant la valeur de n.
Définition 4 : On définit deux quantificateurs
∀ qui se lit ”quelque soit” ou ”pour tout” (quantificateur universel).
∃ qui se lit ”il existe” (quantificateur existentiel).
Cela permet d’énoncer des propositions faisant intervenir des prédicats.
Exemple
”∀x ∈ R, x2 ≥ 0” se lit ”pour tout x de R, on a x2 supérieur ou égal à 0” : c’est une assertion vraie.
”∃x ∈ R, x2 + 2 = 0” se lit ”il existe x dans R tel que x2 + 2 est égal à 0” : cest une assertion fausse.
L’assertion ”∀x ∈ E, P (x)” est vraie si P (x) est vraie pour tout x de E.
L’assertion ”∃x ∈ E, P (x)” est vraie si P (x) est vraie pour au moins un x de E.
Magali Hillairet
Lycée Clemenceau, Nantes
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II.
2012
Connecteurs logiques
Passons en revue les principaux connecteurs logiques et les tables de vérité associées.
1. La négation et la conjonction ont été vues en exemple.
2. La disjonction : P ou Q (noté aussi P ∨ Q)
P ou Q est fausse quand P et Q sont fausses toutes les deux , elle est vraie dans tous les autres cas.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ouQ
V
V
V
F
3. L’implication : P ⇒ Q
P implique Q est fausse quand P est vraie et Q est fausse, elle est vraie dans tous les autres cas.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ⇒Q
V
F
V
V
En pratique, on montre qu’une implication est vraie :
- de manière directe, en supposant P vraie et en montrant que Q est alors vraie,
- par contraposée, en supposant que Q est fausse et en montrant qu’alors P est fausse,
- par l’absurde, en supposant que P est vraie et Q est fausse et en cherchant une contradiction.
4. L’équivalence : P ⇐⇒ Q
P ⇐⇒ Q est vraie quand P et Q ont les mêmes valeurs de vérité, elle est fausse dans les autres cas.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ⇐⇒ Q
V
F
F
V
En pratique, on montre qu’une équivalence est vraie :
- par équivalences successives,
- par double implication,
- par double implication avec une contraposée (par exemple, on montre P =⇒ Q vraie et non P =⇒
non Q) .
Questions 1 :
- Montrer que P ⇒ Q est logiquement équivalent à (nonP ou Q).
- Vérifier que P =⇒ Q et (nonQ =⇒ nonP ) ont la même table de vérité.
- Montrer que P ⇐⇒ Q est logiquement équivalent à (P =⇒ Q et Q =⇒ P ).
Magali Hillairet
Lycée Clemenceau, Nantes
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III.
2012
Dans les démonstrations
Pour montrer qu’une propriété est vraie, on peut utiliser plusieurs méthodes.
- Par implication : on sait que P est vraie. Or (P ⇒ Q) est vraie, donc Q est vraie.
- Par contraposition : on sait que P est vraie et que (nonQ =⇒ nonP ) est vraie donc on peut conclure
que Q est vraie.
- Par l’absurde : On montre que nonP est vraie (en pratique, on suppose que P est faux) et on aboutit
à une contradiction. On peut en conclure que P est vraie ! Lorsque l’on veut montrer une implication
P =⇒ Q par l’absurde, on suppose donc non(P =⇒ Q) et ceci équivaut à P et nonQ : en pratique, on
suppose donc que P est vrai et Q est faux, puis on cherche une contradiction.
Le principe de récurrence permet de montrer qu’un prédicat P (n) est vrai pour tout n de N.
Proposition 1 : (principe de récurrence)
Si P (0) est vraie et si pour tout n ∈ N (P (n) =⇒ P (n + 1)) est vraie, alors pour tout n ∈ N P (n) est vraie .
IV.
Quelques règles :
vous devez réfléchir à ces quelques règles. Elles se démontrent grâce aux tables de vérité
mais vous semblent-elles cohérentes ? Vous devez chercher des exemples et contre-exemples pour bien les comprendre,
et travailler leur formulation de différentes manières.
1 Négation d’une conjonction ou d’une disjonction
• non(P et Q) équivaut à (nonP ou nonQ)
• non(P ou Q) équivaut à (nonP et nonQ)
2 Associativité
• P et (Q et R) équivaut à (P et Q) et R
• P ou (Q ou R) équivaut à (P ou Q) ou R
4 Quantificateurs
Intervertion
• ∃x, ∃y, P (x, y) équivaut à ∃y, ∃x, P (x, y)
• ∀x, ∀y, P (x, y) équivaut à ∀y, ∀x, P (x, y)
négation
• non(∀x, P (x))
• non(∃x, P (x))
équivaut à
équivaut à
3 Distributivité
• P et (Q ou R) équivaut à (P et Q) ou (P et R)
• P ou (Q et R) équivaut à (P ou Q) et (P ou R)
N
∃x, ∀y, P (x, y) n’équivaut pas à ∀y, ∃x, P (x, y)
(par exemple, comparer les assertions suivantes :
∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x ≤ y
et
∃y ∈ R, ∀x ∈ R, x ≤ y.)
∃x, non(P (x))
∀x, non(P (x))
avec et/ou
• ∀x, P (x) ou Q(x) est différent de ∀x, P (x) ou ∀x, Q(x)
• ∀x, P (x) et Q(x) équivaut à ∀x, P (x) et ∀x, Q(x)
• ∃x, P (x) ou Q(x) équivaut à ∃x, P (x) ou ∃x, Q(x)
• ∃x, P (x) et Q(x) est différent de ∃x, P (x) et ∃x, Q(x)
Quelques noms que l’on peut associer à la logique : Auguste De Morgan (1806-1871), George Boole (1815-1864).
Magali Hillairet
Lycée Clemenceau, Nantes
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Exercice 1
Comment prouver ou infirmer les assertions suivantes ?
• ”Tous les élèves de MPSI1 ont les yeux bleus et parlent breton”.
• ”Tous les élèves de MPSI1 ont les yeux bleus ou ont vu un éléphant”
• ”Les élèves de MPSI1 ont tous les yeux bleus ou ont tous vu un éléphant”
• ”Il existe un élève de MPSI1 qui a les yeux bleus et qui parle breton”
• ”Il existe un élève de MPSI1 qui a les yeux bleus et il en existe un qui a vu un éléphant”
Exercice 2
Analysez les phrases suivantes (vraies, fausses, pourquoi, traduisez-les si possible par ... implique ...) :
- Il pleut, il y a donc des nuages.
- Puisqu’il pleut, il y a des nuages.
- Si il pleut alors il y a des nuages.
- Lorsqu’il pleut il y a nécessairement des nuages.
- Puisque nous sommes dans la première quinzaine de septembre, l’été est bientôt fini.
- Si nous sommes dans la première quinzaine de juin alors l’été est proche.
- Si le soleil existe alors il y a de la vie sur terre.
- Si le soleil est violet alors le ciel est rouge.
Exercice 3
Pour traduire que deux propositions A et B sont équivalentes, on écrit A ⇐⇒ B et on peut énoncer : ”On a A
si et seulement si on a B” ou encore ”Pour avoir A , il est nécessaire et suffisant d’avoir B” . Préciser en termes
d’implications ce que signifie :
• ”Pour avoir A, il est nécessaire d’avoir B”
• ”Pour avoir A, il est suffisant d’avoir B”
• ”A est une condition suffisante pour avoir B”
• ”On a A si on a B”
Exercice 4
Écrire avec des quantificateurs
”Tout réel strictement positif, inférieur ou égal à un, est supérieur ou égal à son carré”.
Est-ce une assertion vraie ou fausse ? Écrire la négation de cette assertion.
Exercice 5
Voici cinq assertions :
1. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x2 + y > 0.
2. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x2 + y > 0.
3. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y 2 > x.
4. ∀y ∈ R, ∃x ∈ R, x2 + y < 0.
5. ∀y ∈ R, ∀x ∈ R, x2 + y > 0.
Magali Hillairet
- Donner leur négation.
- Déterminer si elles sont vraies ou fausses (en le
démontrant).
Lycée Clemenceau, Nantes