Introduction à la logique élémentaire I. Propositions

Gaudino, casier 5 version 1.2
P.C.S.I. 834 Introduction à la logique élémentaire Lycée Masséna
I. Propositions
proposition : toute phrase mathématique (vraie ou fausse). Lorsqu’elle dépend d’une variable,
on y fait référence. Par exemple P(x) : x2= 1 ou P(x, y) : x2+y2= 1.
négation : (nonP). On la prouve en montrant que Pest fausse.
et : (Pet Q). On la prouve en montrant que les deux sont vraies.
ou : (Pou Q). On la prouve en montrant qu’au moins une des deux est vraie.
On peut aussi supposer que (par exemple) Pest fausse, et montrer alors que Qest obligatoirement
vraie.
Attention, c’est un ou inclusif : les deux peuvent être vraies en même temps.
lois de De Morgan : La proposition hnonPet Qiest logiquement équivalente à hnonPou nonQi.
La proposition hnonPou Qi est logiquement équivalente à hnonPet nonQi.
preuve par l’absurde : Pour prouver que Pest vraie, on suppose que Pest fausse, et on aboutit
à une contradiction.
Exemple d’utilisation : pour prouver qu’un ensemble est vide, on suppose qu’il ne l’est pas, on
considère un élément de cet ensemble, et on cherche une contradiction.
implication : P⇒Q: logiquement équivalente à hnonPou Qi. Pour la prouver, on suppose
Pvraie, et on montre que Qest alors vraie.
Sa négation est (Pet nonQ), ce qui peut servir par exemple pour prouver l’implication par l’absurde :
on suppose que Pest vraie et Qest fausse, et on trouve une contradiction.
réciproque : La réciproque de P⇒Qest Q⇒P. Attention, il est très fréquent qu’une assertion
soit vraie et sa réciproque fausse !
contraposée : Les assertions P⇒Qet nonQ⇒nonPsont logiquement équivalentes (la
deuxième est appelée contraposée de la première). Ne pas confondre avec la réciproque, la négation
ou avec la preuve par l’absurde !
Pour prouver P⇒Q, on peut donc supposer Qfausse, et prouver que Pest alors fausse.
équivalence : P⇔Q: logiquement équivalente à P⇒Qet Q⇒P. On peut la prouver
d’un seul coup (raisonnement par équivalences) ou, dans les cas plus difficiles, en séparant les deux
implications.
quantificateur ∀:∀x∈E, P (x). Pour la prouver, on écrit Soit xélément de Equelconque fixé.
et on conclut par Ceci pour tout xde Ed’où le résultat.
Cette phrase ∀x∈E, P (x) est en fait un abrégé de ∀x, x∈E⇒P(x). On retrouve la règle
générale pour une implication. Soit xfixé. On suppose x∈Evrai (i.e. on fixe xélément de E) et
on prouve que P(x) est vraie.
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quantificateur ∃:∃x∈E, P (x). Pour la prouver, on peut :
– cas simple : deviner le xqui vérifie que P(x) est vraie. On écrit alors Considérons x=(celui qu’on
a deviné). et prouver que P(x) est vraie (pour ce xparticulier).
– cas difficile : on ne devine pas un xqui convient. On fait alors un raisonnement par analyse-synthèse.
négation des quantificateurs : La proposition nonh∃x∈E, P (x)iest logiquement équivalente
àh∀x∈E, nonP(x)i:Pn’est jamais vérifiée
La proposition non∀x∈E, P (x)est logiquement équivalente à h∃x∈E, nonP(x)i:Pn’est pas
toujours vérifiée (mais elle peut l’être pour certaines valeurs particulières). On nie donc une assertion
du type ∀x . . . en cherchant un contre-exemple.
quantificateurs ∃!:∃!x∈E, P (x) signifie : il existe un unique x∈Equi vérifie P(x). On
peut :
– si l’existence est déjà acquise, et pour ne prouver que l’unicité : supposer qu’il existe deux éléments
xet yqui vérifient la propriété, et prouver que x=y;
– si l’existence est déjà acquise, et pour ne prouver que l’unicité : supposer qu’il existe deux éléments
xet ydistincts qui vérifient la propriété, et aboutir à une contradiction ;
– dans le cas d’une preuve de l’existence par analyse-synthèse : l’analyse prouve souvent l’unicité.
II. Ensembles
appartenance et inclusion : Un élément xd’un ensemble Eappartient à E: on note x∈E.
Un sous-ensemble (ou sous-partie) Fde Eest dit être inclus dans E: on note F⊂E.
complémentaire : si Fest un sous-ensemble de E, son complémentaire Fest l’ensemble des
éléments de Equi ne sont pas dans F.
réunion et intersection : si Fet Gsont des sous-ensembles de E,
– intersection : F∩G(Finter G) est l’ensemble des éléments qui sont dans Fet dans G;
– (ré)union : F∪G(Funion G) est l’ensemble des éléments qui sont dans Fou dans G;
–F∩G=F∪Get F∪G=F∩G.
inclusion d’ensembles : Pour prouver F⊂E, on doit prouver l’implication ∀xx∈F⇒x∈
E. On rédige donc ainsi : Soit xun élément de Ffixé quelconque. et on prouve que xappartient à
E.
égalité d’ensembles : E=Fsignifie E⊂Fet F⊂E. On la prouve soit directement (cas
simples), soit par double-inclusion.
exemples :
– le vide Ø qui ne contient aucun élément ;
– les singletons qui contiennent un seul élément qu’on appelle ici x. On note l’ensemble sous la forme
{x};
– les paires qui contiennent deux éléments distincts qu’on appelle ici x1et x2. On note l’ensemble
sous la forme {x1, x2}ou {x2, x1}, l’ordre n’ayant pas d’importance. Attention à ne pas confondre
avec le couple (x1, x2) ;
– l’ensemble E×Fdes couples dont l’abscisse est un élément de E, et l’ordonnée un élément
de F;
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– l’ensemble des xéléments de Equi vérifient la propriété P(x) se note {x∈E/P (x)}dans cet
ordre. Le / se lit tel que. On peut le remplacer par une virgule, deux points, . . .
– voir aussi les images directes ;
– l’ensemble de toutes les sous-parties d’un ensemble Eest appelé ensemble des parties de E, noté
P(E). C’est le seul type d’ensemble (pour nous) dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles :
F⊂E⇔F∈ P(E)
III. Relations binaires sur un ensemble
Si Eest un ensemble et Rune relation binaire sur E, on dit que la relation Rest :
– réflexive lorsque ∀x∈E xRx ;
– transitive lorsque ∀(x, y, z)∈E3(xRy et yRz)⇒xRz ;
– antisymétrique lorsque ∀(x, y)∈E2(xRy et yRx)⇒x=y;
– symétrique lorsque ∀(x, y)∈E2(xRy ⇒yRx) ;
– totale lorsque ∀(x, y)∈E2(xRy ou yRx) ;
– d’ordre lorsqu’elle est réflexive, transitive, et antisymétrique (exemples : l’ordre sur E=R, l’in-
clusion sur P(E)) ;
– d’équivalence lorsqu’elle est réflexive, transitive, et symétrique (exemples : l’égalité sur tout en-
semble, la congruence sur les réels).
Si E1et E2sont deux ensembles, et que Rest une relation binaire entre E1et E2, on dit que c’est
une fonction lorsque pour tout élément xde E1, il existe un unique élément yde E2tel que xRy. On
note alors cet unique ysous la forme f(x).
IV. Fonctions
Soit fune fonction définie sur l’ensemble E1, à valeurs dans l’ensemble E2. Pour x∈E1,f(x) est
appelée image de x(elle existe et est unique).
Pour y∈E2, les xde E1tels que f(x) = ysont appelés les antécédents de y. Il peut n’y en avoir
aucun, un seul, plusieurs,. . .
fonction identitié : Soit Eun ensemble. La fonction (E−→ E
x7−→ xest appelée fonction
identité sur E, notée IdE.
image directe : Si F1est un sous-ensemble de E1, son image directe, notée f(F1), est l’ensemble
des images de tous les xde F1.f(F1) est un sous-ensemble de E2, et pas un élément de E2.
f(F1) = {f(x)∈E2/x ∈F1}
image réciproque : Si F2est un sous-ensemble de E2, son image réciproque, notée f−1(F2),
est l’ensemble des antécédents de tous les yde F2.f−1(F2) est un sous-ensemble de E1, parfois vide.
f−1(F2) = {x∈E1/f(x)∈F2}
surjection : Une fonction telle que f(E1) = E2(et pas seulement ⊂E2) est dite surjective.
Pour prouver cela, on peut :
– prouver l’inclusion E2⊂f(E1) (l’autre inclusion est automatique) ;
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– montrer que tout élément de E2admet au moins un antécedent ;
∀y∈E2,∃x∈E1y=f(x)
– montrer que, pour tout choix de y∈E2, l’équation f(x) = yd’inconnue x∈E1admet au moins
une solution.
injection : Une fonction est dite injective lorsque
∀(x, y)∈E2
1,f(x) = f(y)⇒x=y
L’implication réciproque est systématiquement vérifiée.
Pour prouver cela, on peut :
– utiliser la définition ;
– prouver sa contraposée ∀(x, y)∈E2
1,x6=y⇒f(x)6=f(y);
– montrer que tout élément de E2admet au plus un antécedent ;
– montrer que, pour tout choix de y∈E2, l’équation f(x) = yd’inconnue x∈E1admet au plus
une solution.
bijection : Une fonction à la fois injective et surjective est dite bijective.
Pour prouver cela, on peut :
– prouver séparément les deux propriétés ;
– montrer que tout élément de E2admet exactement un antécedent ;
∀y∈E2,∃!x∈E1y=f(x)
– montrer que, pour tout choix de y∈E2, l’équation f(x) = yd’inconnue x∈E1admet une unique
solution. Le cas échéant, une formule explicite qui donne cette solution xen fonction de ydonne
la réciproque de f.
réciproque : Lorsqu’une fonction fest bijective, il existe une (unique) fonction, notée f−1,
également bijective, définie sur E2, à valeurs dans E1, qui vérifie
f◦f−1=IdE2et f−1◦f=IdE1
Réciproquement, si il existe une fonction gdéfinie sur E2, à valeurs dans E1qui vérifie f◦g=
IdE2et g◦f=IdE1alors fest bijective de réciproque g.
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