IMPLICATIONS I) Réciproque d`une implication: Nous avons

IMPLICATIONS
I) Réciproque d'une implication:
Nous avons vu que l'équivalence se compose de deux implications, l'ordre des propositions étant changé.
Q  P est l'implication réciproque de P  Q
Démontrer une équivalence revient donc à démontrer une implication et sa réciproque.
Remarque: vous avez déjà rencontré ce mot pour les applications ou transformations
la réciproque de la translation t de vecteur  v est la translation notée t– 1de vecteur –  v
M a pour image N par t équivaut à N a pour image M par t – 1
Vous remarquez la similitude.
II) Négation d'une implication:
on a vu que P  Q n'est fausse que dans un cas: P vraie avec Q fausse
donc sa négation n'est vraie que dans ce cas: P vraie avec nonQ vraie, ce qui correspond à la table de vérité de Pet(nonQ)
conclusion: la négation de P  Q est Pet(nonQ).
III) Contraposée: La contraposée de P  Q est (nonQ)  (nonP)
Intérêt: une implication et sa contraposée sont équivalentes.
Vérification:
P  Q est fausse dans un seul cas:
P vraie avec Q fausse, ce qui correspond à (nonQ) vraie avec (nonP) fausse d'où (nonQ)  (nonP) est fausse elle aussi
réciproquement: si (nonQ)  (nonP) est fausse alors nonQ est vraie avec nonP fausse
donc Q est fausse avec P vraie , on en déduit que P  Q est fausse
conclusion: P  Q fausse équivaut à (nonQ)  (nonP) fausse
Ces deux propositions sont donc équivalentes. Pour démontrer une implication, on peut démontrer sa contraposée
ex: Un nombre premier est-il impair?
On connaît 2 qui est à la fois pair et premier mais qu'en est-il des autres nombres premiers?
On pose la question: soit un naturel n 2, si n est premier, est-il impair? Cet énoncé est de la forme P  Q avec
P dont l'énoncé est: n est un nombre premier et Q dont l'énoncé est: n est impair; n étant un naturel.
Sa contraposée est: si n n'est pas impair alors n n'est pas premier. Ce qui est très facile à démontrer:
si n n'est pas impair alors n est pair c'est-à dire divisible par 2, comme n 2,on en déduit que n n'est pas premier
car il a au moins 3 diviseurs: 1; 2 et lui-même.
Conclusion: tout nombre premier différent de 2 est impair.
LE POINT SUR QUELQUES TYPES DE RAISONNEMENTS
Pour démontrer qu'une implication est vraie:
on suppose P vraie et on démontre qu'alors Q l'est aussi
ou on démontre de la même façon sa contraposée
Pour démontrer une équivalence:
on raisonne par équivalences successives
on procède en deux temps: on démontre une implication puis sa réciproque
Pour démontrer qu'une proposition Q est vraie:
on choisit une proposition P que l'on sait vraie (parmi les données)
puis on démontre que P  Q est vraie (en utilisant des implications connues)
Si elle concerne tous les naturels d'un sous-ensemble de N, on peut aussi utiliser la récurrence.
Pour démontrer qu'une proposition P (présentée ou non sous forme d'une implication) est fausse:
on peut utiliser un raisonnement par l'absurde en supposant qu'elle est vraie et à l'aide d'implications successives,
on arrive à une contradiction ou une absurdité, ce qui prouve que la supposition de départ était fausse
Pour démontrer qu'une proposition définie avec un quantificateur  est fausse:
on trouve un contre-exemple c'est-à dire un exemple prouvant que sa négation (contenant ) est vraie
Pour démontrer l'unicité d'un élément vérifiant une proposition P:
on peut le faire directement (par exemple en résolvant une équation)
sinon, on suppose qu'il existe deux éléments vérifiant P et par implications successives:
on démontre qu'ils sont égaux ou on arrive à une contradiction.