IMPLICATIONS I) Réciproque d'une implication: Nous avons vu que l'équivalence se compose de deux implications, l'ordre des propositions étant changé. Q P est l'implication réciproque de P Q Démontrer une équivalence revient donc à démontrer une implication et sa réciproque. Remarque: vous avez déjà rencontré ce mot pour les applications ou transformations la réciproque de la translation t de vecteur v est la translation notée t– 1de vecteur – v –1 M a pour image N par t équivaut à N a pour image M par t Vous remarquez la similitude. II) Négation d'une implication: on a vu que P Q n'est fausse que dans un cas: P vraie avec Q fausse donc sa négation n'est vraie que dans ce cas: P vraie avec nonQ vraie, ce qui correspond à la table de vérité de Pet(nonQ) conclusion: la négation de P Q est Pet(nonQ). III) Contraposée: La contraposée de P Q est (nonQ) (nonP) Intérêt: une implication et sa contraposée sont équivalentes. Vérification: P Q est fausse dans un seul cas: P vraie avec Q fausse, ce qui correspond à (nonQ) vraie avec (nonP) fausse d'où (nonQ) (nonP) est fausse elle aussi réciproquement: si (nonQ) (nonP) est fausse alors nonQ est vraie avec nonP fausse donc Q est fausse avec P vraie , on en déduit que P Q est fausse conclusion: P Q fausse équivaut à (nonQ) (nonP) fausse Ces deux propositions sont donc équivalentes. Pour démontrer une implication, on peut démontrer sa contraposée ex: Un nombre premier est-il impair? On connaît 2 qui est à la fois pair et premier mais qu'en est-il des autres nombres premiers? On pose la question: soit un naturel n 2, si n est premier, est-il impair? Cet énoncé est de la forme P Q avec P dont l'énoncé est: n est un nombre premier et Q dont l'énoncé est: n est impair; n étant un naturel. Sa contraposée est: si n n'est pas impair alors n n'est pas premier. Ce qui est très facile à démontrer: si n n'est pas impair alors n est pair c'est-à dire divisible par 2, comme n 2,on en déduit que n n'est pas premier car il a au moins 3 diviseurs: 1; 2 et lui-même. Conclusion: tout nombre premier différent de 2 est impair. LE POINT SUR QUELQUES TYPES DE RAISONNEMENTS Pour démontrer qu'une implication est vraie: on suppose P vraie et on démontre qu'alors Q l'est aussi ou on démontre de la même façon sa contraposée Pour démontrer une équivalence: on raisonne par équivalences successives on procède en deux temps: on démontre une implication puis sa réciproque Pour démontrer qu'une proposition Q est vraie: on choisit une proposition P que l'on sait vraie (parmi les données) puis on démontre que P Q est vraie (en utilisant des implications connues) Si elle concerne tous les naturels d'un sous-ensemble de N, on peut aussi utiliser la récurrence. Pour démontrer qu'une proposition P (présentée ou non sous forme d'une implication) est fausse: on peut utiliser un raisonnement par l'absurde en supposant qu'elle est vraie et à l'aide d'implications successives, on arrive à une contradiction ou une absurdité, ce qui prouve que la supposition de départ était fausse Pour démontrer qu'une proposition définie avec un quantificateur est fausse: on trouve un contre-exemple c'est-à dire un exemple prouvant que sa négation (contenant ) est vraie Pour démontrer l'unicité d'un élément vérifiant une proposition P: on peut le faire directement (par exemple en résolvant une équation) sinon, on suppose qu'il existe deux éléments vérifiant P et par implications successives: on démontre qu'ils sont égaux ou on arrive à une contradiction.