logique 0

PCSI2
N. Véron-LMB-sept 2012
Eléments de logique.
Ce document est destiné être consulté tout au long de l'année ainsi qu'à être enrichi de
remarques personnelles et d'exemples.
 Assertion
On appelle assertion un énoncé mathématiques qui peut être soit vrai, soit faux.
Un axiome est un énoncé vrai par définition. Dans le cours, les propositions, théorèmes,
corollaires et lemmes sont des assertions vraies qui ont été démontrées.
On considère qu'il ne peut y avoir de contradiction c'est à dire d'assertions qui sont à la fois
vraies et fausses.
Exemples:
- 7 est un nombre premier est une assertion vraie
- π est un nombre entier est une assertion fausse
- x² ≥4, est une assertion dont la valeur de vérité dépend de x.
- Par deux points quelconques du plan passe une droite et une seule est une assertion vraie, c'est
un des axiomes d'Euclide.
La négation d'une assertion (P) est l'assertion notée (nonP) qui est vraie lorsque (P) est
fausse et fausse lorsque (P) est vraie.
Exercice 1: Donner la négation des assertions suivantes sans se préoccuper de leur valeur de
vérité
a) x²≥4
b) f est une fonction croissante sur 
+
.
c) La suite (U
n
) est convergente.
d) Tout le monde est présent.
e) L'équation f(x)=0 admet des solutions sur .
 Connecteurs logiques
La disjonction de deux assertions (P) et (Q) est notée (P) ou (Q). Elle est vraie lorsque l’une
des deux propositions au moins est vraie
La conjonction de deux assertions est notée (P) et (Q). Elle est vraie lorsque les deux
propositions sont vraies
Exercice 2: Donner la valeur de vérité des assertions suivantes
a) (1+1=2) ou 2<6
b) (2 est impair) ou 2<6
c) 2≤6
d) (1+1=2) et (2 est impair)
e) (1+1=2) et (2≤6)
Remarques
 Le OU logique est inclusif alors que dans le langage courant le ou est le plus souvent exclusif
et a le sens de "ou bien".
 L'accolade est une conjonction, ainsi:
1 1 2
2 6
+ =
<
est vraie alors que
2 est impair
2 6
<
est faux

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Proposition admise: Soit (P), (Q) et (R) trois assertions.
• La négation de (nonP) est (P)
• La négation de (P) et (Q) est (nonP) ou (nonQ)
• La négation de (P)ou(Q) est (nonP) et (nonQ)
• Il revient au même d'écrire (P)ou[(Q)et(R)] et [(P)ou(Q)] et [(P)ou(R)]
• Il revient au même d'écrire (P)et[(Q)ou(R)] et [(P)et(Q)] ou [(P)et(R)]
Exercice 3: Donner la négation des assertions suivantes
a) Un étudiant de PCSI aime les mathématiques et la physique
b) Au menu c'est fromage ou dessert
c) x∈[-1;1[
d) z∈\ ou lzl>1
 Implication et équivalence
Soit (P) et (Q) deux assertions, l'assertion Si (P) alors(Q).
Elle s'énonce en français sous la forme: si (P) alors (Q) est une implication notée
symboliquement (P)⇒
⇒⇒
⇒(Q), sa valeur de vérité est celle de (Q) ou (nonP)
Remarque: (P)⇒(Q) est vraie lorsque (Q) est vraie ou (P) est fausse.
Ainsi, toutes les implications commençant par une propriétés fausses sont vraies:
(1+1=2011) ⇒ (pour tout x réel, x+5=2) est une implication vraie.
Exercice 4: Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses:
a) x=1 ⇒ x²=1
b) x=e ⇒ lnx=1
c) x=e ⇒ x<3
d) e=3 ⇒ 1+1=2
e) Si (U
n
) est convergente alors (U
n
) est monotone.
Lorsque (P)⇒(Q) est vraie, on dit que:
(P) est une condition suffisante pour Q car dès que (P) est vraie,(Q) l'est aussi.
(Q) est une condition nécessaire pour (P) car on ne peut avoir (P) vraie et (Q) fausse.
Proposition: Les implications (P)⇒(Q) et (nonQ)⇒(nonP) ont même valeur de vérité.
(nonQ)⇒(nonP) est la contraposée de (P)⇒(Q).
Démonstration:
Exercice 5: Ecrire les contraposées des implications vraies de l'exercice 4
Les propositions et théorèmes du cours sont le plus souvent des implications, évidemment vraies
(!!).
On utilise (P)⇒(Q) de la manière suivante.
 Si (P) est vraie alors on peut en déduire que (Q) est vraie
 Si (Q) est fausse alors on peut en déduire que (P) est fausse.
Attention: Si (P) est fausse ou si (Q) est vraie, on ne peut rien en déduire.

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Pour établir que (P)⇒(Q) est vraie on pourra:
 Supposer que (P) est vraie et démontrer que (Q) est vraie.
 Montrer la contraposée, c'est à dire supposer que (Q) est fausse et démontrer que (P) est
fausse.
Exercice 6: Quelle est la négation de (P)⇒(Q)?
Application: négation de: "s'il pleut, je prends mon parapluie."
Soit l'implication (P)⇒
⇒⇒
⇒(Q), l'implication réciproque est (Q)⇒
⇒⇒
⇒(P).
Attention, une implication peut être vraie et sa réciproque fausse.
Exercice 7: Dire si les réciproques des implications de l'exercice 4 sont vraies ou fausses
Equivalence: On dit que deux propositions (P) et (Q) sont équivalentes lorsqu'on a la double
implication (P)⇒(Q) et (Q)⇒(P). On note alors (P)⇔(Q).
On formule: (P) équivaut à (Q) ou (P) si et seulement si (ssi) (Q)
Dans ce cas les deux assertions ont simultanément même valeur de vérité
Exemples:
a) (non(nonP)) ⇔ (P)
b) ((P)⇒(Q)) ⇔ (nonQ)⇒(nonP)
c) (non(P ou Q)) ⇔ (nonP) et (nonQ)
d) x=e ⇔ lnx=1
e) x²=1 ⇔ x=1 ou x=-1
Lorsque (P)⇔(Q) on dit que (P) est une condition nécessaire et suffisante pour Q.
Pour établir la validité d'une équivalence, on pourra raisonner:
 par équivalence directe.
 par double implication.
Il est parfois essentiel de raisonner par équivalence, en particulier pour déterminer un ensemble
d'objets qui satisfont à une condition.
Exercice 8:
a) Résoudre dans  e
2x
-3e
x
+2=0
b) Résoudre dans 
x² 1 x 3
+ = −
 Quantificateurs
On précise ici le sens des notations ∀ et ∃, qui permettent de synthétiser les écritures
mathématiques et qui seront d'usage courant cette année.
Soit P(x) une assertion dont la valeur de vérité dépend de x, x variant dans un ensemble E.
∀
∀∀
∀x∈
∈∈
∈E, P(x) signifie "pour tout x dans E, P(x) est vraie"
∃
∃∃
∃x∈
∈∈
∈E, P(x) signifie "il existe (au moins) un élément de E pour lequel P(x) est vraie
Exemples:
Pour tout x∈[0,1], x²≤1 se note ∀x∈[0,1], x²≤1
Il existe un entier naturel n tel que u
n
est positif se note ∃n∈, u
n
≥0

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Exercice 10: Dire si les propositions suivantes écrites symboliquement, sont vraies ou fausses:
a) ∀x∈, x²≥0
b) ∃x∈, x²-1=0
c) ∀x∈, x²-1=0
d) ∃x∈, x²+1=0
Exercice 11: Ecrire en français la négation des affirmations suivantes
A: Il existe de gentils professeurs de mathématiques
B: Il existe des élèves de PCSI2 qui ne font pas leur travail.
La négation de la proposition ∀
∀∀
∀x∈
∈∈
∈E, p(x) est ∃
∃∃
∃x∈
∈∈
∈E, (non p(x))
La négation de la proposition ∃
∃∃
∃x∈
∈∈
∈E, p(x) est ∀
∀∀
∀x∈
∈∈
∈E, (non p(x))
Exercice 12:
a) Démontrer que:∀x∈]0;+∞[,
1
x 2
x
+ ≥
b) Soit a et b deux réels avec a<b, démontrer que: ∃c∈, a<c<b
Exercice 13:
A. Soit la relation: x+y = x
3
+y
3
où x et y désignent des réels.
a) Cette relation est-elle toujours vraie?
b) Existe-t-il des valeurs de x et de y pour lesquelles la relation est vraie.
c) Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses
P: ∀x∈R, ∃y∈, x+y = x
3
+y
3
Q: ∃y∈R, ∀x∈R, x+y = x
3
+y
3
B. a) Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses
(1) ∀x∈, -x ≤ 0
(2) ∀x∈, -x² ≤ 0
(3) ∃x∈, x > x²
(4) ∃x∈, sinx = 2
(5) ∀x∈
+
, ∃y∈, x = y²
(6) ∃y∈, ∀x∈
+
, x = y²
b) Ecrire symboliquement leur négation
Conseil: Il n'est pas pertinent de faire un usage immodéré des écritures symboliques. Une copie
gagne en lisibilité à contenir des phrases écrites en français et surtout on ne mélangera pas les
deux types d'écriture.