NOMBRES RÉELS ET LIMITES Définition 1. On dira qu`un nombre a

NOMBRES RÉELS ET LIMITES
Définition 1. On dira qu’un nombre a est réel si a peut être approché arbitrairement
près par des nombres rationnels (ou décimaux). L’ensemble des nombres réels se note
R. Une propriété spécifique de R est d’être un ensemble complet (intuitivement "sans
trous"), c’est-à-dire que tout ensemble borné admet un supremum 1 appartenant à R.
Cette propriété n’est pas vérifiée par Q : prendre A = {x ∈ Q|x2 < 2} alors sup(A) 6∈ Q.
Définition 2. Un concept (topologique) fondamental en analyse, attaché à la droite réelle
R, est celui de voisinage d’un point a ∈ R (fixé). Pour simplifier les choses, on dira que tout
intervalle ouvert Ua contenant le point a est un voisinage de a. Il importe de s’imaginer
que le point a est comme "englouti" dans un intervalle ouvert, ce dernier pouvant être
rendu arbitrairement "petit", mais dans tous les cas Ua ne peut être réduit au point a. Il
est habituel de choisir comme voisinage "standard" d’un point a appartenant à l’axe des
abscisses
Ua = {x ∈ R; |x − a| < δ} (pour un δ > 0 que l’on se fixe)
En français cela donne : Ua est l’ensemble des nombres réels x tels que la distance de x à a
est inférieure à δ. Dans ce cas Ua est un intervalle centré autour de a de longueur 2δ. Si b
appartient à l’axe des ordonnées alors un voisinage standard est Vb = {y ∈ R; |y − b| < }
pour un > 0 que l’on se fixe.
Définition 3. Formellement dire que la "limite lorsque x tend vers a de f (x) existe et
égale à b", que l’on dénote par limx→a f (x) = b, signifie que quel que soit le voisinage
Vb de b (aussi petit que l’on veut) il existe un voisinage Ua de a tel que pour tous les x
compris dans Ua (mais x 6= a) on a toujours f (x) ∈ Vb . Avec des notations mathématiques
cela donne :
lim f (x) = b
x→a
⇔
∀Vb ∃Ua ; ∀x ∈ Ua
x 6= a f (x) ∈ Vb
où Ua et Vb représentent des voisinages de a et b respectivement
En utilisant les voisinages standard ci-dessus cela donne :
lim f (x) = b
x→a
⇔
∀ > 0 ∃δ > 0 ; si |x − a| < δ (mais x 6= a) alors |f (x) − b| < que l’on peut traduire par : "pour tout voisinage (centré) de b de longueur 2, il existe
un voisinage (centré) de a de longueur 2δ tels que, si x appartient à ce dernier voisinage
(mais x 6= a) alors f (x) appartient au voisinage autour de b".
C’est seulement à partir d’une telle définition que l’on peut démontrer des propriétés
telles que l’unicité de la limite (si elle existe) et les résultats essentiels suivants :
Théorème 1. Si limx→a f (x) = m et limx→a g(x) = n alors
a) la limite de la somme égale la somme des limites : limx→a (f + g)(x) = m + n
b) la limite du produit égale le produit des limites : limx→a (f · g)(x) = m · n
c) la limite du quotient égale le quotient des limites : limx→a ( fg )(x) = m
si n 6= 0
n
Par ailleurs si limy→m g(y) = n alors la compostion g ◦ f admet une limite en a et
limx→a (g ◦ f )(x) = n évidemment !
Remarque. Bien qu’implicite dans le développement de l’Analyse au 17e et 18e siècle, la
notion morderne de limite d’une fonction remonte à Bolzano, qui en 1817 a introduit la
base des δ et pour définir la continuité d’une fonction. L’on doit la définition formelle
d’une limite d’abord à Cauchy dans son Cours d’Analyse (1821) et surtout à Weierstrass
(∼ 1870).(cf. Wikipedia)
C. Aebi, Collège Calvin, Genève, Suisse
1. Plus petit élément plus grand que tous les autres de l’ensemble en question
1