3 - Tourbillon

MPSI 1
Mathématiques
Colle no 3
Semaine no 5
Fonctions usuelles : étude des variations, représentation graphique avec tangentes remarquables, allures (sommaires, car nous n’avons pas encore défini les
asymptotes) aux bornes de l’ensemble de définition (qui est une réunion d’intervalles).
1. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles, cosinus, sinus.
2. Fonctions circulaires réciproques arccos et arcsin (avec «A» dans le programme. . . ).
3. Limites de référence :
lim
x→0
ln(1 + x)
,
x
lim
x→1
ln(x)
,
x −1
lim
x→+∞
ln(x)
x
Celles qui s’en déduisent
lim
x→1
ln(x)
,
x −1
ex − 1
,
x→0
x
lim
lim
x→0+
ln(x)
x
ex
x→+∞ x
lim
Les fonctions tan et arctan n’ont pas été abordées (et il n’est plus possible de prendre la
tangente en terminale).
Exemples de sujets
Énoncés.(Indications, Solutions)
Exercice 1 Équations fonctionnelles (avec beaucoup d’aide) : déterminer les fonctions f continues telle que pour tous x et y réels
f (x + y) = f (x) + f (y)
Plus simple : déterminer les fonctions dérivables qui satisfont à cette équation fonctionnelle.
Exercice 2 Questions de cours :
1. Dérivées des fonctions définies par les expressions (x est la variable) x n (n
entier), a x (a est réel strictement positif, u v où u est une fonction dérivable
strictement positive et v une fonction dérivable.
x
e −1
2. Limites de référence : limx→+∞ ln(x), limx→+∞ ex , limx→1 ln(x)
x−1 , limx→0 x ,
sin(x)
limx→+∞ ln(x)
x , limx→0 x .
1
3. Dérivées des fonctions trigonométriques circulaires ou hyperboliques et des
fonctions arc ou argument.
4. Formules de trigonométrie circulaire résultant de symétries ou de périodicités.
Exercice 3 Représentations de fonctions exprimées par leurs expressions définies
sur des ensembles de définitions à préciser.
1. f (x) = x ln |x|, g (x) = |x ln(x)|.
2. f (x) = x 2 ln(x).
p
3. f (x) = 9x 2 + 4x + 2.
4. f (x) =
2x 2 −5x+12
.
4x−9
Exercice 4 Limites
1. qui se déduisent de dérivées limx→1
x 2013 −1
x−1
etc
2. Celles qui se déduisent (facilement) des limites de référence : limx→0 tan(x)
x
³
´
2
sin(x)
tan(x) = cos(x)
, limx→0 1−(cos(x))
(avec
une
identité
trigonométrique)
etc.
2
x
4
3. D’autres se déduisent des croissances comparées : limx→+∞ (ln(x))
, limx→+∞
x3
etc.
4. limx→ π +
2
arcsin(x)−1
x− π2
etc.
Exercice 5 Dérivées
1. des composées de fonctions trigonométriques circulaires ou hyperboliques.
2. déterminer au préalable les ensembles de définition des dérivées :
1
(a) x x et x x
(b) arcsin(sin(x))
(c) arcsin(cos(x))
(d) arcsin(x) + arccos(x)
¡ ¢
(e) arctan x1 + arctan(x) (pas cette semaine)
Formules et équations diverses (mais simples)
1. Simplifier, pour x réel : ln
q
1+th(x)
1−th(x)
(semaine prochaine).
p
p
1 − x2
2
2. Montrer que sin(arccos x) = 1 − x et si x 6= 0 tan(arccos x) =
x
Exercice 6
Exercice 7 Résoudre
½
logx e + log y e
ln(x y)
Indications.(Énoncés, Solutions)
2
=
=
7
3
7
2
e5x
x 2013
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Solutions.(Énoncés, Indications)
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7 Nous avons :
sont les racines
1
2
ln(e)
ln(e)
ln(x) + ln(y)
= 73 , d’où
7
2
= 73 ln(x) ln(y), par suite ln(x) et ln(y)
et 3 du polynôme 2X 2 − 7X + 3.
3