3 - Tourbillon

MPSI 1
Mathématiques
Colle no3
Semaine no5
Fonctions usuelles : étude des variations, représentation graphique avec tan-
gentes remarquables, allures (sommaires, car nous n’avons pas encore défini les
asymptotes) aux bornes de l’ensemble de définition (qui est une réunion d’inter-
valles).
1. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles, cosinus, sinus.
2. Fonctions circulaires réciproques arccos et arcsin (avec «A» dans le programme... ).
3. Limites de référence :
lim
x→0
ln(1+x)
x, lim
x→1
ln(x)
x−1, lim
x→+∞
ln(x)
x
Celles qui s’en déduisent
lim
x→1
ln(x)
x−1, lim
x→0+
ln(x)
x
lim
x→0
ex−1
x, lim
x→+∞
ex
x
Les fonctions tan et arctan n’ont pas été abordées (et il n’est plus possible de prendre la
tangente en terminale).
Exemples de sujets
Énoncés.(Indications,Solutions)
Exercice 1 Équations fonctionnelles (avec beaucoup d’aide) : déterminer les fonc-
tions fcontinues telle que pour tous xet yréels
f(x+y)=f(x)+f(y)
Plus simple : déterminer les fonctions dérivables qui satisfont à cette équation fonc-
tionnelle.
Exercice 2 Questions de cours :
1. Dérivées des fonctions définies par les expressions (xest la variable) xn(n
entier), ax(aest réel strictement positif, uvoù uest une fonction dérivable
strictement positive et vune fonction dérivable.
2. Limites de référence : limx→+∞ ln(x), limx→+∞ ex, limx→1ln(x)
x−1, limx→0ex−1 x,
limx→+∞ ln(x)
x, limx→0sin(x) x.
1

3. Dérivées des fonctions trigonométriques circulaires ou hyperboliques et des
fonctions arc ou argument.
4. Formules de trigonométrie circulaire résultant de symétries ou de périodici-
tés.
Exercice 3 Représentations de fonctions exprimées par leurs expressions définies
sur des ensembles de définitions à préciser.
1. f(x)=xln|x|,g(x)=|xln(x)|.
2. f(x)=x2ln(x).
3. f(x)=p9x2+4x+2.
4. f(x)=2x2−5x+12
4x−9.
Exercice 4 Limites
1. qui se déduisent de dérivées limx→1x2013−1
x−1etc
2. Celles qui se déduisent (facilement) des limites de référence : limx→0tan(x)
x
³tan(x)=sin(x)
cos(x)´, limx→01−(cos(x))2
x2(avec une identité trigonométrique) etc.
3. D’autres se déduisent des croissances comparées : limx→+∞ (ln(x))4
x3, limx→+∞ e5x x2013
etc.
4. limx→π
2+arcsin(x)−1
x−π
2etc.
Exercice 5 Dérivées
1. des composées de fonctions trigonométriques circulaires ou hyperboliques.
2. déterminer au préalable les ensembles de définition des dérivées :
(a) xxet x1
x
(b) arcsin(sin(x))
(c) arcsin(cos(x))
(d) arcsin(x)+arccos(x)
(e) arctan¡1
x¢+arctan(x) (pas cette semaine)
Formules et équations diverses (mais simples)
Exercice 6 1. Simplifier, pour xréel : lnq1+th(x)
1−th(x)(semaine prochaine).
2. Montrer que sin(arccosx)=p1−x2et si x6=0 tan(arccosx)=p1−x2
x
Exercice 7 Résoudre
½logxe+logye=7
3
ln(x y )=7
2
Indications.(Énoncés,Solutions)
2

Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Solutions.(Énoncés,Indications)
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7 Nous avons : ln(e)
ln(x)+ln(e) ln(y)=7 3, d’où 7 2=7 3ln(x)ln(y), par suite ln(x) et ln(y)
sont les racines 1
2et 3 du polynôme 2X2−7X +3.
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