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Fonctions dérivables
Bcpst 1 — 27 février 2017
Notations du chapitre — Dans tout ce chapitre I est un intervalle non vide de R et
non réduit à un point,x0est un point de Iet f:I−→ R.
On note Cfla courbe représentative de fdans un repère orthonormé donné.
I — Nombre dérivé en un point
I.1 — Définition
Soit M0 le point de coordonnées (x0,f(x0)) et M le point de coordonnées (x,f(x)) .
Alors f(x)−f(x0)
x−x0
est le coecient directeur de la corde [M M0]de Cf.
x
y
Cf
M0
M
M
M
Figure I.1 — Corde, tangente et dérivabilité
Faisons alors tendre x vers x0 . La corde peut admettre une position limite lorsque
M se rapproche de M0 . Cette position limite s’appelle la tangente de la courbe Cf .

I — Nombre dérivé en un point 2
Si cette position limite n’est pas verticale, alors
f(x)−f(x0)
x−x0−−−→
x→x0m∈R
où mest la pente de la tangente en x0àCf.
En notant f0(x0)cette limite, l’équation de la tangente en x0s’écrit
y=f0(x0)×(x−x0) + f(x0)
Définition 1.1 — Nombre dérivé d’une fonction en un point
La fonction fest dérivable en x0si et seulement si le taux d’accroissement
f(x)−f(x0)
x−x0
admet une limite finie en x0.
Dans ce cas, cette limite se note f0(x0)et s’appelle le nombre dérivé de fen x0.
f0(x0) = lim
x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0
=lim
h→0
f(x0+h)−f(x0)
h(sous réserve d’existence)
On peut aussi noter f0(x0) = ∂f (x)
∂x x0
. La notation df désignait autrefois un
accroissement infinitésimal de la « variable » f . On voit bien, sur cette notation,
l’idée de coecient directeur au sens « infinitésimal » du terme.
Notez l’importance de l’hypothèse « I non réduit à un point» : il faut pouvoir prendre
au moins deux points de l’intervalle pour que les notions de corde et de tangente
aient un sens.
Théorème 1.2 — Tangente en un point de Cf
La fonction f est dérivable en x0 si et seulement si Cf admet une tangente non verticale
au point (x0,f(x0)).
Par ailleurs lim
x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0−−−→
x→x0∞
si et seulement si Cf admet une tangente
verticale en x0.
Dém. 
Exemple
– Une fonction constante x7→ a est dérivable en tout point : sa dérivée est nulle
(réciproque à venir !)

I — Nombre dérivé en un point 3
– la fonction x7→ xnen un point x0quelconque, par le binôme de Newton
(x0+h)n−xn
0
h=1 hxn
0+nhxn−1 0+
n
X
k=2n
khkxn−k−xn
0
=nxn−1
0+
n
X
k=2n
khk−1xn−k−xn
0
−−→
h→0nxn−1
0
– la fonction x7→ 1/xen tout point non nul x0:
1
h1 x0+h−1 x0=−h hx0(x0+h)−−→
h→0−1
x2
0
– la fonction x7→ px en tout point x0 de R∗
+
, par la méthode de la quantité conju-
guée : 1
hÆx0+h−px0=1 h
h
px0+px0+h−−→
h→0
1
2px0
– La fonction x7→ pxadmet une tangente verticale en 0.
– la fonction cos, mais ce n’est pas démontrable sans définition propre du cos.
AEn pratique
Qu’est-ce qu’une fonction non dérivable en un point ? La question
est vaste, mais on peut imaginer quelques cas simples.
La fonction présente un brusque chan-
gement de direction, un «rebond». Le
taux d’accroissement à une limite dif-
férente à gauche et à droite.
La fonction présente une déchirure.
Le taux d’accroissement a une limite
infinie à droite (mais finie à gauche).

I — Nombre dérivé en un point 4
La tangente est verticale en un point.
Le taux d’accroissement admet des li-
mites infinies à gauche et à droite.
I.2 — Dérivation et continuité
Le second exemple ci-dessus permet de comprendre que la continuité est une condi-
tion nécessaire de dérivabilité.
Théorème 1.3 — Dérivable implique continue
Si fest dérivable en x0alors fest continue en x0.
Dém. En eet, on peut écrire, sur un voisinage de x0,
f(x) = f(x0)+(x−x0)×f(x)−f(x0)
x−x0
Si f est dérivable en x0 , en faisant tendre x vers x0 le terme le plus à droite va tendre
vers 0×f0(x0) , c’est-à-dire 0 . Ainsi f(x)−−−→
x→x0f(x0)
, ce qui établit la continuité
def.
Intrinsèquement, on a utilisé le développement limité d’ordre 1de fen x0.
La réciproque est fausse. La fonction f:R+−→ R
x7−→ |x|
est continue en 0 mais pas
dérivable en 0.
Corollaire 1.4 — Si une fonction f est dérivable sur un domaine D alors elle est
continue sur D.
I.3 — Dérivabilité à gauche, à droite
Définition 1.5 — Dérivabilité à gauche, à droite.
On dit que f est dérivable à gauche en x0 (resp. à droite en x0 ) si et seulement si la
fonction
ϕ:x7→ f(x)−f(x0)
x−x0
admet une limite finie à gauche en x0(resp. une limite finie à droite en x0).

II — Fonction dérivée 5
Propriété 1.6 — La fonction f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable à
gauche et à droite en x0et que f0
+(x0) = f0 −(x0).
Graphiquement, si les dérivées à gauche et à droite sont diérentes, cela signifie
que Cf« fait un angle » en x0.
Exemple La fonction f:x7→ |x|.
II — Fonction dérivée
II.1 — Définition
Définition 2.1 — Dérivabilité sur un intervalle – Fonction dérivée
Si fest dérivable en tout point de Ion dit que fest dérivable sur I.
La fonction f0définie par f0:I−→ R
x7−→ f0(x)
est la fonction dérivée de f.
Exemple Les fonctions usuelles : voir tout bon formulaire.
Dérivées successives
– Si f est dérivable sur I et que f0 est également dérivable sur I , on dit que f est
deux fois dérivable sur I , et la dérivée de f0 se note f00 ou f(2) . C’est la dérivée
seconde de fsur I.
– On définit ainsi de proche en proche les dérivées d’ordre 3, 4, etc. de f . La fonction
dérivée d’ordre nde fse note f(n). Par exemple : f(3),f(4),f(5), etc.
Définition 2.2 — Fonction de classe Cnsur I
Une fonction f est de classe Cn sur I si et seulement si f est dérivable n fois sur I et que
la dérivée n –ième de f est continue sur I . L’ensemble des fonctions de classe Cn sur I se
note Cn(I).
La fonction f est de classe C∞ sur I si et seulement si f est dérivable n fois, pour tout
entier naturel n. L’ensemble des fonctions de classe C∞sur Ise note C∞(I).
Exemple
– Les fonctions polynômiales, la fonction exponentielle, les fonctions sin et cos sont
réputées C∞(R).
– Il est facile d’exhiber une fonction qui n’est pas C1(R) en prenant une fonction
qui n’est pas dérivable, comme par exemple x7→ |x|.