CHAPITRE 6 Etude des fonctions trigonométriques

CHAPITRE 9 − Etude des fonctions trigonométriques
1/ BIEN CONNAITRE LES VALEURS DES SINUS ET COSINUS DES ANGLES REMARQUABLES
Dans chacun des cas suivants, donner une valeur de a, pour laquelle l’égalité est vraie. Ne pas hésiter à utiliser le cercle
trigonométrique.
1) 2
1
=acos 2)
2
3
−=acos 3) 2
3
=asin 4) 2
2
−=asin 5) 1=acos
6) 0=asin 7) 2
1
−=asin 8) 2
3
−=asin 9) 2
2
=acos 10) 0=acos
2/ SAVOIR RESOUDRE UNE EQUATION DE LA FORME cos x = α
αα
α AVEC α
αα
α REEL
RESULTATS Résoudre dans les quatre équations :
1) 2−=xcos 2) 2
3
−=xcos
b
cos
a
cos
=
⇔
π+−=
π+=
kba
ou
kba
2
2
, avec k ∈ 3)
2
1
3
2=
π
−xcos 4)
(
)
0162 =−× xcos
5)
(
)
(
)
052922 2=−+ xcosxcos
3/ SAVOIR RESOUDRE UNE EQUATION DE LA FORME sin x = α
αα
α AVEC α
αα
α REEL
RESULTATS Résoudre dans  les quatre équations :
1) 71,xsin = 2) 2
1
=xsin
b
sin
a
sin
=
⇔
π+−π=
π+=
kba
ou
kba
2
2
, avec k ∈ 
3) 2
2
4
3=
π
+xsin 4)
(
)
0142 =+xsin
5)
(
)
xcosxsin =2
4/ SAVOIR ETUDIER LE SIGNE D'UNE EXPRESSION TRIGONOMETRIQUE DANS UN INTERVALLE DONNE
1) Etudier le signe de 12 +xcos dans ] − π ; π ] , puis dans [ 0 , 2π [
2) Etudier le signe de 32 −xsin dans ] − π ; π ] , puis dans [ 0 , 2π [
3) Etudier le signe de
(
)
222 +xcos dans
ππ
−
22
;, puis dans [ 0 ; π [
4) Etudier le signe de
(
)
142 −π+xsin dans 
ππ
−
44
;.
5/ ETUDE D’UNE FONCTION TRIGONOMETRIQUE ( A TRAVERS L'ETUDE DE LA FONCTION SINUS ET DE LA FONCTION COSINUS )
51 Périodicité et réduction éventuelle du domaine.
PROP
Pour tout réel x,
(
)
xsinxsin =π+ 2 et
(
)
xcosxcos =π+ 2 . On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π
I
J
O
I
J
O

Conséquences: - On peut réduire l'intervalle d'étude à un intervalle d'amplitude 2π .
- Pour tracer la courbe représentative de la fonction sinus, il suffit de la tracer sur un intervalle d'amplitude 2π, puis
de la compléter par des translations successives de vecteur 2π
i
r
ou − 2π
i
r
. Il en est de même pour la fonction
cosinus.
52 Parité et réduction éventuelle du domaine.
Supposons que l'intervalle d'étude soit réduit à [ − π , π ]
PROP
Pour tout réel x,
(
)
xsinxsin −=− et
(
)
xcosxcos =− . On dit que la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire.
Conséquences: - On peut réduire l'intervalle d'étude fixé au départ, centré en 0, " à un intervalle d'amplitude 2 fois plus petit ".
- La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère. Celle de la fonction
cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
53 Calcul de la dérivée, étude du signe de la dérivée et variations sur l'intervalle réduit d'étude
Supposons que l'intervalle d'étude soit réduit à [ 0 , π ].
PROP
- Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur 
- Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur  et on a :
(
)
(
)
xcosx'sin = et
(
)
(
)
xsinx'cos −=
- a et b sont deux réels.
La fonction f définie sur  par :
(
)
(
)
baxsinxf += est dérivable sur  et on a :
(
)
(
)
baxcosax'f += .
La fonction f définie sur  par :
(
)
(
)
baxcosxf += est dérivable sur  et on a :
(
)
(
)
baxsinax'f +−= .
(
)
xcos > 0 si x ∈
π
2
0;et
(
)
xcos < 0 si x ∈ 
π
π;
2
.
(
)
xsin > 0 si x ∈ [ 0 , π ] , donc −
(
)
xsin < 0 si x ∈ [ 0 , π ] .
La fonction sinus est croissante sur 
π
2
0;et sur 
π
π;
2
. La fonction cosinus est décroissante sur [ 0 , π ] .
54 Courbe représentative de la fonction trigonométrique.
Fonction sinus

Fonction cosinus
6/ LIMITE ET FONCTION TRIGONOMETRIQUE SINUS
PROP 1
0
=
→
x
xsin
Lim
x
Démonstration : On remarque : ( )
(
)
(
)
0
0
0
0
−
−
=
−
−
=
x
uxu
x
sinxsin
xf , avec
(
)
xsinxu =.
Or, la fonction sinus est dérivable sur  , en particulier en 0. On a alors :
(
)
(
)
(
)
xcosx'sinx'u == et
(
)
(
)
(
)
1000 === cos'sin'u
On en déduit :
(
)
(
)
( )
10
0
0
00
==
−
−
=
→→
'u
x
uxu
Lim
x
xsin
Lim
xx
.
Exemple : Déterminer
2
0
x
xsin
Lim
x
+
→
.
7/ EXERCICES
EXO 1
Soit f la fonction définie sur  par :
(
)
(
)
xsinxsinxf 22 −= .
Etudier f , puis dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Indications − On montrera que la période est égale à 2π .
− On montrera que :
(
)
(
)
(
)
xcosxcosx'f 2112 +−=
EXO 2
Soit f la fonction définie sur  par :
(
)
(
)
xcosxcosxf 22 −= .
Etudier f , puis dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Indication − On montrera que la période est égale à 2π .
EXO 3
Soit f la fonction définie par :
( )
xcos
xsin
xtanxf == .
Déterminer le domaine de f , puis étudier f . Dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Indication − On montrera que la période est égale à π .

EXO 4
Soit f la fonction définie sur  par :
(
)
(
)
xcosxcosxf += 1 .
Etudier f , puis dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Indication − On montrera que la période est égale à 2π .
EXO 5
Soit f la fonction définie sur  par :
(
)
(
)
xsinxcosxf 22
2
+= .
Etudier f , puis dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Indications − On montrera que la période est égale à π .
− On montrera que :
( )
−
π
×= xsinx'f 2
4
22
EXO 6
Soit f la fonction définie sur par :
( )
π
−= 3 43 xcosxf .
Etudier f , puis dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Indication − On montrera que la période est égale à
2
π .
EXO 7
Soit f la fonction définie sur  par :
(
)
(
)
xsinxsinxf += 2 .
Etudier f , puis dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Indication − On montrera que la période est égale à 2π .
QUELQUES FORMULES A CONNAITRE
1
22
=+ xcosxsin
(
)
xcosxsinxsin 22 =
(
)
xsinxcosxsinxcosxcos
2222
21122 −=−=−=
(
)
2
21
2
xcos
xsin − =
(
)
2
21
2
xcos
xcos + = xcos
xsin
xtan =
x
cos
x
'
sin
=
x
sin
x
'
cos
−
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xucosx'ux'usin =o
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xusinx'ux'ucos −=o
+ formules des angles associés, avec en particulier :
xsinxcos =
−
π
2
xcosxsin =
−
π
2