CHAPITRE 6 Etude des fonctions trigonométriques
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CHAPITRE 9 − Etude des fonctions trigonométriques 1/ BIEN CONNAITRE LES VALEURS DES SINUS ET COSINUS DES ANGLES REMARQUABLES Dans chacun des cas suivants, donner une valeur de a, pour laquelle l’égalité est vraie. Ne pas hésiter à utiliser le cercle trigonométrique. 1) cos a = 1 2 2) cos a = − 7) sin a = − 6) sin a = 0 3 2 1 2 3) sin a = 3 2 8) sin a = − 3 2 2 2 2 9) cos a = 2 5) cos a = 1 4) sin a = − 10) cos a = 0 2/ SAVOIR RESOUDRE UNE EQUATION DE LA FORME cos x = α AVEC α REEL RESULTATS J O cos a = cos b ⇔ a = b + 2kπ ou , avec k ∈ a = −b + 2kπ I Résoudre dans les quatre équations : 1) cos x = −2 2) cos x = − π 1 3) cos 2 x − = 3 2 4) 3 2 2 × cos(6x ) − 1 = 0 5) 2 cos 2 (2 x ) + 9 cos (2 x ) − 5 = 0 3/ SAVOIR RESOUDRE UNE EQUATION DE LA FORME sin x = α AVEC α REEL RESULTATS J O I sin a = sin b ⇔ a = b + 2kπ ou , avec k ∈ a = π − b + 2kπ Résoudre dans les quatre équations : 1 2 1) sin x = 1,7 2) sin x = π 2 3) sin 3x + = 4 2 4) 2 sin(4 x ) + 1 = 0 5) sin(2 x ) = cos x 4/ SAVOIR ETUDIER LE SIGNE D'UNE EXPRESSION TRIGONOMETRIQUE DANS UN INTERVALLE DONNE 1) Etudier le signe de 2 cos x + 1 dans ] − π ; π ] , puis dans [ 0 , 2π [ 2) Etudier le signe de 2 sin x − 3 dans ] − π ; π ] , puis dans [ 0 , 2π [ π π 3) Etudier le signe de 2 cos (2x ) + 2 dans − ; , puis dans [ 0 ; π [ 2 2 π π 4) Etudier le signe de 2 sin(4 x + π ) − 1 dans − ; . 4 4 5/ ETUDE D’UNE FONCTION TRIGONOMETRIQUE ( A TRAVERS L'ETUDE DE LA FONCTION SINUS ET DE LA FONCTION COSINUS ) 51 Périodicité et réduction éventuelle du domaine. PROP Pour tout réel x, sin(x + 2π ) = sin x et cos (x + 2π ) = cos x . On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π Conséquences: - On peut réduire l'intervalle d'étude à un intervalle d'amplitude 2π . - Pour tracer la courbe représentative de la fonction sinus, il suffit de la tracer sur un intervalle d'amplitude 2π, puis r r de la compléter par des translations successives de vecteur 2π i ou − 2π i . Il en est de même pour la fonction cosinus. 52 Parité et réduction éventuelle du domaine. Supposons que l'intervalle d'étude soit réduit à [ − π , π ] PROP Pour tout réel x, sin (− x ) = − sin x et cos(− x ) = cos x . On dit que la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire. Conséquences: - On peut réduire l'intervalle d'étude fixé au départ, centré en 0, " à un intervalle d'amplitude 2 fois plus petit ". - La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère. Celle de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 53 Calcul de la dérivée, étude du signe de la dérivée et variations sur l'intervalle réduit d'étude Supposons que l'intervalle d'étude soit réduit à [ 0 , π ]. PROP - Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur - Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur et on a : sin ' (x ) = cos (x ) et cos ' (x ) = − sin (x ) - a et b sont deux réels. La fonction f définie sur par : f (x ) = sin(ax + b ) est dérivable sur et on a : f ' (x ) = a cos (ax + b ) . La fonction f définie sur par : f (x ) = cos (ax + b ) est dérivable sur et on a : f ' (x ) = −a sin(ax + b ) . π π cos (x ) > 0 si x ∈ 0; et cos (x ) < 0 si x ∈ ; π . 2 2 π π La fonction sinus est croissante sur 0; et sur ; π . 2 2 54 Courbe représentative de la fonction trigonométrique. Fonction sinus sin(x ) > 0 si x ∈ [ 0 , π ] , donc − sin(x ) < 0 si x ∈ [ 0 , π ] . La fonction cosinus est décroissante sur [ 0 , π ] . Fonction cosinus 6/ LIMITE ET FONCTION TRIGONOMETRIQUE SINUS PROP Lim x →0 sin x =1 x Démonstration : On remarque : f (x ) = sin x − sin 0 u (x ) − u (0) , avec u (x ) = sin x . x −0 x −0 Or, la fonction sinus est dérivable sur , en particulier en 0. On a alors : u ' (x ) = sin ' (x ) = cos (x ) et u ' (0) = sin ' (0) = cos (0) = 1 sin x u (x ) − u (0 ) On en déduit : Lim = Lim = u ' (0 ) = 1 . x →0 x →0 x x −0 Exemple : Déterminer Lim+ x →0 sin x x2 = . 7/ EXERCICES EXO 1 Soit f la fonction définie sur par : f (x ) = sin(2x ) − 2 sin x . Etudier f , puis dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Indications − On montrera que la période est égale à 2π . − On montrera que : f ' (x ) = 2(cos x − 1)(1 + 2 cos x ) EXO 2 Soit f la fonction définie sur par : f (x ) = cos(2x ) − 2 cos x . Etudier f , puis dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Indication − On montrera que la période est égale à 2π . EXO 3 sin x . cos x Déterminer le domaine de f , puis étudier f . Dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Indication − On montrera que la période est égale à π . Soit f la fonction définie par : f (x ) = tan x = EXO 4 Soit f la fonction définie sur par : f (x ) = (1 + cos x )cos x . Etudier f , puis dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Indication − On montrera que la période est égale à 2π . EXO 5 Soit f la fonction définie sur par : f (x ) = 2 cos 2 x + sin (2x ) . Etudier f , puis dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Indications − On montrera que la période est égale à π . π − On montrera que : f ' (x ) = 2 2 × sin − 2x 4 EXO 6 π Soit f la fonction définie sur par : f (x ) = 3 cos 4 x − . 3 Etudier f , puis dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal. π Indication − On montrera que la période est égale à . 2 EXO 7 Soit f la fonction définie sur par : f (x ) = 2 + sin x sin x . Etudier f , puis dessiner sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Indication − On montrera que la période est égale à 2π . ( ) QUELQUES FORMULES A CONNAITRE sin(2x ) = 2 sin x cos x sin 2 x + cos 2 x = 1 sin 2 x = 1 − cos (2x ) 2 sin ' x = cos x cos 2 x = 1 + cos (2 x ) 2 cos ' x = − sin x tan x = cos(2x ) = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x sin x cos x (sin o u )' (x ) = u ' (x )cos(u (x )) π + formules des angles associés, avec en particulier : cos − x = sin x 2 π sin − x = cos x 2 (cos o u )' (x ) = −u ' (x )sin(u (x ))
