Régularité des fonctions réelles

Mathématiques 1A 2015-2016
MATHÉMATIQUES 1A - 2015-2016
ED3 : RÉGULARITÉ DES FONCTIONS RÉELLES
1. Ce qu’il faut savoir refaire du cours
Exercice 1. Soient E, F des sous-ensembles réels, et f:E→Fune application définie sur
un voisinage de a∈E. Montrer que si fest dérivable en a, alors fest continue en a.
Exercice 2. Soient I, J deux intervalles réels, et f:I→June application continue sur I.
On suppose que fest strictement monotone et que f(I) = J.
(1) Quel théorème permet d’affirmer que f−1:J→Iexiste et est continue sur J?
(2) Montrer que si fest dérivable en a∈Iet vérifie f0(a)6= 0, alors f−1est dérivable
en b:= f(a)et vérifie f−10(b) = 1
f0◦f−1(b).
(3) Retrouver les domaines de dérivabilité et les fonctions dérivées de arccos,arcsin,
arctan,argch,argsh et argth.
Exercice 3. Soient n∈Net α∈R. Retrouver les DLn(0) des fonctions suivantes. Que
faut-il modifier pour obtenir leurs DLn(2) ?
f:x7−→ ex, g :x7−→ cos(x), h :x7−→ sin(x),
i:x7−→ 1
1−x, j :x7−→ (1 + x)α, k :x7−→ ln(1 + x).
2. Des exercices pour appliquer le cours
Exercice 4. On considère les fonctions usuelles :
f:x7−→ cos(x), g :x7−→ sin(x), h :x7−→ tan(x), i :x7−→ arccos(x),
j:x7−→ arcsin(x), k :x7−→ arctan(x), l :x7−→ ch(x), m :x7−→ sh(x),
n:x7−→ th(x), p :x7−→ argch(x), q :x7−→ argsh(x), r :x7−→ argth(x).
(1) Tracer les graphes de ces fonctions dans un repère orthonormé.
(2) Par lecture graphique, donner les domaines de définition, de continuité et de dériva-
bilité de chaque fonction.
Exercice 5. Donner un exemple de graphe d’une fonction f: [0,1] →[0,1] :
(a) continue et dérivable sur [0,1] ;
(b) non continue et dérivable sur [0,1] ;
(c) continue et non dérivable sur [0,1] ;
(d) non continue et non dérivable sur [0,1].
Exercice 6. Donner les domaines de dérivabilité et les fonctions dérivées de :
f:x7−→ 1
x2+ 1, g :x7−→ 
1
x−8
, h :x7−→ √1−x2, i :x7−→ √x2+ 2x−33,
j:x7−→ 1
ln(x), k :x7−→ qln(x2+ 4), l :x7−→ √ex−x, m :x7−→ 3x−2x,
n:x7−→ x1
x, p :x7−→ sin(2x) cos(7x), q :x7−→ sin2(√x−1), r :x7−→ 1−cos(x)
3 + cos(x).
Elsa Ibanez 1Exercices Dirigés 3

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Exercice 7. Soit α∈R. Calculer les limites :
lim
x→0
sin(x)
x,lim
x→0
cos(x)−1
x,lim
x→0
tan(x)
x,lim
x→0
arcsin(x)
x,lim
x→0
2 arccos(x)−π
2x,
lim
x→0
ex−1
x,lim
x→0
ln(x+ 1)
x,lim
x→0
(1 + x)α−1
x,lim
x→0+
argch(x+ 1)
x,lim
x→0
argth(x)
x.
Exercice 8. Tracer, puis donner les domaines de dérivabilité et les fonctions dérivées de :
f:x7−→ |x|+| − x|, g :x7−→ 
x2+ 1 si x < 0
x2−1si x≥0, h :x7−→ 
x3−1si x≤1
−x2+ 1 si x > 1,
i:x7−→ 
1
xsi x6= 0
0si x= 0 , j :x7−→ 
exsi x > 0
√−x+ 1 si x≤0, k :x7−→ 
exsi x≥0
x+ 1 si x < 0.
Exercice 9. On considère une fonction fdont le graphe est donné si-dessous.
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)
-1
1
2
3
4
(1) Reprendre l’expression algébrique de fobtenue dans l’ED2.
(2) Par lecture graphique, donner le domaine de dérivabilité de f. Justifier.
(3) Quelle est l’allure du graphe de la fonction dérivée ? Le tracer ci-dessus.
Exercice 10. Etudier les extrema locaux et globaux des fonctions :
f:x7−→ x4−4x3+ 5x2−2x+ 3, g :x7−→ sh(x)−5
4x, h :x7−→ 3−(x−2)6.
Exercice 11. La distance rqui sépare deux molécules résulte d’un équilibre entre une force
attractive en 1
r7et une force répulsive en 1 r3. Le potentiel correspondant, appelé potentiel de
Jones, est donné par l’application V:
R∗
+→R
r7→ 4
r12 −4 r6.
(1) Calculer les limites de Ven 0et en +∞. Quelle analyse peut-on en tirer ?
(2) Déterminer les distances qui minimisent V(appelées distances d’équilibre).
Exercice 12. (1) Rappeler ce qu’est un développement limité d’une fonction.
(2) Donner les DL2(0),DL4(0),DL10(0) et DL2015(0) de f:x7→ x58 + 2x12 + 5x10 +x3.
(3) Simplifier l’expression : g(x) = x2+o(x4)+3x4−7x6+o(x7) + 1
2x3−x4+o(x)o(x2).
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Exercice 13. À l’aide des règles sur les sommes de développements limités, donner le :
(1) DL7(0) de x7→ ch(x);
(2) DL8(0) de x7→ sh(x);
(3) DL5(0) de x7→ x−ln(x+ 1) ;
(4) DL3(0) de x7→ 1
x+1 +3
√1 + x.
Exercice 14. À l’aide des règles sur les produits de développements limités, donner le :
(1) DL6(0) de x7→ cos(x) ln(1 −x);
(2) DL6(0) de x7→ (1 −ch(x)) sin(x);
(3) DL6(0) de x7→ cos(x) sin(x) + e2x;
(4) DL4(0) de x7→ sh(x)
1−x.
Exercice 15. À l’aide des règles sur les composées de développements limités, donner le :
(1) DL5(0) de x7→ cos (ln(1 + x)) ;
(2) DL5(0) de x7→ ln (1 + sin(x)) ;
(3) DL5(0) de x7→ ecos(x);
(4) DL5(0) de x7→ 3
q1 + cos(x).
Exercice 16. À l’aide des règles sur les quotients de développements limités, donner le :
(1) DL5(0) de x7→ cos(x)
1−x2;
(2) DL4(0) de x7→ 1+x
2+x;
(3) DL5(0) de x7→ tan(x);
(4) DL5(0) de x7→ xcos(x)
sin(x).
3. Des exercices pour maîtriser le cours
Exercice 17. On considère f:x7→ (1 + x)e−x.
(1) Montrer que fest deux fois dérivable sur R, et expliciter les fonctions f0et f00.
(2) Etudier les limites de fen ±∞, ainsi que ses branches infinies.
(3) Etudier la convexité de f, puis dresser le tableau de variations de f(on y fera appa-
raître les limites aux bornes et la convexité).
(4) Tracer l’allure du graphe Cfde fdans un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j).
(5) Montrer que l’équation f(x) = −1admet une solution x0sur R. Est-elle unique ?
Donner une valeur approchée de x0à10−1près. Et pour l’équation f(x) = 1
2?
(6) Prouver que fréalise une bijection de R+sur ]0,1]. Quel est l’ensemble de définition
de la fonction réciproque f−1? Tracer l’allure de son graphe dans (O;−→ i , −→ j).
(7) Prouver que f−1est dérivable au point y=2
eet calculer f−10(2 e).
Exercice 18. Soient a, b, c ∈R∗
+, et f:R+7→ Rdéfinie par f(t) = aebt
c+ebt .
(1) Etudier la continuité et la dérivabilité de f.
(2) Dresser le tableau de variations de f(on y fera apparaître les limites aux bornes).
(3) Déterminer l’image Im(f)de fet justifier que fréalise une bijection de R∗
+sur Im(f).
(4) Donner l’équation de la tangente à la courbe représentative Cfde fau point d’abscisse
0. Quelle est l’allure de la courbe Cfdans un repère orthonormé ?
(5) On suppose que fdécrit l’évolution du nombre d’individus d’une population au fil du
temps texprimé en années. Que représente le réel a? A quelle condition sur cpeut-
on espérer voir un jour la population atteindre le double de son effectif initial ? Sous
cette condition, au bout de combien de temps la population initiale a-t-elle doublé ?
Exercice 19. Les échanges de chaleur entre une pièce de métal et son environnement s’ef-
fectuent via sa surface extérieure et sont proportionnels à celle-ci. On considère une pièce de
métal cylindrique de base un disque de rayon ret de hauteur h.
(1) Quel est le volume de cette pièce de métal ? Quelle est sa surface ?
(2) On souhaite produire des pièces de métal cylindriques de volume 1mm3et minimiser
les échanges de chaleur avec leur environnement. Comment choisir r? Quelle est la
hauteur correspondante ?
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Exercice 20. Lorsqu’on équarrit un tronc d’arbre pour obtenir une poutre résistante, on
lui donne une section rectangulaire qui est plus haute que large. En effet, en mécanique, on
montre que la résistance d’une poutre est proportionnelle au produit de l’aire de la section
par sa hauteur. Pour un tronc cylindrique de diamètre D, la section obtenue est un rectangle
dont les diagonales mesurent D. Trouver les dimensions de la section de la poutre la plus
résistante que l’on puisse fabriquer avec ce tronc de diamètre D.
Exercice 21. Donner les domaines de dérivabilité et les fonctions dérivées de :
f:x7−→ 
xln(x)si x > 0
0si x= 0 , g :x7−→ 
e−1
x2si x6= 0
0si x= 0 ,
h:x7−→ 
x2sin(1
x)si x6= 0
0si x= 0 , j :x7−→ 
esin(x)−1
xsi x > 0
x+ 1 si x < 0.
Exercice 22. À l’aide des règles sur les développements limités, donner le :
(1) DL3(1) de x7→ ln(x)
x2;
(2) DL2(1) de x7→ e√x;
(3) DL3(π)de x7→ sin(x)
√5−4 cos(x);
(4) DA4(+∞)de x7→ ln x+√1 + x2−ln(x).
Exercice 23. Calculer les limites :
lim
x→0
ln(1 + x)−sin(x)
x,lim
x→0
ex2−cos(x)
x2,lim
x→0
sin(x)−xcos(x)
x(1 −cos(x)) ,lim
x→0
1
x2−1 sin2(x),
lim
x→0
1
x−1 ln(1 + x),lim
x→01 + x
1−x1
x
,lim
x→0
1
x2−cos2(x) sin2(x),lim
x→0qsin(x)−√x
sin(√x)−√x.
Exercice 24. Donner la tangente et la position par rapport à celle-ci de :
(1) f:x7→ 2+x+2x2
1+x2en x= 0 ;
(2) g:x7→ 1
1+exen x= 0 ;
(3) h:x7→ x(ex+1)−2(ex−1)
x3en x= 0 ;
(4) i:x7→ 3 ln(x+1)−ln(1+x3)
3xen x= 0 ;
(5) j:x7→ ln(x)
x−1en x= 1 ;
(6) k:x7→ x+ 2√x−√3 + xen x= 1.
Exercice 25. Donner les développements asymptotiques, et les branches infinies en ±∞ de :
f:x7−→ qx(2 + x)e1
x, g :x7−→ 3
√x3+x2+x+ 1, h :x7−→ ln ex2−ex−1,
i:x7−→ q1 + √x, j :x7−→ x2q1 + √x, k :x7−→ 1
x+ ln(x).
4. Des exercices pour réfléchir sur le cours
Exercice 26. Soient Eun sous-ensemble de R, et f:E→Rune application dérivable.
(1) Montrer que si fest paire, alors sa dérivée f0est impaire.
(2) Si fest impaire, que peut-on dire de sa dérivée f0?
Exercice 27. Montrer que, pour tout x∈R∗, on a arctan(x)+arctan(1
x) = 
π
2si x > 0
−π
2si x < 0.
Exercice 28. Montrer que, pour tout x∈R, on a 1−x2
2! +x4 4! −x5 5! ≤cos(x)≤1−x2 2! +x4 4! +x5 5! .
En déduire une approximation décimale de cos(1
4)à10−5près.
Exercice 29. On considère f:] −1,+∞[→Rdéfinie par f(x) = x+ ln(1 + x).
(1) Montrer que fest une bijection croissante de classe C∞.
(2) Montrer que sa bijection réciproque f−1est de classe C∞.
(3) Donner un DL3(0) de f. En déduire un DL3(0) de f−1.
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