Fiche méthodologique Trigonométrie Réelle
BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
CC
BY:
$
\
=
Dans cette fiche, on revoit ce qu’il faut savoir sur les fonctions trigonométriques.
Fonction tangente
On rappelle que la fonction tangente est égale à tan x=sin x
cos x.
Elle est définie pour les xtel que cos x6= 0, c’est-à-dire x6≡ π
2[π]. L’ensemble de définition est
donc : [
kZiπ
2+kπ, π
2+kπh.
À noter :
cette fonction est πpériodique impaire,
la tangente en 0 (y=x),
les limites aux bornes.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figure 1 – Fonction tangente
Valeurs usuelles
Le tableau 1 résume les valeurs à savoir. Il est aussi important de savoir retrouver ces valeurs sur
le cercle trigonométrique.
x0π
6
π
4
π
3
π
2
sin x01
2
2
2
3
21
cos x13
2
2
2
1
20
tan x03
313 +
Table 1 – Valeurs trigonométriques à savoir
Angles opposés, complémentaires, supplémentaires
On a :
sin(x) = sin(x)
cos(x) = cos(x)
tan(x) = tan(x)
sin(πx) = sin(x)
cos(πx) = cos(x)
tan(πx) = tan(x)
sin(π+x) = sin(x)
cos(π+x) = cos(x)
tan(π+x) = tan(x)
sin π
2x= cos(x)
cos π
2x= sin(x)
tan π
2x=1
tan(x)
Formule à retrouver rapidement sur un cercle, plutôt qu’à apprendre par cœur
Sinus et cosinus d’une somme et d’une différence, angle double et de moitié
cos(a+b) = cos(a) cos(b)sin(a) sin(b)
sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
Formule que l’on peut retrouver par Moivre :
ei(a+b)= cos(a+b) + isin(a+b)
=eiaeib = (cos(a) + isin(a))(cos(b) + isin(b))
= cos(a) cos(b)sin(a) sin(b) + isin(a) cos(b) + cos(a) sin(b).
En appliquant à la différence :
cos(ab) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(ab) = sin(a) cos(b)cos(a) sin(b)
En appliquant à l’angle double :
cos(2x) = cos2(x)sin2(x) = 2 cos2(x)1 = 1 2 sin2(x)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
que l’on peut retrouver directement par e2ix = (eix)2et en utilisant cos2+ sin2= 1 :
e2ix = cos(2x) + isin(2x)
=(cos(x) + isin(x))2
= cos2(x)sin2(x) + 2icos(x) sin(x).
On a aussi les formules qui relient l’angle de moitié au carré :
cos2(a) = 1+cos(2a)
2
sin2(a) = 1cos(2a)
2
1cos(x) = 2 sin2x
2
1 + cos(x) = 2 cos2x
2
On peut retrouver ces formules en utilisant Euler :
cos2(a) = 1
4(eia +eia)2
=1
4(e2ia + 2 + e2ia)
=1
2(1 + cos(2a)).
On peut retrouver les deuxièmes en utilisant deux factorisations par l’angle de moitié :
1 + cos(x) =1 + eix +eix
2
=1
2(1 + eix + 1 + eix)
=1
2eix
22 cos(x
2) + eix
22 cos(x
2)
= cos x
2eix
2+eix
2
=2 cos2x
2
Transformation de produit en somme
sin acos b=1
2hsin(a+b) + sin(ab)i
cos acos b=1
2hcos(a+b) + cos(ab)i
sin asin b=1
2hcos(ab)cos(a+b)i
On peut retrouver ces formules avec Euler :
sin acos b=1
4ih(eia eia)(eib +eib)i
=1
4ihei(a+b)+ei(a+b)+ei(ab)ei(ab)i
=1
2hsin(a+b) + sin(ab)i.
Transformation de somme en produit
sin(p) + sin(q) = 2 sin p+q
2cos pq
2
cos(p) + cos(q) = 2 cos p+q
2cos pq
2
sin(p)sin(q) = 2 sin pq
2cos p+q
2
cos(p)cos(q) = 2 sin p+q
2sin pq
2.
Ces formules proviennent de la factorisation par l’angle de moitié :
sin(p) + sin(q) = 1
2iheip eip +eiq eiq i
=1
2iheip +eiq (eiq +eip)i
=1
2iheip+q
2(eipq
2+eipq
2)eip+q
2(eipq
2+eipq
2)i
=1
2iheip+q
22 cos pq
2eip+q
22 cos pq
2i
=cos pq
2
iheip+q
2eip+q
2i
=2 cos pq
2sin p+q
2
Équation trigonométrique
Il faut dessiner sysmatiquement le cercle trigonométrique, de manière à éviter toute erreur
cosinus égaux
cos x= cos α⇒ ∃kZ,
x=α+ 2kπ
x=α+ 2kπ .
Sinus égaux
sin x= sin α⇒ ∃kZ,
x=α+ 2kπ
x=πα+ 2kπ .
Tangentes égales
tan x= tan α⇒ ∃kZ, x =α+kπ.
Propriété fondamentale
Enfin, il ne faut pas oublier la relation
cos2x+ sin2x= 1.
Résolution de acos x+bsin x=c
On s’intéresse à la résolution de l’équation (E) d’inconnue x:
(E) : acos x+bsin x=c, avec (a, b)6= (0,0)
La première étape consiste à poser z=a+ib. On a z6= 0 (si aet bsont nuls, et le problème a peu
d’intérêt). On peut donc écrire ce nombre complexe sous forme trigonométrique : z=ρe.
On divise alors par ρpour avoir :
a
ρcos x+b
ρsin y=c
ρ
cos αcos x+ sin αsin y=c
ρ
cos(xα) = c
ρ.
Deux cas sont alors possibles :
si
c
ρ>1 , l’équation (E) n’a pas de solution dans ce cas.
sinon, il existe un angle θtel que cos(θ) = c
ρ. Dans ce cas l’équation (E) est équivalente avec
ces nouvelles notations à
(E) : cos(xα) = c
ρ.
Cette dernière équation se résout de manière classique.
Comme souvent : apprenez la technique et non les formules.
Exemple: On veut résoudre :
(E) : 3 cos xsin x=3.
On considère donc le nombre complexe :
z=3i= 2 3
2i
2!= 2eiπ
6.
On a alors
(E)cos π
6cos xsin π
6sin x=3
2
(E)cos x+π
6= cos π
6.
1 / 6 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !