Cours d` Anne-Marie Boussion (2009) - Partie 1

Université Paris Dauphine / DUMI2E 2ème année / Probabilités 2008-2009 / Cours A.M.B. 1ère partie p.1
UNIVERSITE PARIS-DAUPHINE
Département MIDO
A.M.Boussion/Probabilités DU MI2E 2ème année (2008-2009)
Le programme de ce cours comprend :
- la notion générale d'espace de probabilité
- les variables aléatoires réelles définies sur un espace de probabilité, la notion de loi
(en particulier les lois continues qui n'ont pas été vues en première année), moments,
lois usuelles (en particulier les lois normales) ;
- les couples et vecteurs aléatoires : lois marginales, indépendance, lois
conditionnelles et espérances conditionnelles.
Le chapitre 0 de ce polycopié rappelle les prérequis d'Analyse nécessaires :
- l’intégrale simple et les propriétés de l’intégrale fonction de la borne supérieure,
(ces notions ont été étudiées en première année) ;
- les séries et l’intégrale généralisée, qui sont étudiées parallèlement en Analyse 3.
Le chapitre 1 traite des espaces de probabilité : seule sera exposée en amphi la notion
nouvelle de tribu, les définitions et propriétés vues en première année dans le cas des
espaces finis ou dénombrables étant simplement rappelées. C'est la raison pour
laquelle sont explicitées dans ce chapitre toutes les démonstrations utiles pour réviser
ou se mettre à niveau.
A partir du chapitre 2, le polycopié ne contient plus les démonstrations ; celles-ci
seront développées en cours ainsi que les exemples.

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TABLE DES MATIERES
Chapitre 0 : Rappels d’Analyse 3
1 - Séries numériques 3
2 - Intégrales 4
Chapitre 1 : Espace de probabilité 10
1 - Espace probabilisable 11
2 - Espace de probabilité 14
3 - Probabilité conditionnelle 19
4 - Evénements indépendants 23
5 - Ω non dénombrable : deux exemples pour réfléchir 26
6 - Espaces de probabilité liés aux différents modes de tirage 29
Chapitre 2 : Variables aléatoires réelles 31
1 - Définition générale d'une variable aléatoire 31
2 - Loi et fonction de répartition d'une variable aléatoire 34
3 - Variable aléatoire discrète 35
4 - Variable aléatoire continue 38
5 - Moments d'une variable aléatoire 43
6 - Les lois normales ou de Laplace-Gauss 49
7 - Les lois usuelles 52
Table de la loi normale centrée réduite 57

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Chapitre 0 : Rappels d’Analyse
1 - Séries numériques
Définition 0.1.1 : Série convergente et absolument convergente :
• La série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles
(∑
i=1
n ui)n est convergente.
On note alors ∑
i=1
+∞
ui = lim
n→+∞ ∑
i=1
n ui et on l’appelle somme de la série.
Dans le cas contraire, la série de terme général un est dite divergente.
Propriété 0.1.2 : Condition nécessaire de convergence d’une série
Si une série converge, son terme général tend vers 0. Cette condition est nécessaire
mais non suffisante.
k Exemples :
- série géométrique : ∑
i=0
+∞
xi converge si et seulement si x  < 1
et pour x  < 1 ∑
i=0
+∞
xi = 1
1 - x
- série exponentielle : ∑
i=0
+∞
xi
i! = ex pour tout réel x
- ∑
i=1
+∞
1
i(i+1) = 1
- série de Riemann : ∑
i=1
+∞
1
iα converge si et seulement si α > 1
En particulier ∑
i=1
+∞
1
i est divergente.

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Propriété 0.1.3 : Convergence des séries à termes positifs
• Toute série positive majorée par une série convergente est convergente.
• Deux séries positives dont les termes généraux sont équivalents au voisinage de
l’infini sont de même nature.
Définition 0.1.4 : Série absolument convergente :
La série de terme général un est dite absolument convergente si la série de terme
général un  converge.
k Exemples :
- ∑
i=0
+∞
xi est absolument convergente pour x  < 1
- ∑
i=1
+∞
(-1)i
i est convergente, mais non absolument convergente (= semi-convergente)
Propriété 0.1.5 :
Toute série absolument convergente est convergente.
* Attention !
Si on modifie l'ordre des termes d'une série absolument convergente, la somme de
la série est inchangée. Par contre si la série est semi-convergente, une modification
de l'ordre de ses termes peut entraîner une modification de la valeur de la somme,
et même transformer la série en une série divergente.
2 - Intégrales
a) Intégrale d'une fonction continue sur un segment
Définition et propriétés 0.2.1 :
• Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R.
Une fonction F est une primitive de f sur I si F est définie et dérivable sur I et :
∀ x ∈ I F'(x) = f(x)
• Si une fonction f admet une primitive F sur I, elle en admet une infinité qui se
déduisent de F par l'addition d'une constante.
• Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.
Définition 0.2.2 :
Soient a et b deux réels distincts, et f une fonction continue sur le segment [a, b] (ou
[b, a] si b < a). Soit F une primitive de f sur [a, b].
On appelle intégrale de f sur [a, b] la différence F(b) - F(a) : cette différence ne
dépend pas de la primitive F choisie.
On note F(b) - F(a) = ∫
a
b
f(t) dt

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Interprétation géométrique en repère orthonormé : si a < b, cette intégrale est égale
à l’aire algébrique limitée par le graphe de f, l’axe des abscisses et les droites
verticales d’équations x = a et x = b.
Propriétés 0.2.3 :
• Par convention, pour tout réel a : ∫
a
a
f(t) dt = 0
• Pour tous réels a et b : ∫
b
a
f(t) dt = - ∫
a
b
f(t) dt
Propriétés 0.2.4 :
Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] :
• Pour tous réels λ et µ, ∫
a
b
[λ f(t) + µ g(t)] dt = λ ∫
a
b
f(t) dt + µ ∫
a
b
g(t) dt
• Si a ≤ b et si f ≤ g sur [a, b] , alors ∫
a
b
f(t) dt ≤ ∫
a
b
g(t) dt
On résume ces deux propriétés en disant que l’intégrale est une forme linéaire
positive (ou croissante).
• Relation de Chasles :
Pour a < c < b : ∫
a
b
f(t) dt = ∫
a
c
f(t) dt + ∫
c
b
f(t) dt
Cette formule reste vraie quelles que soient les positions relatives de a, b, c pourvu
que f soit continue sur le plus grand des intervalles.
• Formule d’intégration par parties :
Si f et g sont de classe C1 sur [ a, b ] :
∫
a
b
f(t) g’(t) dt = f(b) g(b) - f(a) g(a) - ∫
a
b
f’(t) g(t)dt
• Formule de changement de variable :
Soit ϕ une bijection de classe C1 définie sur le segment [a, b], et soit f une fonction
continue sur le segment ϕ([a, b]).
On pose α = ϕ(a) et β = ϕ(b). On a alors :
∫
α
β
f(t) dt = ∫
a
b
f[ϕ(x)] ϕ’(x) dx