L. Foucan

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Probabilités et Statistiques PAES 2012 - 2013 L FOUCAN
PROBABILITÉS
ET
STATISTIQUES

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Probabilités et Statistiques PAES 2012 - 2013 L FOUCAN
Sommaire
Chapitre 1 Statistique descriptive
4
1
La statistique et les statistiques
4
2
Généralités sur les distributions statistiques
4
2.1
Population et échantillon
2.2
Variables statistiques
2.2.1 Variables quantitatives
2.2.2 Variables qualitatives ou catégorielles.
3
Distribution statistique d’une variable
5
3.1
Données brutes
3.2
Suites ordonnées
3.3
Distribution d’effectifs.
3.4
Intervalles de classe - bornes - centre de classe
3.5
Représentation des données
4
Indices de Position – Indices de dispersion.
8
4.1
Indices de position (moyenne, médiane, mode)
4.2
Indices de dispersion (étendue, valeurs extrêmes, quantiles, variance, écart-type)
5
Somme de deux variables
10
Chapitre 2 Principales distributions de probabilité
13
1
Notion de variable aléatoire
13
2
Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
13
2.1
Loi Binomiale ou distribution de Bernoulli
13
2.2
Loi de Poisson :
14
3
Loi de probabilité d’une variable aléatoire continue
14
3.1
Loi de Laplace –Gauss (ou loi normale)
14
3.1.1 Définition de la loi normale
3.1.2 Courbe représentative de la densité de probabilité
3.1.3 Loi normale centrée réduite
3.1.4 Table de l’écart –réduit
3.1.5 Importance de la loi normale
3.2
Lois dérivées de la loi normale
17
3.2.1 Loi du chi-deux
3.2.2 Loi de Student
Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles. Indépendance entre évènements. Théorème de Bayes.
19
1
Généralités
19
Les éventualités résultant d’une expérience:
Propriétés élémentaires des probabilités
2
Probabilités conditionnelles
19
3
Indépendance en Probabilité
20
4
Théorème de Bayes
20
Chapitre 4 Fluctuation d’échantillonnage
22
1
Population des Echantillons issus d’une population d’individu
22
2
Fluctuations d’échantillonnage d’une moyenne
22
3
Fluctuations d’échantillonnage d’une proportion
22
Chapitre 5 Estimation par intervalle de confiance ²25
Généralités
25
1
Estimation ponctuelle
25
2
Estimation par intervalle de confiance.
26
2.1
Variable quantitative – estimation d’une moyenne par intervalle de confiance
2.2
Variable qualitative – estimation d’une fréquence par intervalle de confiance
3
Précision d’un intervalle de confiance
27
4
Nombre de sujets nécessaire
27
Chapitre 6 : Comparaison d’une caractéristique observée à une caractéristique théorique
29
1
Etapes d’un test statistique - grands échantillons:
29
2
Risque de première , risque de deuxième espèce, puissance d’un test statistique
30
Chapitre 7. Comparaison de deux variances
32
1
Test de Fisher
32
2
Table de Fisher
33
Chapitre 8 Comparaison entre deux caractéristiques observées
34
1
Comparaison de deux moyennes observées
34
1.1
Cas des échantillons indépendants
1.2
Cas des échantillons appariés

3
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2
Comparaison de deux fréquences observées
38
2.1
Cas des échantillons indépendants
2.2
Cas des échantillons appariés
Chapitre 9 Le test de chi-deux
39
1
Le chi-deux d’indépendance
39
2
Le chi-deux d’ajustement
41
3
Table de chi-deux
42
Chapitre 10 Tests non paramétriques
45
1
Principes des tests non paramétriques
45
2
Tests non paramétriques avec échantillons indépendants
45
3
Table de U - pour le test de Mann et Whitney
47
4
Tests non paramétriques avec échantillons appariés
47
Références
48

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Probabilités et Statistiques PAES 2012 - 2013 L FOUCAN
Chapitre 1 Statistique Descriptive
1. La statistique et les statistiques
La statistique est une « méthode de raisonnement permettant d’interpréter le genre de données très
particulières, qu’on rencontre notamment dans les sciences de la vie, dont le caractère essentiel est
la variabilité « D. Schwartz ».
Les statistiques ensemble des données relatives à un groupe d’individus ou d’unités.
La statistique descriptive est la phase de la statistique qui se limite à décrire ou analyser une
population donnée, sans tirer de conclusion pour une population plus grande.
2. Généralités sur les distributions statistiques
La statistique descriptive va nous permettre d’étudier un certain nombre d’objets par le terme de
série ou ensemble statistique.
Il existe 2 grands types de séries statistiques : la population et l’échantillon.
2.1. Population et échantillon
Population : ensemble de tous les individus qui relèvent d’une définition donnée.
La population est plus ou moins vaste, selon sa définition (parfois, des milliers de sujets).
Echantillon = fraction de la population
Pour avoir des renseignements sur la population à partir de l’échantillon extrait : l’échantillon doit
être représentatif.
L’échantillon est représentatif
si sa taille est suffisamment grande
et si il est extrait au hasard de la population (tirage au sort)
2.2. Variables statistiques
Une variable statistique est une caractéristique p
La variable peut être quantitative ou catégorielle.
2.2.1 Variables quantitatives : sont des variables mesurables : poids, taille, âge. Elles sont
souvent accompagnées d’une unité de mesure (ex : poids = 50 kg).
On distingue 2 sous – catégories :
* Variables continues qui peuvent prendre un nombre infini de valeur dans un intervalle
donné (ex : taille, pression artérielle diastolique).
* Variables discrètes : ne peuvent prendre qu’un nombre fini de valeur : ex : nombre
d’enfants d’une famille.
On transforme souvent une variable continue en variable discrète : c’est la discrétisation ou
groupement par classe.
2.2.2 Variables qualitatives ou catégorielles.
Ce sont des variables non mesurables. Elles ont un certain nombre de catégories ou modalités.
Une variable catégorielle à 2 catégories est dite dichotomique ou (binaire).
Ex la variable fumeurs (fumeurs-non fumeurs) est une variable catégorielle à deux catégories.
En présence de plusieurs catégories, on distingue :
Les variables ordinales : elles peuvent bénéficier d’un classement ordonné ou d’un ordre
naturel.

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Probabilités et Statistiques PAES 2012 - 2013 L FOUCAN
Ex : l’intensité de douleur : nulle, légère, intense, insupportable.
La transformation d’une variable catégorielle ordinale en variable catégorielle dichotomique est
possible. Ex pour la douleur : pas de douleur / douleur.
Les variables nominales : Il n’existe pas d’ordre naturel. Chaque classe désigne une
catégorie (elle la nomme). Par exemple, pour la couleur des yeux : noir / marron / vert /bleu.
3 Distribution statistique d’une variable
3.1 Données brutes : données rassemblées sans se soucier d’un ordre quelconque.
3.2 Suites ordonnées : les données sont rangées par ordre fixe (croissant ou décroissant).
Considérons la valeur xi, elle se rencontre ni fois
ni est appelé effectif
fi = ni/n est appelé fréquence ou pourcentage (* 100)
Valeur
de la variable
effectif
fréquence
x1
n1
f1
xi
ni
fi
xp
nP
fp
n n est l’effectif total de l’échantillon
3.3. Distribution d’effectifs. Après avoir ordonné les données, on découpe l’étendue en classes (ou
catégories) et on dénombre toutes les mesures qui tombent à l’intérieur d’une même classe. A
chaque classe on associe l’effectif (et la fréquence).
Ex : Répartition d’un dosage chez l’enfant de moins de 16 ans :
Valeur du dosage
effectif
> 10 - <20
6
> 20 - <30
26
> 30 - <40
42
> 40 - <50
26
Total
100
3.4. Intervalles de classe - bornes - centre de classe
Les classes sont d’étendues égales (en général). La borne inférieure comprise, borne supérieure
exclue.
Considérons la classe 20-30 du tableau
-Cette classe définit tous les enfants dont le dosage est compris entre 20 et 30.
-La borne inférieure est 20, la borne supérieure est 30.
- L’intervalle de classe est fermé : > 20 - <30 ou encore [20 - 30[
Dans un intervalle de classe ouvert, une des bornes n’existe pas. Ex valeur du dosage >50
-Le centre de classe est défini comme la moyenne des bornes de la classe :
Pour la classe 30 - 40 le centre de classe est 35.
Dans une distribution en classes, lors du calcul de la moyenne ou de la variance, chaque élément
d’une classe a la valeur du centre de classe : on suppose donc que les 42 enfants de la classe 30-40
ont une valeur du dosage égale à 35.
3.5 Représentation des données