Une application de la loi Normale

LOI NORMALE
LOI STUDENT
ECHANTILLONS
ET TESTS DE MOYENNE
PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
Une application de la loi Normale : l’induction statistique
L’induction statistique traite des liens entre les paramètres
d’une population mère et ceux issus d’échantillons, on note:
Population mère
N = taille de la population mère
m = moyenne déterminée dans la population mère
 x = Ecart-type déterminé dans la population mère
P= Proportion déterminée dans la population mère,
ECHANTILLON
n
n
Pn=
= taille de l’ échantillon
= Moyenne c sur échantillon
= Ecart-type sur échantillon
Proportion sur échantillon
x
PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
Une application de la loi Normale : l’estimation,
Le travail d’estimation consiste à partir d’informations
tirées d’un échantillon pour donner un intervalle de
confiance dans la population mère du paramètre estimé.
L’estimation de moyenne:
Par exemple, on a commandé 30 000 ours en peluche, avec
une résistance des yeux à au moins 15 kg de traction.
On teste 82 ours et on obtient 14,5kg de résistance
moyenne avec un écart-type de 0,9 kg, l’annonce du
vendeur est-elle acceptable ou doit-elle être rejetée?
x
Une application de la loi Normale : l’estimation de moyenne
Cela revient au shéma ci-dessous
Population mère
N = 30000
 x = inconnu
m = à estimer
= 14,5
 n = 0,9
ECHANTILLON
n
= 82
Pour traiter ces questions on partira de la propriété suivante :
si x
N (m; x) ou si n>30 alors xn N (m,
Ici
x 82
N (m,
x
82
)
x
n
)
x
PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
Une application de la loi Normale : l’estimation de moyenne
Cela revient au shéma ci-dessous
avec :
x 82
x
N (m,
82
)
On ne connaît pas  x , il faudra donc l’estimer de
manière ponctuelle,
 n n’est pas à l’état brut un bon estimateur, il faut
passer par S:
( xi  x )
( xi  x )


 n
à comparer avec
S 
n 1
2
2
n
i
i
On en déduit que
et donc 𝒙𝒏 ~𝑵(𝒎,
S
𝑺
𝒏
n
 n
n 1
ici
) soit ici 𝒙𝒏 ~𝑵(𝒎,
S=
=
)
x
PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
Une application de la loi Normale : l’estimation de moyenne
et donc 𝒙𝒏 ~𝑵(𝒎,
𝑺
𝒏
) soit
ici 𝒙𝒏 ~𝑵(𝒎,
)
Si on applique la méthode des intervalles de confiance,
On tire la formule:
m∈ 𝒙𝒏 ± 𝒖𝟏− ∝ ×
𝟐
𝑺
𝒏
Ici pour un intervalle de confiance à 95%, on obtient :
m∈ soit m ∈
m∈[
;
] donc
ne figure pas
x
PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
Une application de la loi Normale : l’estimation de moyenne
𝑺
sur la base de 𝒙𝒏 ~𝑵(𝒎, )
𝒏
ne s’applique que dans le cas où n est au moins égale à 30
Si n<30, il faut passer par la loi de Student Fisher…
…paramétrée de la même manière que la loi Normale
𝑺
𝒙𝒏 ~𝑺𝒕(𝒎, )
𝒏
Avec une variable t au lieu de u et une lecture directe sur le

risque en t au lieu de u1  2 pour déterminer l’intervalle
de confiance qui devient :
𝑺
m∈ 𝒙𝒏 ± 𝒕∝ ×
𝒏
x
PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
Estimation de moyenne: Par exemple pour un échantillon de
26 et un intervalle de confiance à 95% alors que l’on a obtenu
une moyenne de 14,5 et l’écart-type de 0,9 sur l’échantillon
On a S=
± 𝒕∝ ×
et m∈
s’obtient directement dans la table de Student en
t
croisant
la ligne des degrés de liberté ddl ou = n-1 : ici 25 et
la colonne des risques ici 0,05
Soit
= 2,06
Et
m∈ 𝟏𝟒, 𝟓 ±
m∈ 𝟏𝟒, 𝟓 ±
m∈[
]
ddl
1
2
3
4
,,,
23
24
25
30
0.50
0.20
1.000 3.078
0.816 1.886
0.765 1.638
0.741 1.533
,,
,,
0.685 1.319
0.685 1.318
0.684 1.316
0.683 1.310
0.10
6.314
2.920
2.353
2.132
0.05
12.706
4.303
3.182
2.776
0.02
31.281
6.965
4.541
3.747
1.714
1.711
1.708
1.697
2.069
2.064
2.060
2.042
2.500
2.492
2.485
x
2.457
LES TESTS DE MOYENNES
Comparaison d’une Moyenne observée à une moyenne
théorique
La moyenne annoncée par le vendeur est m=15kg,
Peut-on accepter cette moyenne (Ho), sachant que dans
un échantillon de 36 on a obtenu 𝒙𝟑𝟔 =14,5kg avec S=1,5
ou peut-on la rejeter au risque de 5% (H1)?
Reprenant les règles applicables aux échantillons, on peut
Considérer Z =
𝑥36 −𝑚
𝑠
36
=
14.5 −15
1.5
36
= -2
Or le seuil pour un intervalle de confiance à 95% de la loi
Normale est
ou
LES TESTS DE MOYENNES
Comparaison d’une Moyenne observée à une moyenne
théorique
Considérer Z =
𝑥36 −𝑚
𝑠
36
=
14.5 −15
1.5
36
= -2
Or le seuil pour un intervalle de confiance à 95% de la loi
Normale est +1,96 ou -1,96
Cela veut aussi dire que lorsque l’on a une moyenne de
population mère égale à 15, il y a 95% de chance pour que
le U obtenu soit compris entre -1,96 et +1,96 et donc 5%
pour qu’il soit à l’extérieur de cet intervalle.
Si U<-1,96 ou U>+1,96, on peut rejeter l’hypothèse Ho de la
moyenne théorique annoncée avec un risque de rejet à tort
de 5%.
ici le U calculé -2 <- 1,96 donc on rejette la moyenne de15 kg
LES TESTS DE MOYENNES
Comparaison d’une Moyenne observée à une moyenne
théorique
Si n<30 on procède de la même manière mais via le t de
student.
Par exemple si l’on avait testé 25 unités avec les mêmes
résultats
𝑥25 −𝑚
14.5 −15
Soit t =
= 1.5 = -1,67
𝑠
25
25
𝑡0,05 avec ddl de 24 =2,064 références [ -2,064 ; +2,064]
Comme t=-1,67 non <-2,064 on ne peut rejeter l’affirmation
du fournisseur sur le risque de 5%
Il faudrait monter à 20% de risque pour obtenir
un t=1,318 tel que -1,67<-1,318
LES TESTS DE MOYENNES
Comparaison de deux moyennes issues de deux échantillons
indépendants (non appariés)
On prélève deux échantillons issus de deux bateaux
différents et l’on se demande s’ils viennent bien du même
fournisseur où si les moyennes sont si différentes qu’ils ne
peuvent avoir une même origine.
Bateau A 𝒏𝑨 = 𝟑𝟔 donne 𝒙𝑨 =14,5kg avec 𝑺𝑨 =1,5
Bateau B 𝒏𝑩 = 𝟒𝟗 donne 𝒙𝑩 =15,5kg avec 𝑺𝑩 =1,0
Cette fois la formule devient
U=
𝑥𝑎 − 𝑥𝑏
𝑆𝑎2
𝑆𝑏2
𝑛𝑎 + 𝑛𝑏
=
14.5 − 15.5
1.52 12
+
36
49
= 3.47
LES TESTS DE MOYENNES
Comparaison de deux moyennes issues de deux échantillons
indépendants (non appariés)
Bateau A 𝒏𝑨 = 𝟑𝟔 donne 𝒙𝑨 =14,5kg avec 𝑺𝑨 =1,5
Bateau B 𝒏𝑩 = 𝟒𝟗 donne 𝒙𝑩 =15,5kg avec 𝑺𝑩 =1,0
Cette fois la formule devient
U=
𝑥𝑎 − 𝑥𝑏
𝑆𝑎2 𝑆𝑏2
𝑛𝑎 + 𝑛𝑏
=
14.5 − 15.5
1.52 12
+
36
49
= 3.47
3,47 > 1,96 donc la différence est significative au risque de 5%
Si 𝒏𝑨 et/ou 𝒏𝑩 <30 alors on procèderait via un test de Student avec
un ddl =𝒏𝑨 + 𝒏𝑩 -2 si 𝒏𝑩 = 26 ddl = 36+26-2=60 soit à 5% un t=2
Là aussi dépassé par 3,47