L`essentiel des statistiques inférentielles

Le formidable développement des outils informatiques et de leur puissance de calcul permet de
traiter de très grands nombres de données, d’obtenir rapidement des résultats et des inter-
prétations et il est peu de domaines aujourd’hui qui ne fassent appel aux statistiques comme sources
d’informations. Que l’on s’intéresse à la physique, fondamentale ou appliquée, que l’on travaille
dans la finance, le commerce, l’assurance, la biologie, dans le monde de la recherche comme dans
celui de l’entreprise, les données sont relevées, analysées et exploitées.
La première tâche de la statistique consiste à décrire de façon précise et rigoureuse les ensembles
qu’elle étudie sous l’angle particulier qui l’intéresse mais la tâche ne s’arrête pas là. Au-delà des
observations qu’elle peut effectuer, la statistique cherche à construire des modèles, à élaborer
des hypothèses plus ou moins probables concernant certains événements échappant à son
observation directe ; soit parce que ces événements concernent des ensembles plus vastes que ceux
qui ont été observés, soit qu’il s’agisse d’événements à venir.
Cette deuxième phase de l’étude statistique, appelée statistique inductive ou statistique inférentielle
part des résultats obtenus sur les échantillons observés et, connaissant les différents modèles déve-
loppés par la théorie des probabilités, permet d’élaborer des hypothèses valables avec de fortes
probabilités portant sur la population alors même que celle-ci n’aura pas été observée de façon
exhaustive.
Un premier ouvrage reprend les bases de la théorie des probabilités et les lois de probabilités
permettant la modélisation de situations concrètes. Dans ce deuxième ouvrage, les méthodes
de la statistique inférentielle sont étudiées, d’une part, avec la résolution de problèmes d’esti-
mations de paramètres et, d’autre part, avec des problèmes portant sur le contrôle des normes à
partir de l’observation d’échantillons ou enfin le contrôle de la validité des modèles formulés.
PRÉSENTATION

Chapitre 1 -Distributions d’échantillonnage 11
1 - Distribution d’échantillonnage
de la moyenne d’échantillon 12
■Fluctuations de la moyenne observée dans un échantillon de taille n 12
■Caractéristiques de la moyenne d’échantillon X 14
■Distribution d’échantillonnage de la statistique X. Théorème central limite 14
a) Cas où la variable parente X est distribuée normalement dans la population 14
b) Cas où la distribution de la variable parente X est inconnue mais on prélève
un « grand échantillon » 15
c) Cas où la variable parente X est distribuée normalement dans la population,
mais on ne connaît pas l’écart-type σ de la variable X dans la population 15
2 - Fluctuations de la variance et de l’écart-type de X
dans un échantillon gaussien 16
■Cas où m = E (X), moyenne de X dans la population est connue 16
a) Caractéristiques de la variable S’
2 16
b) Distribution d’échantillonnage de la variable S’
2 dans le cas
d’une population d’origine normale 17
■Cas où m = E (X), moyenne de X dans la population est inconnue 17
a) Caractéristiques de la variable S
2 17
b) Distribution d’échantillonnage de la variable S ² dans le cas
d’une population d’origine normale 17
3 - Fluctuations de la moyenne d’échantillon X dans le cas où σ2
est inconnue, si la loi de X est normale 19
SOMMAIRE

SOMMAIRE
4 - Fluctuations de la fréquence d’échantillons 20
Chapitre 2 -Estimation des paramètres 23
1 - La variable estimateur ou statistique 23
■L’estimateur du maximum de vraisemblance 23
■Le principe de la méthode du maximum de vraisemblance 24
2 - Estimation ponctuelle d’un paramètre 27
■Estimation de l’espérance E (X) = m 27
■Estimation de la variance de σ (X) 27
■Estimation de la proportion p satisfaisant un critère A dans une population 27
3 - Estimation par intervalle de confiance d’un paramètre 28
■Estimation de la moyenne m de la population, au seuil de confiance α 28
a) Cas où σ, écart-type de X dans la population est connu 28
b) Cas où σ, écart-type de X dans la population est inconnu 31
c) Commandes Excel (fx : catégorie statistique) 33
■Estimation de la variance σ2 d’une variable X dans la population,
au seuil de confiance α, dans le cas d’échantillons gaussiens 33
a) Cas où m : valeur moyenne de X dans la population est connue 33
b) Cas où m, valeur moyenne de X dans la population est inconnue 34
■Estimation de la proportion d’individus satisfaisant un critère
dans la population, au seuil de confiance α 36
Chapitre 3 -Tests d’hypothèses. Le contrôle des normes 41
1 - Généralités. Les principes du test d’hypothèses 41
■Les hypothèses 44
■Le choix des hypothèses 44
■Les risques de première et de deuxième espèce 44
■La variable de décision 45
■Le seuil de signification, la région critique 45
■Le seuil descriptif, la probabilité critique 46

SOMMAIRE
■La latéralité du test 46
■L’énoncé de la règle de décision. La prise de décision 47
2 - La construction d’un test d’hypothèses 48
■Avec la région critique 48
■Avec la probabilité critique 48
3 - Risque de deuxième espèce. Puissance d’un test 52
■Le risque de deuxième espèce β 52
■La courbe d’efficacité du test 53
Chapitre 4 - Tests usuels de comparaison
d’un paramètre à une norme 57
1 - Tests portant sur la moyenne d’une population 57
■La construction du test 57
a) La formulation des hypothèses 57
b) Le choix de la variable de décision 57
c) La détermination de la région critique, au seuil de signification α. 59
d) L’énoncé de la règle de décision 59
■L’utilisation du tableur : test de comparaison d’une moyenne à une norme 65
2 - Tests portant sur la variance d’une loi normale, sous condition
que X → 1 ( m ; σ), quelle que soit la taille de l’échantillon 66
a) Formulation des hypothèses 66
b) Variable de décision, sous condition que X est distribuée normalement 66
c) Région critique 67
3 - Test portant sur la proportion d’individus satisfaisant un critère
dans une population 69
a) Formulation des hypothèses 69
b) Variable de décision 69
c) Détermination de la région critique 70
d) Énoncé de la règle de décision 70

SOMMAIRE
Chapitre 5 - Tests de comparaison des paramètres
de deux populations 73
1 - Tests portant sur la comparaison de deux variances
et de deux moyennes 73
■Dans le cas de petits échantillons gaussiens 73
a) Test de l’égalité des variances de Fisher Snédécor 74
b) Test de l’égalité des moyennes, à condition que σ
1 = σ 2 = σ
2 75
■Cas d’échantillons non gaussiens : n1 et n2 grands 81
a) Test de l’égalité des variances 81
b) Test de l’égalité des moyennes 81
2 - Tests portant sur la comparaison de proportions d’individus
satisfaisant un critère dans deux sous-populations 81
Chapitre 6 -Les tests de la régression simple 877
1 - Les résultats de la méthode des moindres carrés 87
■Indice de la qualité d’un ajustement linéaire, le coefficient de détermination R² 88
a) Formule de décomposition 88
b) Le coefficient de détermination R² 89
2 - Le modèle de régression linéaire et son estimation 90
■Le modèle 90
■Les hypothèses de Gauss Markov 91
■Les estimateurs des moindres carrés 91
■La variance résiduelle 93
■Tests d’hypothèses portant sur la validité du modèle 93
a) Test sur la nullité du coefficient de détermination 93
■Analyse de variance de la régression 105
a) Le test 105
b) Présentation des résultats : table d’analyse de la variance 106
c) La régression linéaire sur Excel 107
■Jugement par intervalle de confiance d’une valeur prédite Y 109