geii le havre - Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre

IUT du Havre
Département de Génie Electrique et Informatique Industrielle
Cours de Mathématiques (GEII 1 - MA11)
Gisella Croce - Dominique Soudière
29 octobre 2010
Table des matières
1 Révision des bases
I - Ensembles de nombres . . . . . . .
II - Rappels généraux sur les fonctions
III - Les fonctions usuelles . . . . . . . .
IV - Transformations sur les graphes . .
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2 Trigonométrie
I - Les angles et le cercle trigonométrique . .
II - Définition des fonctions trigonométriques
III - Des formules importantes . . . . . . . . .
IV - Graphes des fonctions trigonométriques .
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45
45
47
51
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3 Nombres complexes
I - Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . .
II - Forme algébrique d’un nombre complexe . . .
III - Forme trigonométrique d’un nombre complexe
IV - Forme exponentielle d’un nombre complexe .
V - Formules de Moivre et d’Euler . . . . . . . .
VI - Equations du second degré . . . . . . . . . . .
VII - Racine n-ème d’un complexe . . . . . . . . .
VIII -Transformations dans le plan complexe . . . .
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62
62
66
70
72
72
75
76
A TPMA11 :Découverte de Maxima
I - Introduction à Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II - Fonctions à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III - Programmation sous Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
78
81
82
B Exercices de révision
85
C Principales commandes de Maxima
I - Généralités . . . . . . . . . . . . .
II - Nombres entiers . . . . . . . . . . .
III - Nombres réels . . . . . . . . . . .
IV - Nombres complexes . . . . . . . .
V - Equations . . . . . . . . . . . . .
VI - trigonométrie . . . . . . . . . . .
VII - Calcul vectoriel . . . . . . . . . .
VIII - Polynômes - Fractions . . . . . .
IX - Fonctions numériques . . . . . . .
X - Développements limités . . . . . .
XI - intégrales . . . . . . . . . . . . . .
XII - équations différentielles . . . . . .
XIII - Suites- Séries . . . . . . . . . . .
XIV - Transformées de Laplace . . . . .
XV - Matrices . . . . . . . . . . . . . .
XVI - Programmation . . . . . . . . . .
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89
89
D Corrigés des exercices
I - Révision des bases .
II - Trigonométrie . . . .
III - Nombres Complexes
IV - Révisions . . . . . .
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90
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97
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Notes
Ce polycopié a été élaboré en partie à partir de
➥ notes des cours initialement écrites par Adnan Yassine et Aziz Alaoui au Département de Génie Electrique
et Informatique Industrielle de l’IUT du Havre
➥ J-M. Monier, Analyse MPSI, Dunod, 2006
➥ E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991
➥ E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991
➥ divers travaux de collègues de lycée dont Nathalie DAVAL et Michel GOSSE.
Merci à Pierre Maréchal pour sa collaboration au sujet de l’utilisation des mathématiques dans les autres
disciplines de GEII.
Mode d’emploi
L’étudiant trouvera dans ce document un ensemble de cours et exercices de mathématiques conforme au
programme du département GEII. En introduction sont indiquées quelques applications du chapitre aux
matières qui l’utilisent. Le cours est construit de façon à ce que l’étudiant complète les différents trous
et ainsi assimile l’essentiel sans avoir à tout écrire. Le document complété sera ensuite mis en ligne par
l’équipe enseignante sur le site universitaire EUREKA (cf. chapitre eureka) de façon à ce que l’étudiant
corrige ses erreurs de prise de note ou dispose du document en cas d’absence.
Il va sans dire que l’intérêt de la démarche repose sur la bonne volonté de l’étudiant et qu’elle n’aurait
aucun intérêt si l’étudiant se contentait d’attendre le polycopié final. On ne saurait trop répéter que, à
l’image d’une activité sportive,
il n’y a pas de réussite sans effort.
En résumé, l’étudiant modèle complète en séance le polycopié, le relit et le corrige. Il apprend certains
résultats en particulier et surtout il travaille les exercices faits et ceux restant à faire. Il dispose sur le
site Eureka d’un forum sur lequel il peut poser des questions à l’enseignant en dehors du TD, ce qui
n’empêche pas de le faire en direct.
⇒
⇒
3
Attention
L’adresse électronique des étudiants est de la forme [email protected].
Cette adresse sera la seule reconnue par l’institution universitaire. Les étudiants sont donc invités à
l’utiliser pour tout courrier institutionnel et c’est par ce canal qu’il pourront recevoir une information
universitaire.
4
Retrouver ce cours sur le web : EUREKA
Eureka est un site Internet, où (e enntre autres) les enseignants de Mathématiques au Département de Génie
Electrique et Informatique Industrielle de l’IUT du Havre ont mis les documents des cours de la première année
et de la deuxième année : résumés des cours avec exercices (et corrigés), interrogations écrites, DS.
Voici les cours de Mathématiques donnés en GEII que l’on peut trouver sur Eureka :
➥ GEII mathématiques première année
➥ GEII -Mathématiques Numériques (1ère année)
➥ GEII mathématiques deuxième année
➥ GEII-MCM3-Probabilités et Statistiques (module complémentaire 2ème année)
ACCES A EUREKA
➔ Les étudiants sont invités, lors de leur inscription à l’Université du Havre, à consulter l’Espace Numérique
de Travail (ENT) (https ://ent.univ-lehavre.fr) pour prendre connaissance de cette adresse et valider leur
compte.
➔ Ils trouveront en particulier via cet espace l’accés à Eureka qui contient l’ensemble des supports de cours
Une fois sur https ://eureka.univ-lehavre.fr entrer l’Identifiant et le mot de passe.
➔ Cliquer sur DUT. Cliquer sur un cours qu’on veut consulter (s’inscrire).
5
Glossaire
Alphabet grec
Minuscules : α β γ δ ε η θ ι κ λ μ ν ξ ω π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω
Prononciation : alpha, beta, gamma, delta, epsilon, eta, theta, iota, kappa, lambda, mu, nu, xi, omicron,
pi, rho, sigma, tau, upsilon, phi, chi, psi, omega
Certaines majuscules(minuscules) :
Γ(γ),
Δ(δ),
Θ(θ),
Λ(λ),
Π(π),
Σ(σ),
Υ,
Φ(ϕ),
Ψ(ψ),
Ω(ω)
Notations
∃
il existe
∃!
il existe un(e) seul(e)
∀
pour tout
A =⇒ B
l’affirmation A entraine l’affirmation B
A ⇐⇒ B
l’affirmation A équivaut à l’affirmation B
ssi
si et seulement si
ie ou cad
c’est à dire
cqfd
ce qu’il fallait démontrer
A=B
le calcul A donne le même résultat que le calcul B (ne pas confondre avec A ⇐⇒ B)
6
Chapitre
1
Révision des bases
Sommaire
III III IV -
Ensembles de nombres . . . . . . .
Rappels généraux sur les fonctions
Les fonctions usuelles . . . . . . . .
Transformations sur les graphes . .
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8
12
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41
Le but de ce chapitre est la révision des méthodes de calcul vues dans la scolarité antérieure. En effet les
étudiants sont principalement en difficulté à cause des lacunes dans ce domaine ( réductions, simplifications
d’expressions, priorités des opérations, propriétés de base des fonctions usuelles : puissances,
exponentielles, fonctions inverses... ).
Il est fortement conseillé de bien maîtriser ce chapitre pour la suite.
7
Motivations
Plusieurs grandeurs physiques sont décrites par les fonctions suivantes :
1. L’énergie potentielle d’un corps de masse m0 à la hauteur h est définie par une fonction linéaire
de la hauteur : Epot = m0 g h. L’énergie cinétique est une fonction quadratique de la vitesse v du
1
corps : Ecin = m0 v 2 .
2
2. Le module de la force d’attraction électrique existante entre deux charges Q1 et Q2 est inversement
proportionnelle au carré de la distance r entre elles, comme l’affirme la loi de Coulomb : |F | =
Q1 Q2
k 2 . On observe cette dépendance dans la force d’attraction gravitationnelle entre deux corps
r
m1 m 2
de masse m1 et m2 : |F | = G 2 .
r
3. Divers phénomènes physiques suivent une loi exponentielle. Par exemple
(a) La différence de potentiel dans la charge d’un condensateur est donnée par (voir chapitre
t
équations différentielles) V (t) = E(1 − e− τ ) où E est une constante de même dimension que
V (t).
(b) La montée en température dans un four peut être caractérisée par une constante de temps τ
t
caractéristique du four : T (t) = T0 (1 − e− τ )
(c) Si un échantillon radioactif contient N0 noyaux radioactifs, au bout d’un temps T appelé
période, seulement N0 /2 noyaux restent radioactifs ; au bout de deux périodes, seulement N0 /4
noyaux restent radioactifs et ainsi de suite. La loi de désintégration radioactive est alors donnée
N0
.
2
(d) On dépose une quantité d’argent A0 sur un compte d’épargne. Si le taux d’intérêt est α, alors
la quantité d’argent croit selon la loi exponentielle suivante : A(n) = A0 (1 + α)n , où n est le
nombre de mois passés à partir du dépôt.
t
par N (t) = N0 e− T
ln 2
; en particulier on remarque que N (T ) =
4. Un exemple où intervient la fonction logarithme est le suivant. Un "diagramme de Bode" est utilisé
pour étudier le comportement fréquentiel d’un système. Si la réponse fréquentielle du système est
H(iω), alors le gain en tension est 20Log10 (|H(iω)|).
I-
Ensembles de nombres
Les différents ensembles de nombres
➔ N : ensemble de nombres entiers naturels
➔ Z : ensemble de nombres relatifs
➔ Q : ensemble de nombres rationnels
➔ R : ensemble de nombres réels
➔ C : ensemble de nombres complexes
On a que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Ex. guidé 1 :
Placer les nombres ci-dessous dans leur ensemble respectif.
s
√
1
4
1
; π; −0.008;
103 ; ; 1; −1; ; 0; 2; −1, 2;
6
3
9
√
√
3
3
3 √
; i = −1; −10025; 3, 14; 6 ; 9; 1 + 2i; 1 + 0i; 2i;
25
10
2
8
1 + 2i
i
C
R
π
Q
1236π
1
3
0.008
Z
−1
−10025
N
0
1=1+0∙i
√
103
9
−37
r
−1.2
√
6
3
√
− 4
4
9
2
1
6
√
3
2
3
25
13
−
19
2π
−
3
1
106
2i
Remarque
?? A partir de ce point nous travaillons dans R.
Rappels sur les fractions
a×x
a
=
b×x
b
c
ad + bc
a
➥ somme : + =
b
d
bd
a
c
a×c
× =
b
d
b×d
a
a d
➥ quotient : cb = ×
b c
d
➥ produit :
➥ simplification :
Attention !
a+b
a
b
6= + ,
c+d
c
d
Ex. guidé 2 :
a
a a
6= +
c+d
c
d
Les fractions A et B ci dessous sont-elles inverses l’une de l’autre ?
A=
A=
5
8
xy x
− ;B=
−
xy x
5
8
5 − 8y
8xy − 5x
1
40
;B=
. En conséquence,
=
6= A.
xy
40
B
8xy − 5x
9
Réduire les fractions suivantes :
Ex. guidé 3 :
a)
2
1 1
+
x y
=
2
1 1
+
x y
,
2
2xy
=
y+x x+y
xy
2
3 .
1
+2
x
b)
2
3
2
2x
3
=
=
3(1 + 2x)
1
1 + 2x
+2
x
x
Rappels sur les inégalités
➔ Si x, y ∈ R alors on a soit x = y soit x < y soit x > y. Ceci ne sera pas vrai dans C (complexes).

x < y
➔ Si x, y, z ∈ R alors
=⇒ x < z (transitivité)

y<z
➔ Si x, y, k ∈ R alors x < y =⇒ k + x < k + y

x < y
➔ Si x, y, k ∈ R alors
=⇒ kx < ky

k>0

x < y
➔ Si x, y, k ∈ R alors
=⇒ kx > ky

k<0
Soient −1 < x < 1 et 2 < y < 3. Encadrer les expressions
Ex. guidé 4 :
1) xy ;
2) xy + 2x.
1.

−1 < x < 1
=⇒ −y < xy < y
y>0
D’autre part −3 < −y < −2 . On obtient par transitivité −3 < xy < 3.

2. De plus −2 < 2x < 2. On obtient avec la question précédente −5 < xy + 2x < 5.
Rappels
Pour a, b ∈ R :
➔ ab = 0 si et seulement si a = 0 ou b = 0
➔ ab > 0 si et seulement a et b sont de mêmes signes
➔ ab 6 0 si et seulement
a
➔ soit b 6= 0 ; = 0 si et
b
a
➔ soit b 6= 0 ; > 0 si et
b
a
➔ soit b 6= 0 ; 6 0 si et
b
a et b sont de signes opposés
seulement si a = 0
seulement si a et b sont de mêmes signes
seulement si a et b sont de signes opposés
10
Résoudre
3x
a.
= 2;
x+1
1
x
= .
b.
x+1
2
Ex. guidé 5 :
3x
= 2 est équivalent à 3x = 2x + 2, c’est-à-dire x = 2 ;
x+1
1
x
= est équivalent à 2x + 2 = x, c’est-à-dire x = −2.
b.
x+1
2
a.
Résoudre
Ex. guidé 6 :
a. (5x − 3) (1 + 2x) = 0;
b. (5x − 3) (1 + 2x) < 0.
3
1
ou x = −
5
2
1
3
−
2
5
−
− 0
a. (5x − 3) (1 + 2x) = 0 ⇐⇒ x =
−∞
x
5x − 3
b.
1 + 2x
−
(5x − 3)(1 + 2x)
+
+∞
+
0
+
?
+
0
−
?
+
#
"
1 3
Par conséquent (5x − 3) (1 + 2x) < 0 ⇐⇒ x ∈ − ; .
2 5
Ex. guidé 7 :
x
x+4
Résoudre
x+4
6 0.
x−2
−∞
−4
x−2
x+4
x−2
Par conséquent
−
0
−
+
0
2
+
+∞
+
−
0
+
−
?
+
x+4
6 0 ⇐⇒ x ∈ [−4; 2[.
x−2
Exercices
Exercice 1.1 Simplifier l’expression
2x − 1
x
+
.
x+3
2x − 7
Exercice 1.2 Résoudre
x−1
> 0;
1.
2x − 3
2. (x + 4)(2x − π) 6 0.
Exercice 1.3 Résoudre
11
x+4−π
= 0;
x − 21
2. (2x + 4)(3x − 5) = 0.
1.
c(x)t(x)
. Déterminer c(x) dans les cas suivants :
1 + c(x)t(x)
0, 6
0, 6
; f (x) =
1. t(x) =
x − 0, 4
x − 0, 4
0, 865
0, 633
; f (x) =
2. t(x) =
x − 0, 367
x − 0, 135
Exercice 1.4 Soit f (x) =
II 1.
Rappels généraux sur les fonctions
Définition de fonction
Définition 1:
On appelle fonction numérique f de I ⊂ R dans R toute relation qui à un élément x de I associe au
plus un élément de R noté f (x). On écrit symboliquement :

I → R
f:

x 7→ y = f (x)
➔ L’ensemble I est appelé domaine de définition de la fonction f . On le notera aussi Df .
➔ Le nombre f (x) est l’image de x par la fonction f .
➔ L’ensemble Im
f
= {f (x), x ∈ I} est l’ensemble image de f .
➔ Pour chaque y ∈ Im
Ex. guidé 8 :
f
un point x ∈ Df est appelé antécédent de y.
Le relations f et g définies ci-dessous sont-elles des fonctions ? Pourquoi ?


[0, 1] → R
[−1; 1] → R
et
g:
f:


x 7→ y : y 2 = x
x 7→ y = x2
f est une fonction puisque tout x ∈ [−1; 1] a au plus une image calculée par x2 .
g n’en est pas une car x = 1 par exemple a deux images : y = 1 et y = −1
2.
Graphe d’une fonction
Définition 2:

I → R
Soit I un sous-ensemble de R. Soit une fonction f :

x 7→ y = f (x)
L’ensemble {(x, y) ∈ R2 : x ∈ I, y = f (x)} est appelé graphe de f . Il est une courbe dans un repère
orthogonal.
Ex. guidé 9 :
Représenter, grâce à un tableau de valeurs, les courbes de f et g de l’exemple précédent.
12
y
y
−3
−2
8
7
6
5
4
3
2
1
~j
−1−1O
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
2
1
~j
~i
1
2
x
0
O
~i 1 2 3 4 5 6 7 8
x
−1
−2
−3
Quelques règles pratiques
➔ Soient f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df un point fixé. Alors dans le graphe de f il existe un seul
point d’abscisse x0 .
Par conséquent pour savoir si une courbe est le graphe d’une fonction il suffit de vérifier qu’elle ne
passe pas plus d’une fois par toute abcisse x0 .
➔ Soit f : Df → R une fonction. Pour chaque y0 ∈ Im f il peut exister plusieurs antécédents. Leur
nombre est donné par le nombre d’intersections de la droite y = y0 avec le graphe de f .
Equations et inéquations
➔ Résoudre l’équation f (x) = c revient à étudier les abscisses des points d’intersection entre le graphe
de la fonction x → f (x) et la droite y = c.
➔ Résoudre l’inéquation f (x) < (>)c revient à chercher les abscisses des points du graphe de f qui se
trouvent en dessous (au dessus) de la droite y = c.
➔ Si f et g sont deux fonctions telles que f (x) < g(x) pour x ∈ I, alors graphiquement, dans I, le
graphe de f se trouve en dessous du graphe de g.
13
Sur le dessin ci-dessous sont surlignés le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction.
images
Exemple 1 :
f (x)
Im f
~
O
3.
x; f (x)
Df
~ı
x
antécédents
Composition de deux fonctions
Définition 3:
Soient
avec Im (g) ⊆ J.

I → R
g:

x 7→ g(x)

J → R
f:

y 7→ f (y)
Il est alors possible de construire la fonction notée f ◦ g de la façon suivante :

I → R
f ◦g :

x 7→ f (g(x))
Exemple 2 :
La fonction x → (x + 1)2 est la composition de la fonction g(x) = x + 1 et f (y) = y 2 .
Ex. guidé 10 :
La fonction f : x →
1
est la composition de quelles fonctions ?
sin2 (2x)
Soient f1 (x) = 2x, f2 (x) = sin(x), f3 (x) =
Ex. guidé 11 :
1
et f4 (y) = y 2 . On a ainsi f = f4 ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1 .
x
Soient f (x) = x2 + 4x et g(x) = 2x + 3. Calculer f (g(x)).
On écrit 2x + 3 à la place de x dans l’expression de f :
f (g(x)) = (2x + 3)2 + 4(2x + 3) = 4x2 + 20x + 21.
14
Remarque
?? Pour comprendre la composition de fonctions f (g(x))on peut imaginer de travailler avec une calculette.
??
g(x) = y
f (y)
? On doit faire les opérations suivantes : x
4.
Variations d’une fonction
Définition 4:
Soit I un intervalle de R. Une fonction f : I → R est dite
➔ croissante si f (x1 ) 6 f (x2 ) pour tout x1 et x2 dans I tels que x1 6 x2 ;
➔ strictement croissante si f (x1 ) < f (x2 ) pour tout x1 et x2 dans I tels que x1 < x2 ;
➔ décroissante si f (x1 ) > f (x2 ) pour tout x1 et x2 dans I tels que x1 6 x2 ;
➔ strictement décroissante si f (x1 ) > f (x2 ) pour tout x1 et x2 dans I tels que x1 < x2 .
Une fonction uniquement croissante ou décroissante est appelée monotone.
Exemple 3 :
Voici les graphes de deux fonctions monotones :
f (x2 )
~j
O
f (x1 )
Ex. guidé 12 :
y
y
x1
f (x1 )
~j
x2
x
~i
O
f (x2 )
x1
~i
x2
x
Déterminer les variations de la fonction x → x2 .
On peut écrire x21 − x22 = (x1 − x2 )(x1 + x2 ). Par conséquent :
➥ si x1 < x2 6 0 alors x21 − x22 > 0 ⇒ x21 >x22
➥ si x1 > x2 > 0 alors x21 − x22 < 0 ⇒ x21 >x22
Cette étude implique que f : x → x2 est strictement croissante sur [0, +∞[ et strictement décroissante
sur ] − ∞, 0].
15
5.
Majorer, minorer, borner une fonction
Définition 5:
➔ On dit que la fonction f : Df → R est « majorée » par M si pour tout x ∈ Df on a f (x) 6 M .
M est appelé majorant.
➔ On dit que la fonction f : Df → R est « minorée » par m si pour tout x ∈ Df on a f (x) > m.
m est appelé minorant
➔ On dit que la fonction f : Df → R est « bornée s’il existe M et m tels que pour tout x ∈ Df on a
m 6 f (x) 6 M .
Règles pratiques
➔ Pour majorer f + g, on majore f et g, et on ajoute les majorants.
➔ Pour minorer f + g, on minore f et g, et on ajoute les minorants.
➔ Pour majorer f g, avec f et g positives, on majore f et g, et on multiple les majorants.
➔ Pour minorer f g, avec f et g positives, on minore f et g, et on multiple les minorants.
f
➔ Pour majorer
, avec f et g strictement positives, on majore f et on minore g par un nombre
g
strictement positif, et on divise le majorant trouvé par le minorant trouvé.
f
➔ Pour minorer
, avec f et g strictement positives, on minore f et on majore g par un nombre
g
strictement positif, et on divise le minorant trouvé par le majorant trouvé.
➔ Pour majorer −f , on minore f .
➔ Pour majorer une fonction croissante x 7−→ f (x) on majore x.
➔ Pour majorer une fonction décroissante x 7−→ f (x) on minore x.
➔ Pour majorer(minorer) f (x) on peut aussi étudier les variations de la fonction.
➔ Pour majorer(minorer) f (x) par une autre fonction g(x) on peut étudier la fonction f (x) − g(x).
Exemple 4 :
Donner un majorant et un minorant des fonctions ci-dessous :
1
➥ f1 (x) =
;0 6 x 6 1
1 + x2
x+1
;0 6 x 6 1
➥ f2 (x) = x2 + 2 +
1 + x2
x+1
; −1 6 x 6 0
➥ f3 (x) = x2 + 2 +
1 + x2
1
1
6
61
2
1 + x2
x+1
1
63+2
➥ 2 + 6 x2 + 2 +
2
1 + x2
x+1
63+1
➥ 2 6 x2 + 2 +
1 + x2
➥
Exemple 5 :
Utilisation pour les inégalités :
Que deviennent les inégalités −2 <


R → R
R → R
, f2 :
,f3
f1 :


x 7→ x2
x 7→ x3
x< −1, x > 1 et −1 < x < 2 par application des fonctions

 R∗ → R
:
?
1

x 7→
x
On donne l’identité : a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
16
Il convient de vérifier si les variations changent sur l’intervalle de l’inégalité puis d’appliquer la propriété
précédente. On a déjà vu qu f1 est croissante pour x > 0 et décroissante pour x 6 0.
x31 − x32 = (x1 − x2 )(x21 + x1 x2 + x22 ). Par conséquent si x1 et x2 sont de même signe alors x → x3 est
croissante . Si x1 < 0 < x2 , alors x31 < 0 et x32 > 0. Par conséquent x31 < x32 . Alors x → x3 est croissante
.
fonction croissante
1
1
x2 − x1
−
=
. Par conséquent f3 est décroissante sur R∗ .
x1
x2
x1 x 2
variations
&%
f1
%
f2
&
f3
Exemple 6 :
6.
−2 < x < −1
x>1
1 < f1 (x) < 4
f1 (x) > 1
−8 < f2 (x) < −1
1
−1 < f3 (x) < −
2
f2 (x) > 1
f3 (x) < 1
−1 < x < 2
0 < f1 (x) < 4
−1 < f2 (x) < 8
???
La fonction x → 3x+1, définie sur [0, 1], est bornée . En fait pour tout x ∈ [0, 1] on a 1 6 3x+1 6 4.
Fonctions paires ou impaires
Définition 6:
➥ Une fonction f : Df → R est dite « paire » si pour tout nombre x ∈ Df , f (−x) = f (x).
➥ Une fonction f : Df → R est dite « impaire » si pour tout nombre x ∈ Df , f (−x) = −f (x).
Ex. guidé 13 :
Etudier la parité des fonctions
a. f1 (x) = x4 − x2 + 1
b. f2 (x) = x3 − x
c. f3 (x) = x3 − x2 + 1
d. f4 (x) =
x2 + 1
x3 − x
On remarque tout d’abord que si les f onctionsfi sont définies en x, alors elles sont définies en −x aussi.
a. f1 (−x) = (−x)4 − (−x)2 + 1 = x4 − x = x4 − x2 + 1 = f (x) donc f1 est paire
b. f2 (−x) = (−x)3 − (−x) = −x3 + x = −f2 (x) donc f2 est impaire
c. f3 (−2) = −11 mais f3 (2) = 5 ce qui contredit toute parité
d. f4 (−x) =
x2 + 1
(−x)2 + 1
=
= −f4 (x) donc f4 est impaire.
(−x)3 − (−x) −x3 + x
Propriété 1:
➥ Le graphe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées .
➥ Le graphe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à 0 .
➥ Le domaine de définition d’une fonction paire ou impaire est symétrique par rapport à O, c’est-à-dire
que x, −x ∈ Df .
17
y
y
f (x)
−x
f (−x)
~j
O
f (x)
~i
x
x
−f (x)
−x
x
~j
O
x
~i
(a) Fonction paire
(b) Fonction impaire
Définition 7: fonction périodique
Une fonction f définie sur un ensemble Df est périodique de période T si pour tout
x ∈ Df
f (x + T ) = f (x)
On admettra qu’il existe une plus petite valeur T > 0 et que les autres sont de la forme k ∙ T avec k ∈ Z.
Exercices
Exercice 1.5 Visualiser les solutions de f (x) = 0 où f est la fonction représentée dans l’exemple 1.
Exercice 1.6 Un cercle peut-il être le graphe d’une fonction ? Pourquoi ?
Exercice 1.7 Soit f (x) = x3 − 2x + x2 . Etudier sa parité.
Exercice 1.8 La fonction x →
p
(x − 2)2 + 1 est la composition de quelles fonctions ?
Exercice 1.9 Soient f (x) = x3 + 3x2 et g(x) =
1
. Calculer f (g(x)).
x+1
Exercice 1.10 Montrer que la fonction f (x) =
1
est bornée pour tout x ∈ R.
x2 + 1
Exercice 1.11 Soit f : [0, 1] → R une fonction strictement positive et croissante. Quelle est la monotonie de
1
la fonction g(x) =
?
f (x)
Exercice 1.12 Borner
x+1
x2 + 1
et
sur [−1, 1].
x+2
x−2
18
III -
Les fonctions usuelles
Attention !
Il est nécessaire d’avoir en tête une collection de courbes usuelles. L’étudiant devra être capable de les
tracer rapidement à partir de quelques éléments caractéristiques.
1.
Fonctions affines
Définition 8:
Soient a, b deux réels. La fonction définie sur R par f (x) = ax + b est appelée fonction affine.
Propriété 2:
Le graphe de la fonction affine y = ax + b est une droite.
➤ Le réel a est le coefficient directeur de cette droite.
y 1 − y2
Δy
pour (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ) deux points de la droite.
=
a=
Δx
x 1 − x2
➤ Le réel b est l’ordonnée à l’origine. (0, b) est un point de la droite.
Exemple 7 :
Tracer les graphes des fonctions
a. f1 (x) = y = x + 1
y
b. f2 (x) = y = 2
c. f3 (x) = y = −3x − 2
3
d. f5 (x) = y = x − 3
4
f2
1
~j
O
~i 1
x
f5
f1
f3
Remarque
?? x = c, pour c ∈ R, est représenté par une droite (verticale), mais elle n’est pas une fonction !
Remarque
?? Les seules fonctions qui vérifient :
??
??
1. f (x + y) = f (x) + f (y) pour tout x, y ∈ R
??
2. f (λx) = λf (x) pour tout x ∈ R et λ une constante réelle
??
?? sont de la forme f (x) = ax pour a constante réelle.
19
2.
La fonction valeur absolue
Définition 9: La valeur absolue
Pour tout x ∈ R on définit la fonction |x| =

x

si x > 0
−x
si x 6 0
Propriété 3:
➔ |x| > 0 pour tout x ∈ R
➔ |−x| = |x|
➔ |a − b| = |b − a|
➔ |a ∙ b| = |a| ∙ |b|
a
|a|
➔ =
b
|b|
➔ |an | = |a|
n
➔ |a| = 0 si et seulement si a = 0
➔ en général |a + b| 6= |a| + |b| ...mais...|a + b| 6 |a| + |b| pour tout a, b ∈ R
➔ |a + b| > |a| − |b|
➔ |x| = a si et seulement si x = a ou x = −a
➔ |x| 6 a si et seulement si −a 6 x 6 a
Remarque
?? |a − b| représente, géométriquement, la distance entre a et b.
Ex. guidé 14 :
Résoudre |x − 2| = r puis |x − 2| 6 r où r ∈ R+ .
|x − 2| = r ⇐⇒ x = 2 − r ou r + 2.
|x − 2| 6 r ⇐⇒ −r 6 x − 2 6 r ⇐⇒ 2 − r 6 x 6 2 + r
f (x) = |x|
y
➥ f (x) =
(
6
x,
x>0
−x,
x60
➥ Df = R
➥ Im f = R+
➥ f est paire
Ex. guidé 15 :
4
2
~j
~i
−8 −6 −4 −2 O
−2
Simplifier la fonction f (x) = |2x − 4| + 2 |x + 5|.
20
2
4
6
x
8
On construit un tableau :
−∞
x
|2x − 4|
|x + 5|
−2x + 4
−x − 5
|2x − 4| + 2 |x + 5|
−4x − 6
−5
0
2
−2x + 4
0
14
0
x+5
0
+∞
2x − 4
x+5
4x + 6
Exercices
Exercice 1.13 Résoudre les inéquations (on fera un petit schéma explicatif...)
|x − 3| 6 2
1
2. x + 6 2
2
1.
3.
|1 − 2x| > 3
4. - 1 6 |3 + 2x| 6 1
Exercice 1.14 Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
1. |3 − 2x| 6 4.
3.
2. |x − 5| = 4, en déduire la résolution de x2 − 5 = 4.
Fonctions puissance
Définition 10:
Soit n ∈ N.
n
z }| {
Pour tout x ∈ R on définit xn comme x ∙ x... ∙ x.
1
Pour tout x ∈ R \ {0} on définit x−n comme n .
x
Rappel sur les puissances entières
Soient n, m ∈ Z.
n
➔ (x y) = xn y n
➔ xn xm = xn+m
➔ (xn )m = xn∙m
➔ (−1)n = 1 si n est pair ; (−1)n = −1 si n est impair
➔ (x + y)n 6= xn + y n en règle générale
Exemple 8 :
!11
a.
2
3
b.
8−2
4−4
!12
3
.
5
.
!3
!10
6
5
=
2
25
= 26
c. −22 = −4
d. −2−2 = −
1
4
21
a.
Fonctions puissances positives
➥ Df = R
➥ Im
f
=
Fonctions puissance positive : f (x) = xn (n ∈ N, n 6= 0)

 R+ ,

si n est pair
si n est impair

paire,
si n est pair
➥ f est une fonction

impaire, si n est impair
R,
y
8
7
6
5
4
3
f (x) = xn pour n pair
f (x) = xm pour m impair
2
1
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
Propriété 4:
➥ x2n > 0 pour tout x
➥ x2n = y 2n si et seulement si |x| = |y|
➥ x2n < y 2n si et seulement si |x| < |y|
Propriété 5:
➥ x2n+1 > 0 si et seulement si x > 0
➥ x2n+1 = y 2n+1 si et seulement si x = y
➥ x2n+1 < y 2n+1 si et seulement si x < y
22
2
3
4
5
x
b.
Une fonction particulière : le carré
Fonction carré : f (x) = x2
y
16
14
12
10
8
➥ Df = R
➥ Im f = R+
➥ f est paire
6
4
2
−8
−6
−4
−2
~j
O ~i
2
4
6
x
−2
Remarque
??
??
??
??
??
??
??
?
➔ Le graphe de la fonction f (x) = x2 est une parabole.
➔ Plus généralement, soient a, b, c ∈ R. Le graphe de f (x) = ax2 + bx + c est une parabole avec axe
de symétrie verticale.
➔ Si a > 0 le graphe de f (x) = ax2 + bx + c a la concavité vers le haut. Si a < 0 le graphe de
f (x) = ax2 + bx + c a la concavité vers le bas.
Les zéros de la fonction f (x) = ax2 + b x + c
Trouver les zéros de la fonction f (x) = ax2 + b x + c revient à résoudre l’équation de second degré
ax2 + bx + c = 0.
Soit Δ = b2 − 4ac le discriminant. Les trois cas suivants peuvent se présenter :
➥ Δ < 0 : l’équation ax2 + bx + c = 0 n’a pas de solution réelle et on ne peut pas factoriser ax2 + bx + c
sur R.
b
et le trinôme se factorise sous la
➥ Δ = 0 : l’équation ax2 + bx + c = 0 a la solution double x0 = −
2a
2
forme a(x − x0 ) .
√
√
−b − Δ
−b + Δ
2
➥ Δ > 0 : l’équation ax + bx + c = 0 possède 2 solutions réelles : x1 =
et x2 =
;
2a
2a
le trinôme se factorise sous la forme a(x − x1 )(x − x2 ).
Le trinôme a x2 + bx + c est du signe de a sauf entre ses racines lorsqu’elles existent.
23
y
y
y
3
3
3
2
2
2
1
~j
1
~j
Δ> 0
Δ= 0
1
~j
−2
−1
Ex. guidé 16 :
O
~i 1
2
−1
x
−2
−1
Δ< 0
O
~i
1
2
x
−2
−1
−1
O
~i
1
2
x
−1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
Pour chacun des polynômes P suivants
P1 (x) = 2x2 − 7x + 3, P2 (x) = x2 + x + 1, P3 (x) = 6x2 − 12x + 6
a. résoudre dans R l’équation P (x) = 0 ;
b. déterminer, si elle existe, la forme factorisée de P ;
c. résoudre dans R l’inéquation P (x) < 0.
P (x) = ax2 + bx + c
P1
P2
P3
Δ = b − 4ac
√
−b± Δ
x=
2a
factorisation
25 > 0
−3 < 0
0
pas de racines
x1 = x2 = 1
non factorisable
6 (x − 1)
2
P (x) < 0
1
x1 = 3; x2 =
2
1
2 (x − 3) x −
2
1
x∈
;3
2
∅
2
∅
Astuce
b
c
➔ On peut vérifier les solutions avec leur produit et somme : S = x1 + x2 = − et P = x1 ∙ x2 = .
a
a
➔ Inversement, les nombres x1 et x2 dont on connait la somme S et le produit P sont solutions de
x2 − Sx + P = 0.
Ex. guidé 17 :
Déterminer les deux nombres dont la somme fait 3 et le produit 2.
On résoud l’équation x2 − 3x + 2 = 0. On trouve : x1 = 1 et x2 = 2.
24
c.
Une fonction particuliere : le cube
Fonction cube : f (x) = x3
y
6
4
2
➥ Df = R
➥ Im f = R
➥ f est impaire
−8
−6
−4
−2
~j
O ~i
2
4
6
x
−2
−4
−6
−8
Résoudre
Exemple 9 :
a. x3 − 64 = 0 ⇐⇒ x = 4
b. −1 < x3 < 8 ⇐⇒ −1 < x < 2
Rappel : identités remarquables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
Le triangle de Pascal
p
0
1
2
3
4
5
...
n
(a + b)0 = 1
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
(a + b)1 = a1 + b1
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
1
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
5
1 5 10 10 5 1
..
.
..
..
..
..
.
1 ..
.
.
.
.
1
Les résultats du tableau s’obtiennent en additionnant les deux cases supérieures gauches de chaque position puis
en complétant les extrémités de la ligne par 1.
25
d.
Fonctions puissance négative
Fonction puissance négative : f (x) = x−n =
➥ Df = R∗

R+∗ ,
➥ Im f =
 ∗
R ,
1
(n ∈ N, n 6= 0)
xn
si n est pair
si n est impair

paire,
si n est paire
➥ f est une fonction

impaire, si n est impaire
y
~j
−3
−2
−1
8
7
6
5
4
3
2
1
f (x) = x−m pour m impair
f (x) = x−n pour n pair
O
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
26
~i
1
2
x
e.
Deux fonctions particulières : la fonction inverse et la fonction homographique
f (x) =
1
= x−1
x
y
6
4
2
➥ Df = R∗
➥ Im f = R∗
➥ f est impaire
−8
−6
−4
−2
~j
O ~i
2
4
6
x
−2
−4
−6
−8
Une courbe particulière : fonction homographique
Le graphe de la fonction y =
ax + b
d
a
est une hyperbole, dont les axes de symétrie sont x = − et y = .
cx + d
c
c
y
6
4
y=
2
−8
−6
−4
−2
~j
O ~i
−2
−4
x=−
d
c
−6
−8
27
2
4
a
c
6
x
f.
Fonction puissance inverse
Définition 11:
La fonction puissance inverse est la fonction définie comme suit :
1. n pair : x → solution y positive de y n = x ;
2. n impair : x → solution y de y n = x ;
√
On dénote y par n x ou également par x1/n .
Fonction puissance inverse : f (x) = x1/n =
➥ Df =

R+
√
n
x (n ∈ N, n 6= 0)
si n est pair

R
si n est impair

R+ si n est pair
➥ Im f =

R
si n est impair

sans parité si n est pair
➥ f est une fonction

impaire
si n est impair
√
√
n
➥ n x = x et n xn = x pour x ∈ Df
y
1
f (x) = x n pour n pair
2
1
~j
−3
−2
−1
O
1
f (x) = x m pour m impair
~i
1
−1
−2
Propriété 6:
➥
➥
➥
➥
1
1
x n = y n si et seulement si x = y
1
1
x n < y n si et seulement si x < y
1
x 2n > 0 pour tout x > 0
1
x 2n+1 > 0 si et seulement si x > 0
28
2
3
4
x
g.
Une fonction particulière : la fonction racine
La fonction f (x) =
y
√
1
x = x2
4
➥
➥
➥
➥
Df = R+
Im f = R+
aucune
parité
√
x2 = |x|
2
~j
−2
O
~i
2
4
x
6
−2
Rappel sur les racines
√
1. x = a ⇐⇒ x2 = a et x > 0
1
√
2. a = a 2 (deux écritures équivalentes)
√
3. x2 = |x|
√
√
√
4. a + b 6= a + b
√
√
√
5. ab = a b
s
√
a
a
= √
6.
b
b
√
√
7. a2 = |a| ; ( a)2 = a
a.
√
√
45 5 = 15
b.
Exemple 10 :
!2/3
9
27
=
64
16
Rendre rationnel le dénominateur
√
1
a
√ =
a
a
√
√
1
a− b
√ =
√
a−b
a+ b
√
√
a+ b
1
√
=
√
a−b
a− b
a.
Exemple 11 :
1+
1−
(on multiplie par le "conjugué" du dénominateur)
(on multiplie par le "conjugué" du dénominateur)
√
3
√ = −2 −
3
√
4
3
b.
Définition 12:
p
Soit p, q ∈ N. On définit a q par
√
q
√
ap ou également par
29
p
√
q
a .
a ∙ b3
√
b
2
=b∙
√
a
h.
Comparaisons des fonctions
y
f (x) = x2
8
f (x) = |x|
7
6
5
4
f (x) =
3
√
x
2
f (x) =
1
x
1
~j
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 O
−1
~i
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−2
−3
−4
f (x) = x3
−5
−6
−7
Exemple 12 :
Donner la position relative des graphes des fonctions x → |x|, x → x2 et x →
[0, 1] et [1, +∞[.
√
Pour x ∈ [0, 1] on a x > x √
> x2 .
Par contre pour x > 1 on a x 6 x 6 x2 .
Exercices
Exercice 1.15 Résoudre en posant X = x2 l’équation x4 − 3x2 + 2 = 0.
Exercice 1.16 Résoudre les inéquations suivantes :
x−1 x−2
6
1.
x−3 x−4
(
x2 − 16 6 0
2.
3x + 2 > x + 3
Exercice 1.17 Développer l’expression (2x + 1)2 − 4 . Résoudre l’inéquation
Exercice 1.18 Evaluer sans calculatrice :
√
√ 3
a.
2− 3
3
b. 21/2 2−1/3
√ 2 √ 3
3
c.
4 ∙
44
30
4x2 + 4x − 3
< 0.
5 − 2x
√
x dans les intervalles
√
3+ 2
√
d.
2− 2
Exercice 1.19 Résoudre
2x2 − 5
> x − 1.
x+1
Exercice 1.20 Résoudre (x − 1) (2x + 1) − (x − 1) x2 − 4x > 0.
Exercice 1.21 Deviner une expression possible de chacune des fonctions usuelles représentées ci-dessous. Justifier la réponse.
√
1
2
3
, |x| , x, x , x
x
y
C1
8
C5
7
6
5
4
C4
3
2
C6
1
C7
1
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
C2
−1
2
3
4
5
6
7
8
x
−2
−3
−4
C3
−5
−6
Exercice 1.22 En corrigeant la copie d’Emile Franc, élève de 2 nde 24 bis, voici ce qu’a trouvé Frank Laroche
(auteur du problème) :
5x
10x
6
.
1 − x 2x + 1
Réponse d’Emile Franc
Enoncé : Résoudre
1
L’ensemble de définition est R − −1 ; − .
2
Je passes tous à gauche :
10x
5x
−
60
1 − x 2x + 1
soit
10x2 + 5x − 10x − 10x2
60
(1 − x)(2x + 1)
et enfin
−5x
60
(1 − x)(2x + 1)
31
Je fais le tableaux de signes :
x
−∞
1
−1/2
1−x
−
2x + 1
−
−5x
+
quotient
+
+
+
+
+
+
+
+
−
0
0
+∞
5
−
0
0
+
0
−
−
Et je conclut : x ∈] − 1/2 ; 1[∪]5 ; +∞].
1. Trouvez les erreurs d’Emile y compris d’orthographe ?
5x
10x
2. Résoudre correctement l’inéquation
6
.
1−x
2x + 1
Exercice 1.23 Développer les expressions suivantes :
a. (x − 1)3
b. (2 − x)3
c. (x2 − πx + 1)(x2 + πx + 1)
Exercice 1.24 Factoriser les expressions suivantes :
a. x4 − 1
b. (2 − x)3 − 8
Exercice 1.25 Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes :
1
1.) x → x + x2 − x35 − 42
√
2.) x → 3x − 7
3.) x →
4.
4.) x → (x2 − 3x + 2) 3
1
5.) x → (x2 − 3x + 2) 4
r
x
6.) x →
2
x −1
x
x2 + 2x + 1
Fonction logarithme et fonction exponentielle
Histoire de la fonction logarithme
➔ Le mot vient du grec « logos », proportion et « arithmos », nombre)
« En 1588, pour faciliter ses calculs, l’astronome suisse Jost Bürgi développa le
premier système logarithmique connu.
Lorsqu’en 1614, John Napier publie son traité Mirifici Logarithmorum Canonis
Descriptio, il ne songe pas qu’il est en train de créer de nouvelles fonctions,
mais seulement des tables de correspondances entre deux séries de valeurs possédant la propriété suivante : à un produit dans une colonne, correspond une
somme dans une autre. Ces tables de correspondances ont été créées initialement pour simplifier les calculs trigonométriques apparaissant dans les calculs
astronomiques et seront utilisées quelques années plus tard par Kepler. »
➔ Une application pratique outre la constitution de tables a été l’invention de la règle à calculs qui
permettra gràce à l’addition de segments d’opérer une multiplication.
cf. http ://pagesperso-orange.fr/calque/js/regle.html (une simulation de règle à calcul)
➔ Nous donnons ci-dessous la définition historique. Nous verrons une autre définition basée sur la
notion de dérivée et primitive.
32
Définition 13:
Il existe une unique fonction f vérifiant f (x ∙ y) = f (x) + f (y) et f (1) = 0.
On l’appelle fonction logarithme népérien, notée ln. On la définie sur R+∗ .
Propriété 7:
Soient a et b deux réels strictement positifs et n est un entier naturel. Alors
➔ ln(ab) = ln(a) + ln(b)
1
➔ ln
= − ln(a)
a
a
➔ ln
= ln(a) − ln(b)
b
r
➔ ln(a ) = r ln(a)
ln (a + b) 6= ln a + ln b
➔
➔ il existe e ∈ R tel que ln(e) = 1(e ≈ 2, 718); e est appelé constante de Néper.
Remarque
?? En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quo??
? tients en différences et les puissances en multiplications.
Propriété 8:
➥
➥
➥
➥
ln(1) = 0
ln x > 0 si x> 1 et ln x < 0 si 0 < x< 1.
ln(x) = ln(y) ⇐⇒ x = y (pour chaque valeur dans l’image il n’y a qu’un antécédent)
ln(x) < ln(y) ⇐⇒ x < y (la fonction ln est croissante)
y
n(
y=l
2
x)
1
~j
−1 O
−1
~i 1
2
e3
4
5
6
−2
−3
−4
−5
33
7
8
x
Définition 14:
La fonction exponentielle est la fonction définie sur R à valeurs dans R+∗ comme suit :
On dénote y par ex .
x → solution y de l’équation x = ln(y) .
Conséquences
➥
➥
➥
➥
➥
➥
e =1
ex > 0
e1 = e
ln(ex ) = x
eln x = x pour x > 0
x ∈ R et y = ex ⇐⇒ y ∈ R∗+ et ln(y) = x
0
Propriété 9:
Soient a et b deux réels et n est un entier relatif. Alors :
➔ ea+b = ea × eb
1
➔ a = e−a
e
ea
➔ b = ea−b
e
➔ (ea )n = ean
➔
eab 6= ea eb
Propriété 10:
➥ ex = ey ⇐⇒ x = y (pour chaque valeur dans l’image il n’y a qu’un antécédent)
➥ ex < ey ⇐⇒ x < y (la fonction exponentielle est croissante)
y
5
e
=
ex
4
y
3
2
1
~j
Remarque
−5 −4 −3 −2 −1 O
−1
~i 1
2
x
?? En résumé, l’exponentielle a la particularité de transformer les sommes en produits, les différences en
??
? quotients et les multiplications en puissances (au contraire du logarithme et à la manière des puissances !).
34
Ex. guidé 18 :
192
16
a. ln
= ln
= ln(16) − ln(9) = ln(24 ) − ln(32 ) = 4 ln(2) − 2 ln(3).
108
9
√
1
1
1
b. ln( 96) = ln(96) = ln(25 × 3) = [5 ln(2) + ln(3)].
2
2
2
2
c. ln(x + 3) +
ln(2x + 1) = ln[(x + 3)(2x + 1)] = ln(2x + 7x + 3)
1
pour x ∈ − ; +∞ .
2
Ex. guidé 19 :
a. 2 ln x − 5 = 0 ⇔ ln x =
b. ln 5x = −3 ⇔ x =
5
5
⇔ x = e2
2
e−3
5
3
c. (ln 2x − 1)(2 ln x + 3) = 0 ⇔ ln 2x = 1 ou ln x = −
2
e
− 32
D’où x = et x = e
2
2
d. 2(ln x) + 3 ln x − 2 = 0 ⇔ 2X 2 + 3X − 2 = 0 avec X = ln x
1
1
On obtient X = −2 ou d’où x = e−2 ou e 2
2
Ex. guidé 20 :
1
× (e−2 )−3 = e2+3−4+6 = e7
e4
b. ex+3 × e2x+1 = e(x+3)+(2x+1) = e3x+4
a. e2 × e3 ×
c. (ex−2 )2 = e2x−4
a. 2ex − 5 = 0
c. (e3x − 5)(ex + 2) = 0
d. 2e2x − 7ex + 3 = 0
b. e2x − 5 = 0
Ex. guidé 21 :
5
2
ln 5
b. e2x − 5 = 0 ⇔ 2x = ln 5 ⇔ x =
2
c. (e3x − 5)(ex + 2) = 0 ⇔ e3x = 5 ou ex = −2
5
a. 2e − 5 = 0 ⇔ e = ⇔ x = ln
2
x
x
ln 5
3
d. 2e2x − 7ex + 3 = 0 ⇔ 2X 2 − 7X + 3 = 0 avec X = ex
1
On obtient X = 3 ou soit x = ln X = ln 3 ou − ln 2
2
ex > 0 donc la seule possibilité est donc x =
Ex. guidé 22 :
Résoudre les équations
a. ln(x2 + x) = 1
b. ln x + ln(x + 1) = 1
c. e2x+1 = 1
d. e2x + ex − 2 = 0
e.
35
2ex + 1
= 2e3 + e−x
ex
a. ln(x2 + x) = 1 ⇔ x2 + x − 1 = 0 avec x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]0; +∞[
√
√
−1 + 5 −1 − 5
x=
ou
2
2
√
−1 + 5
seulement
b. ln x + ln(x + 1) = 1 ⇔ x2 + x − 1 = 0 avec x > 0 soit x =
2
1
c. e2x+1 = 1 ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ x = −
2
d. e2x + ex − 2 = 0 ⇔ X 2 + X − 2 = 0 avec X = ex
La résolution donne X = −2 ou 1 d’où x = 0
2X + 1
1
2ex + 1
e.
= 2e3 + e−x ⇔
= 2e3 +
avec X = ex
ex
X
X
Aprés réduction on obtient 2X 2 + 2e3 X = soit X = 0 ou − e3
La condition X = ex > 0 empêche toute solution.
Ex. guidé 23 :
Résoudre les inéquations suivantes :
a. ln x > ln(2x − 1)
b. e2x > 1
c.
ex + 3
>2
ex + 1
d. e2x+5 < e1−x
1
a. L’inégalité est définie si x > 0 et 2x − 1 > 0, ce qui nous donne x > . Par la croissance de la fonction
2
1
t → ln t on a x > 2x − 1 ⇔ x < 1. Par conséquent < x < 1.
2
b. e2x > 1 ⇔ 2x > 0 soit x > 0
X +3
ex + 3
>2⇔
> 2 avec X = ex
c. x
e +1
X +1
On résoud X + 3 > 2(X + 1) soit X < 1 donc x < 0
d. e2x+5 < e1−x ⇔ 2x + 5 < 1 − x soit x < −
4
3
Définition 15:
On définit également les fonctions logarithmes de base a :
loga (x) =
ln x
ln a
En particulier la notation log(x) est celle du logarithme de base 10.
Définition 16:
Soit x un nombre réel. La fonction définie pour tout a ∈ R∗+ par
ax = ex ln a
est une puissance généralisée appelée « exponentielle de base a ».
Exercices
Exercice 1.26 Résoudre les équations suivantes :
1. e2 ln(x) = 9
2. ln(y + 6) − ln(y + 2) + ln(y + 3) = 0
Exercice 1.27 Résoudre les équations suivantes
36
1. X 2 − X − 2 = 0
2. ln2 x − ln x − 2 = 0
3. e2x − ex − 2 = 0
Exercice 1.28 Résoudre les inéquations suivantes
1. X 2 − X − 2 < 0
2. ln2 x − ln x − 2 < 0
3. e2x − ex − 2 < 0
Exercice 1.29 Résoudre dans R
1. ln(4x + 1) ln(x + 2) − 2 ln(3x) = 0
2. 2 ln(x + 4) > ln(2 − x)
3. 2e2x + ex − 105 = 0
Exercice 1.30 Déterminer l’ensemble {x ∈ R : f (x) > 0} pour
a. f (x) =
1 + ln x
x
b. f (x) = ln x − 3(ln x)2
c. f (x) = ln
2+x
2−x
Exercice 1.31 Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes :
x2 + 3
ex − 1
6.) x 7→ x − ln(1 − x) + 2x
1.) x 7→ x ln(x − 1)
p
2.) x 7→ ln( x2 + 1 − x)
x
3.) x 7→ e x−1
x+2
4.) x 7→
ex
5.
5.) x 7→
Fonctions définies par intervalles
Définition 17:
On appelle fonction en escalier toute fonction constante par intervalles.
Exemple 13 :


−2




6
La fonction f (x) =
 3




1
si
si
−8 6 x < −2
−2 6 x 6 0
si
0<x<4
si
46x
est constante par intervalles.
y
6
4
2
−8
−6
−4
−2
~j
O ~i
−2
37
2
4
6
8
x
Définition 18:
Soit E un sous-ensemble de R. La fonction dite « caractéristique » de l’ensemble E est définie par

1 si t ∈ E
χE (t) =

0 si t ∈
/ E
Exemple 14 :
Tracer le graphe de la fonction χ[1.5,3] .
y
χE (t)
2
1
−2
−1
1
2
3
4
x
−1
Définition 19:

1 si t > 0
La fonction échelon unité est U (t) =
.

0 sinon
Elle est la fonction caractéristique de l’ensemble [0, +∞[.
Propriété 11:
Une combinaison linéaire de fonctions en escalier est une fonction en escalier.
Propriété 12:
Toute fonction en escalier est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques d’ensembles disjoints.
Ex. guidé 24 :
Exprimer f (x) = χ[−4,1] + χ[−2,0] comme combinaison de fonctions caractéristiques d’ensembles
disjoints.
38
On remarque que f est une combinaison linéaire de deux fonctions en escalier (χ[−4,1] et χ[−2,0] ) et donc
elle est une fonction en escalier.
Elle est définie par des fonctions sur des ensembles non disjoints. On va donc étudier au cas par cas ses
valeurs.
x
−∞
−4
0
−2
+∞
1
χ[−4,1]
0
1
1
1
1
1
1
1
0
χ[−2,0]
0
0
0
1
1
1
0
0
0
f (x)
0
1
1
2
2
2
1
1
0
Alors f (x) = χ[−4,2[ + 2χ[−2,0] + χ]0,1] .
Ex. guidé 25 :
Combien vaut la fonction 3χ[−2,4] ?
Elle vaut le triple de la fonction χ[−2,4] . Cela nous donne 3 pour x ∈ [−2, 4] et 0 ailleurs.
Ex. guidé 26 :
Exprimer f (x) = −2χ[−8,−1[ + 6χ[−4,0] + 3χ]−6,4[ comme combinaison de fonctions caractéristiques
d’ensembles disjoints.
En utilisant un tableau on a f (x) = −2χ[−8;−6[ + χ[−6;−4[ + 7χ[−4;−1[ + 9χ[−1,0] + 3χ[0,4[ .
Propriété 13:
χ[a,b[ = χ[a;+∞[ − χ[b;+∞[ .
Propriété 14:
A l’aide des fonctions caractéristiques d’ensembles on peut exprimer des fonctions définies par intervalles.
Ex. guidé 27 :
Ecrire à l’aide des fonctions caractéristiques d’ensembles la fonction f (x) qui vaut 3ex pour x > 0
et 0 ailleurs.
f (x) = 3ex χ[0,+∞[ .
(
x2 ,
x>1
x
x<1
Exemple 15 :
La fonction f (x) =
Ex. guidé 28 :
Expliciter la fonction f (x) = 3 + x4 χ[−2,+∞[ .
e ,
39
peut s’exprimer comme x2 χ[1,+∞[ + ex χ]−∞,1[ .
f vaut (
3 + x4 sur l’intervalle [−2, +∞[ et 3 sur l’intervalle ] − ∞, −2[, c’est-à-dire
3 + x4 , x > −2
f (x) =
3
x < −2
Soit f (x) la fonction dont le graphe est le suivant. Exprimer f à l’aide des fonctions caractéristiques
d’ensembles.
Ex. guidé 29 :
y
6
4
2
~j
~i
−10 −8 −6 −4 −2 O
−2
x
f (x) vaut
+ 2 pour x < 0 et
4
x
+ 2 χ[−8,0] + (x − 2)χ[0,2] .
4
2 − x
x
4
2
pour 0 6 x 6 2. Par conséquent f (x) =
Ecrire la fonction f (x) = 2xχ[1,+∞[ − χ[−1,3[ à l’aide de fonctions caractéristiques d’intervalle
dijoints.
Ex. guidé 30 :
x
2xχ[1,+∞[
−χ[−1,3[
f (x)
−∞
0
0
0
−1
1
3
0
0
2
2x
6
−1
−1
−1
−1
0
−1
−1
1
2x − 1
6
+∞
2x
0
2x
Par conséquent f (x) = −χ[−1,1[ + (2x − 1)χ[1,3[ + 2xχ[3,+∞[ .
Exercices
Exercice 1.32 Représenter le graphe de la fonction f (x) = χ[−2,4] + 3χ[5,8[ .
Exercice 1.33 Représenter le graphe de la fonction f (x) = 3χ[0,1] − 2χ[−2,4[ .
Exercice 1.34 Exprimer la fonction f (x) = 3χ[0,1] − 2χ[−3,1] comme combinaison de fonction caractéristiques
d’intervalles infinis.
Exercice 1.35 Représenter le graphe de la fonction f (x) = xχ[0,1] − x2 χ[−2,3] + ln xχ[1,+∞[ .
40
Exercice 1.36 Exprimer chacun des signaux suivants à l’aide de fonctions caractéristiques d’intervalles infinis.
f (t) = t3
−5
−4
IV -
−3
−2
2
2
2
1
1
1
1
−1
2
3
4
−5
−4
−3
−2
1
−1
2
3
4
−5
−4
−3
−2
1
−1
−1
−1
−1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
2
3
4
Transformations sur les graphes
Translations
−ı , →
− ).
Soit Cf le graphe d’une fonction f dans un repére (O; →
→
−
➔ Le graphe de x → f (x + d) s’obtient par translation de vecteur −d i de Cf .
→
−
➔ Le graphe de x → f (x) + c s’obtient par translation de vecteur c j de Cf .
Y
y
y = f (x) + c
→
−
c∙ j
(Cf ) : y = f (x)
y = f (x + d)
→
−
−d ∙ i
A
X
~j
O ~i
x
Remarque
?? Si d > 0 on fait une translation vers la gauche ; si d < 0 on fait une translation vers la droite.
??
? Si c > 0 on fait une translation vers le haut ; si c < 0 on fait une translation vers le bas.
Ex. guidé 31 :
Comment peut-on obtenir le graphe de f (x) = (x + 2)2 + 3 à partir de celui de y = x2 ?
x2
(x + 2)2
(x + 2)2 + 3.
Dans l’ordre on effectue :
➥ une translation à gauche du graphe de la fonction x → x2
➥ une translation en haut du graphe de la fonction x → (x + 2)2 .
Ex. guidé 32 :
Quel est le graphe de la fonction t → U (t − 1) ?
41
On effectue une translation à droite du graphe de la fonction t → U (t − 1). Par conséquent U (t − 1) vaut
1 pour t > 1 et 0 ailleurs.
Remarque
?? On peut exprimer la fonction χ
[a,b[ comme U (x − a) − U (x − b).
Symétries
−ı , →
− ).
Soit Cf le graphe d’une fonction f dans un repére (O; →
→
−
➔ Le graphe de x → f (−x) s’obtient par symétrie d’axe O j à partir de Cf .
Y →
−
➔ Le graphe de x → −f (x) s’obtient par symétrie d’axe O i à partir de Cf .
y
(Cf ) : y = f (x)
y = f (−x)
~j
O
x
~i
y = −f (x)
Ex. guidé 33 :
Comment peut-on obtenir le graphe de f (x) = −e−x à partir de celui de y = ex ?
ex
e−x
−e−x .
Dans l’ordre on effectue :
➥ une symétrie par rapport à l’axe des y du graphe de la fonction x → ex
➥ une symétrie par rapport à l’axe des x du graphe de la fonction x → e−x
42
Dilatations
−ı , →
− ).
Soit Cf le graphe d’une fonction f dans un repére (O; →
→
−
➔ Le graphe de la fonction x 7−→ f (kx) s’obtient par dilatation de de direction O i
de la courbe Cf .
→
−
➔ Le graphe de la fonction x 7−→ kf (x) s’obtient par dilatation de de direction O j
de la courbe Cf .
Y
y
y = kf (x)
(Cf ) : y = f (x)
y = f (kx)
~j
O
Ex. guidé 34 :
x
~i
Comment peut-on obtenir le graphe de f (x) = 3e2x à partir de celui de y = ex ?
ex
e2x
3e2x .
Dans l’ordre on effectue :
➥ une dilatation en direction des x du graphe de la fonction x → ex
➥ une dilatation en direction des y du graphe de la fonction x → e2x
Ex. guidé 35 :
√
√
Comment peut-on tracer le graphe de f (x) = 3 x + 1 − 2 à partir de celui de y(x) = x ?
√
√
√
x
y1 (x) = x + 1
y2 (x) = 3 x + 1
y(x) = 3 x + 1 − 2
Dans l’ordre on effectue :
√
➥ une translation à gauche du graphe de la fonction x → x
√
➥ une dilatation en direction des y du graphe de la fonction √
x→ x+1
➥ une translation vers le bas du graphe de la fonction x → 3 x + 1
√
Ex. guidé 36 :
Comment peut-on tracer le graphe de y = f (ax + b) à partir de celui de y = f (x) ?
43
Première méthode : on effectue dans l’ordre :
➥ une translation de vecteur −b~i du graphe de la fonction x → f (x)
➥ une dilatation dans la direction des x du graphe de la fonction x → f (x + b).
b
.
Deuxième méthode : on observe que f (ax + b) = f a x +
a
Par conséquent on effectue dans l’ordre :
➥ une dilatation dans la direction des x du graphe de la fonction x → f (x)
b
➥ une translation en direction des x de vecteur − ~i du graphe de la fonction x → f (ax).
a
Aurait-on pu tracer le graphe à travers une dilatation dans la direction des x de facteur a et ensuite une
translation de vecteur −b~i ?
Application physique
L’évolution de la différence de potentiel lors de la charge d’un condensateur est décrite par V (t) =
E(1 − e−t/τ ) où E et τ sont des constantes positives qui dépendent du condensateur et des conditions
initiales.
Tracer le graphe de V (t) à partir de celui de y(t) = et dans le plan (t, y).
Exemple 16 :
y1 (t) = et/τ
y2 (t) = e−t/τ
y3 (t) = −e−t/τ
y4 (t) = 1 − e−t/τ
−t/τ
y5 (t) = E(1 − e
) = V (t)
Dans l’ordre on effectue :
➥ une dilatation en direction des t du graphe de la fonction t → et
➥ une symétrie par rapport à l’axe des y du graphe de la fonction t → et/τ
➥ une symétrie par rapport l’axe des t du graphe de la fonction t → e−t/τ
➥ une translation le long des y de vecteur ~j du graphe de la fonction t → −e−t/τ
➥ une dilatation en direction des y du graphe de la fonction t → 1 − e−t/τ
et
Exercices
Exercice 1.37 Tracer le graphe des fonctions suivantes à partir de courbes usuelles :
a. f (x) = x2 + 3
g. f (x) = (−3x)3
b. f (x) = x3 + 5
h. f (x) = e−2x
c. f (x) = (x + 2)3
i. f (x) = 3 ln(x)
d. f (x) = e
j. f (x) = 2x2 + 3
x−2
k. f (x) = 3|x + 2| − 4
e. f (x) = 3x2
f. f (x) = −x
l. f (x) = e−2(x+3)
4
Exercice 1.38 Exprimer les signaux ci-dessus en utilisant des translations de la fonction echelon unité.
2
4
3
2
1
−2
−1 −1
f (t) = t
−5
−4
−3
2
1
−5
1
2
3
4
−4
−3
−2
−1 −1
−2
−3
44
f (t) = t2
1
2
3
4
−5
−4
−3
−2
2
1
−1 −1
−2
−3
1
2
3
4
Chapitre
2
Trigonométrie
Sommaire
III III IV -
Les angles et le cercle trigonométrique .
Définition des fonctions trigonométriques
Des formules importantes . . . . . . . . .
Graphes des fonctions trigonométriques .
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
45
47
51
58
Motivations
Un signal périodique quelconque peut s’écrire sous la forme de combinaisons linéaires de sinus et de
cosinus :
∞
X
ak sin(2πfk t − ϕk )
"série de Fourier" du signal
k=0
d’où l’importance d’étudier les fonctions sinus et cosinus en trigonométrie !
La trigonométrie est ainsi présente dans des matières comme l’électricité ou l’électronique, par exemple.
I-
Les angles et le cercle trigonométrique
Définition 1:
−ı , →
− ), le cercle trigonométrique est le cercle de centre O
Dans un repère orthonormé (O; →
et de rayon 1, muni d’une orientation. Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
\ est égale à la longueur de l’arc AM .
La mesure en radians de l’angle géométrique AOM
\ ».
On la notera « mes AOM
On prendra cette unité par défaut, bien qu’il en existe d’autres (grades et degrés) :
180◦ = π rd(= 200gr)
45
M
AM = α
+
α
0
Ex. guidé 1 :
Ex. guidé 2 :
A
1
Compléter le tableau ci-dessous :
Mesure en degrés
180
Mesure en radians
π
30
π
6
45
π
4
60
π
3
90
π
2
360
2π
x
πx
180
Retrouver les angles ci-dessous (en radians) par symétries
π
π
2π
2
3 π
3
3π
4
4
π
5π
+
6
6
0
π
7π
6
5π
4 4π
3
46
3π
2
7π
5π 4
3
11π
6
Ex. guidé 3 :
Placer les angles suivants sur le cercle :
25π 15π
59π −465π
;
; 3720◦ ;
;
3
4
2
6
3720◦
−
465π
6
25π
3
+
π
15π
4
59π
2
II 1.
Définition des fonctions trigonométriques
Approche en géométrie non orientée
Formules du triangle rectangle
B
Hypothénuse
A
AB
Opp
=
BC
Hyp
AC
Adj
cos(θ) =
=
BC
Hyp
AB
Opp
tan(θ) =
=
BC
Adj
sin(θ) =
Opposé
Adjacent
θ
C
Théorème de Al-Kashi
Soient a, b, c les cotés d’un triangle quelconque.
Alors c2 = a2 + b2 − 2ab ∙ cos θ, si θ est l’angle entre les cotés a et b.
B
a
c
A
b
θ
47
C
La formule fondamentale de la trigonométrie
Le théorème de Pythagore donne AB 2 + AC 2 = BC 2 . On en déduit, en divisant par BC 2 , un résultat
essentiel :
cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1
Ex. guidé 4 :
π
\ = rd. A l’aide de ce triangle, calculer
Soit un triangle (ABC) rectangle en A tel que mes ACB
3
π
π
les lignes trigonométriques de puis en déduire celles de .
3
6
B
triangle équilatéral
π
6
C
π
3
A
D
π π π
\ = π − − = On construit par symétrie
La somme des angles d’un triangle vaut π . Donc mes ABC
2 3
6
par rapport au segment AB le triangle BAD. Alors le triangle BDC est équilateral ce qui implique que
1
AC = AD = BC. Avant de calculer les lignes trigonométriques on observe que les valeurs à obtenir
2
sont positives. On en déduit
!
1
π
=
cos
3
2
!
!
! √
3
π
π
π
3
2
2
= 1 − cos
= ⇒ sin
=
sin
3
3
4
3
2
!
π
!
sin
3
√
π
!= 3
=
tan
3
π
cos
3
!
! √
!
1
π
π
π
1
3
sin
= ; cos
=
=√
et tan
6
2
6
2
6
3
Ex. guidé 5 :
Trouver les lignes de
π
à l’aide d’un triangle rectangle isocèle.
4
B
triangle rectangle isocèle
π
4
π
4
A
C
48
√
AB
AC
2
On a AC = AB et donc BC = 2AC ce qui implique que
=
=
. On en déduit que
BC
BC
2
!
1
π
=√
cos
4
2
!
π
1
sin
=√
4
2
2
2.
2
Approche en géométrie orientée
Définition 2:
Considérons le cercle trigonométrique dans le repére (O,~i, ~j) du plan. Soient M un point du cercle et
−−→
θ = mes(O~i, OM ). On pose
➔ cos(θ) l’abscisse du point M
➔ sin(θ) l’ordonnée du point M
➔ tan(θ) =
sin(θ)
pour θ tel que cos(θ) 6= 0.
cos(θ)
−
→
j
M A
My
y = sin θ









O
r=
1
θ
|
{z
x = cos θ







−
→
i
}
Mx







+
tan θ
B
Théorème 1:
➔ sin(θ + 2kπ) = sin(θ) ;
➔ cos(θ + 2kπ) = cos(θ) avec k ∈ Z ;
➔ sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1 pour tout θ.
Remarque
?? Par similitude on peut montrer que tan θ est l’ordonnée du point d’intersection entre la droite x = 1 et la
??
? droite par OM .
49
Remarque
?? Si on considere un cercle de centre l’origine et rayon r, alors les coordonnées de ses points P seront
??
? (r cos θ, r sin θ) ou θ est l’angle formé entre l’axe des x et la droite par OP.
Remarque
?? Pour des angles aigus on retrouve les notions de cosinus et sinus données avant dans des triangles rec??
? tangles.
Ex. guidé 6 :
3
Soit x un nombre réel de l’intervalle [0, π] tel que cos x = . Déterminer la valeur exacte de sin x.
5
On a cos2 x + sin2 x = 1 ⇒ sin x = ±
p
1 − cos2 x.
Comme x ∈ [0, π] alors sin x > 0 et donc sin x =
p
4
1 − cos2 x = .
5
Théorème 2: Les arcs associés
sin(−θ) = − sin θ
cos(−θ) = cos θ
sin(π + θ) != − sin θ
π
sin
− θ = cos θ
2
!
π
sin
+ θ = cos θ
2
cos(π + θ) != − cos θ
π
cos
− θ = sin θ
2
!
π
cos
+ θ = − sin θ
2
sin(π − θ) = sin θ
tan(−θ) = − tan θ
cos(π − θ) = − cos θ
π
+θ
2
π
2
tan(π − θ) = − tan θ
tan(π + θ) != tan θ
π
tan
− θ = cot θ
2
!
π
tan
+ θ = − cot θ
2
π
−θ
2
π−θ
θ
0
π
π+θ
−θ
θ+
π
2
3π
2
θ−
π
2
Exercices
3
Exercice 2.1 Soit x un nombre réel de l’intervalle [−π, 0] tel que cos x = . Déterminer la valeur exacte de
5
sin x.
50
Exercice 2.2 Soit y(x) = mx. Soient A = (1, 0) et M = (1, m). Montrer que m = tan(θ), où θ = mes(M OA)
(avec la convention de signe fixée dans le cercle trigonométrique).
Suggestion : Montrer d’abord que |m| = | tan θ|.
π
Exercice 2.3 a. Sachant que sin
=
12
π
b. En déduire que tan .
12
√
c. En déduire les sinus et cosinus de a =
6−
4
√
11π
12
2
, calculer la valeur exacte de cos
et
b=
π
.
12
23
π.
12
Exercice 2.4 Calculer les valeurs :
77π
3
77π
6.) sin
3
145π
7.) cos
4
1.) cos(5π)
2.) sin(5π)
65π
3.) cos
2
65π
4.) sin
2
3.
5.) cos
145π
2
145π
9.) tan
3
8.) sin
Une application : les coordonnées polaires
Les coordonnées polaires
Un point M du plan peut être représenté de façon unique par ses coordonnées cartésiennes (x, y) mais
également par ses coordonnées polaires (r, θ).
M (x, y)
y
−−→
θ = (Ox, OM )
−−→ p
r = OM = x2 + y 2
(
x = r cos θ
y = r sin θ
y
−−→
OM
→
−
j
θ
→
−
i
O
Ex. guidé 7 :
−−→
r = OM x
Déterminer les coordonnées polaires du point A
x
√
3; 3 .
p
√
√
r = x2 + y 2 = 12 = 2 3

1

(
(√
√

 cos θ =
3 = 2 3 cos θ
x = r cos θ
π
2
√
⇔
⇒θ=
⇔
√

3
3
y = r sin θ
3 = 2 3 sin θ

 sin θ =
#2
"
√ π
Les coordonnées polaires sont donc A = 2 3; .
3
III -
Des formules importantes
51
1.
Equations trigonométriques
Théorème 3: Equations de base
En utilisant le cercle trigonométrique compléter trouver les solutions des équations suivantes :
➥ cos x = cos θ ⇔ x = ±θ + 2kπ
➥ sin x = sin θ ⇔ x = θ + 2kπ ou x = π − θ + 2kπ
➥ tan x = tan θ ⇔ x = θ + kπ
π − θ + 2kπ
θ + 2kπ
θ + 2kπ
sin θ
cos θ
−θ + 2kπ
Résoudre :
Ex. guidé 8 :
a. cos x =
√
1
b. sin 2x = − .
2
3
;
2
√
π
π
3
⇔ cos x = cos ⇔ x = ± + 2kπ ;
2
6
! 6
1
π
π
7π
b. sin 2x = − ⇔ sin 2x = sin −
⇔ x = − + kπ ou x =
+ kπ.
2
6
12
12
a. cos x =
Résoudre dans R :
Ex. guidé 9 :
3 cos2 x − 7 cos x + 2 = 0.
On pose X = cos x. On a 3X 2 − 7X + 2 = 0 soit X = 2 ou X =
1
.
3
1. X = cos x = 2 : impossible.
1
1
2. X = cos x = ⇐⇒ x = ±α0 + 2kπ avec k ∈ Z si α0 est l’angle dans ]0, π[ tel que cos x = .
3
3
Ex. guidé 10 :
Résoudre dans R :
cos(2t − π/3) = cos 5π/6.
52
π
5π
7π
=
+ 2kπ ⇐⇒ t =
+ kπ avec k ∈ Z
3
6
12
5π
π
π
+ 2kπ ⇐⇒ t = − + kπ avec k ∈ Z
2. 2t − = −
3
6
4
1. 2t −
Exercices
Exercice 2.5 Résoudre les équations suivantes (donner une approximation le cas échéant) :
5.) sin(2x + π/3) = cos(2π/3)
1.) cos ϕ = 1/2
√
2.) sin x = 1/ 2
6.) cos(2x + π/3) = − sin(5x − π/6)
3.) sin t + 3 sin t + 2 = 0 (poser sin(t) = X)
7.) 3 sin x = 2 cos2 x
4.) tan2 α + 2 tan α − 1 = 0
8.) 3 sin2 x + 7 cos x − 5 = 0
2
2.
Inéquations trigonométriques
Résoudre l’inégalité sin x 6 a avec 0 < a < 1
Sur le cercle trigonométrique la droite y = a détermine deux angles tels que sin x = a.
x = α0 ∈ [0,
π
π
] et x = π − α0 ∈ [ , π]
2
2
Les angles compris entre 0 et 2π vérifiant sin x 6 a sont les angles appartenant à ]0, α0 [ et ]π − α0 , 2π[.
y=a
0
Par 2π-périodicité les solutions de sin x 6 a sont alors ]0, α0 [+2kπ et ]π − α0 , 2π[+2kπ, avec k ∈ Z.
Résoudre l’inégalité sin x 6 a avec −1 6 a < 0
la droite y = a détermine deux angles tels que sinx = a :
x = β0 ∈] −
π
3π
, 0[ et x = π − β0 ∈]π,
[
2
2
Les angles compris entre −π et π qui vérifient sin x 6 a sont alors les angles appartenant à ]π − β0 , β0 [.
0
y=a
Par 2π-périodicité les solutions de sin x 6 a sont ]π − β0 , β0 [+2kπ, avec k ∈ Z.
Ex. guidé 11 :
Résoudre sin x 6
1
.
2
On obtient x ∈ [0, π/6] + 2kπ ou x ∈ [5π/6, 2π] + 2kπ avec k ∈ Z.
53
Résoudre l’inégalité cos x 6 a avec 0 < a < 1
Sur le cercle trigonométrique la droite x = a détermine deux angles tels que cos x = a :
x = ±α0 avec α0 ∈ [0, π/2]
Les angles compris entre 0 et 2π qui vérifient cos x 6 a sont les angles appartenant à ]α0 , 2π − α0 [.
x=a
0
Par 2π-périodicité les solutions de cos x 6 a sont ]α0 , 2π − α0 [+2kπ, avec k ∈ Z.
Résoudre l’inégalité cos x 6 a avec −1 6 a < 0
La droite y = a détermine deux angles tels que cos x = a :
x = ±β0 avec β0 ∈]π/2, π[
Les angles compris entre 0 et 2π qui vérifient cos x 6 a sont les angles appartenant à ]β0 , 2π − β0 [.
x=a
0
Par 2π-périodicité les solutions de cos x 6 a sont ]β0 , 2π − β0 [+2kπ, avec k ∈ Z.
Ex. guidé 12 :
1
Résoudre cos x > √ .
2
1
Étudions d’abord l’intervalle [0, 2π]. Les angles x qui vérifient cos x > √ appartiennent au complémen2
1
taire de l’ensemble des solutions de cos x < √ .Par conséquent on trouve x ∈ [−π/4, π/4] + 2kπ avec
2
k ∈ Z.
3.
Calcul des sommes et différences
Théorème 4: Les formules
➔ cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
➔ cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
➔ sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
➔ sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
tan a + tan b
➔ tan(a + b) =
1 − tan a tan b
tan a − tan b
➔ tan(a − b) =
1 + tan a tan b
54
Pourquoi sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b?
y
C
D
B
β
α
E
A x
CD + ED
CD ED
CD CB
ED OB
CB CD ED OB
=
+
=
+
=
+
sin(a + b) =
OC
OC
OC
OC CB
OC OB
OC CB
OB OC
= sin b cos a + cos b sin a.
Cela implique que sin(a − b) = sin(−b) cos a + cos(−b) sin a = − sin b cos a + cos b sin a.
Pourquoi cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b?
π
π
π
cos(a + b) = sin a + b +
= sin a cos(b + ) + cos a sin(b + ) = sin a(− sin b) + cos a cos b
2
2
2
= cos a cos b − sin a sin b.
On en déduit que cos(a − b) = cos a cos(−b) − sin a sin(−b) = cos a cos b + sin a sin b.
Remarque
??
2
2
? En particulier cos(2x) = cos x − sin x; sin(2x) = 2 sin x cos x.
a.
Le produit scalaire
Une application : le produit scalaire
A
B
a-b
a
b
0
−→ −−→
Par définition OA ∙ OB = xA ∙ xB + yA ∙ yB . Mais
xA ∙ xB + yA ∙ yB = ||OA|| cos a||OB|| cos b + ||OA|| sin a||OB|| sin b = ||OA||||OB||(cos a cos b + sin a sin b)
On a vu que cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. Par conséquent
−→ −−→
OA ∙ OB = ||OA||||OB|| cos(AOB)
Ex. guidé 13 :
−
−
Soit →
u = (2, 3) et →
v = (1, 2). Calculer l’angle entre ces deux vecteurs.
55
√
√
−
−
On a que →
u ∙→
v = 2 ∙ 1 + 3 ∙ 2 = 8 = ||u|| ∙ ||v|| cos(uv) = 4 + 9 1 + 4 cos(uv).
8
Par conséquent cos(uv) = √ √ .
13 5
Exercices
Exercice 2.6 Vous avancez de 3m vers le sud, de 4m vers l’est, puis grimpez verticalement dans un arbre à 5m
de haut. A quelle distance, de votre point de départ, vous retrouvez-vous ?
Si vous disposiez d’une échelle pour effectuer le déplacement en ligne droite, quelle serait la mesure de l(angle
défini par l’échelle et le plan horizontal ?
4.
Linéarisation
Linéariser une expression trigonométrique
Linéariser signifie « passer d’une expression composée de produits ou de puissances de sin ou cos en
sommes de ces mêmes fonctions. »
Théorème 5: Linéarisation
➔ cos a cos b =
1
[cos(a + b) + cos(a − b)]
2
➔ sin a sin b =
1
[cos(a − b) − cos(a + b)]
2
➔ sin a cos b =
1
[sin(a + b) + sin(a − b)]
2
Ex. guidé 14 :
Montrer les deux premières formules.
On sait que cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b et que cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. Si on fait la
somme et la différence membre par membre on a
cos(a + b) + cos(a − b) = 2 cos a cos b.
cos(a + b) − cos(a − b) = 2 sin a sin b.
1
1
En on déduit : cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] et sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)].
2
2
Exemple 1 :
Montrer la troisieme formule.
On sait que sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b et que sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b. Si on fait la
somme membre par membre on a
sin(a + b) + sin(a − b) = 2 sin a cos b.
Ex. guidé 15 :
Linéariser cos2 x et sin2 x.
56
On sait que cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) et 1 = cos2 x + sin2 x. En effectuant la somme on obtient
cos2 (x) =
1 + cos(2x)
2
sin2 (x) =
1 − cos(2x)
2
En effectuant la différence on obtient
Ex. guidé 16 :
Linéariser cos2 x ∙ sin x.
On sait que cos2 x =
Or, sin a cos b =
1 + cos 2x
1
. Donc cos2 x ∙ sin x = (sin x + sin x cos 2x).
2
2
1
[sin(a + b) + sin(a − b)], d’où
2
1
1
sin x + [sin(x + 2x) + sin(x − 2x)]
cos2 x ∙ sin x =
2
2
!
=
1
(sin x + sin 3x)
4
Exercices
Exercice 2.7 Montrer que
1.) 4 cos3 θ = 3 cos θ + cos 3θ
2.) 4 sin3 θ = 3 sin θ − sin 3θ
Théorème 6: Des formules utiles
Expressions rationnelles a
2t
1 + t2
1 − t2
cos a =
1 + t2
2t
tan a =
1 − t2
sin a =
avec t = tan2
a
2
Transformation de somme en produit
p+q
p−q
cos p + cos q = 2 cos
cos
2
2
p+q
p−q
cos p − cos q = −2 sin
sin
2
2
p−q
p+q
cos
sin p + sin q = 2 sin
2
2
p−q
p+q
sin p − sin q = 2 sin
cos
2
2
p
A2 + B 2 cos (x − α)
A
(où α tel que tan (α) = )
B
A sin x + B cos x =
a. Ces formules seront données en contrôles
Ex. guidé 17 :
Résoudre : cos θ + cos(θ + π/3) > 0.
p+q
p−q
Grâce à la formule cos p + cos q = 2 cos
cos
l’inégalité à étudier équivaut à
2
2
π
2π π
π
π
cos
> 0 c’est-à-dire cos θ +
> 0. On obtient alors θ ∈ − ,
+ 2kπ, avec
2 cos θ +
6
6
6
3 3
k ∈ Z.
57
IV 1.
Graphes des fonctions trigonométriques
Fonction sinus
Propriété 1:
➥
➥
➥
➥
Df = R
Im f = [−1, 1]
f est impaire : sin(−x) = sin(x)
f est de 2π-périodique
Construction de la fonction sinus
y
1
~j
y
−
−π
O
~i
−1
π
2
π
1
~j
π
2
x
O
~i
−1
−2
π
2
π
x
−2
y
−π
−2π
−
π
2
1
~j
O
~i
−1
π
2
π
x
−2π
2π
2.
Fonction cosinus
Propriété 2:
➥
➥
➥
➥
Df = R
Im f = [−1, 1]
f est paire
f est de 2π-périodique
y
1
~j
−π
−2π
−
π
2
O
−1
~i
π
2
π
2π
58
−2π
x
3.
Fonction tangente
Propriété 3:
➥
➥
➥
➥
nπ
o
Df = R \
+ kπ, k ∈ Z
2
Im f = R
f est impaire
f est π-périodique
y
3
2
1
~j
O
−1
−2
−3
−4
~i
x
On trace la courbe à travers les étapes suivantes :
➥ dilatation horizontale de 3
π→
−
➥ translation de − i .
12
ou sinon
π→
−
➥ translation de − i .
4
➥ dilatation horizontale de 3
y
π
2
π
−
2
−π
x
π
−1
2π/3
Application à l’électricité
On considère une intensité de courant i(t) = I cos(ωt + ϕi ) et une tension u(t) = U cos(ωt + ϕu ), avec
ϕi , ϕu , ω positifs. On définit le déphasage de i par rapport à u comme ϕ = ϕu − ϕi . Selon le signe de ϕ,
dire si u est en phase, en avance ou en retard sur i.
ϕu ϕi et u(t) = U cos ω t +
. Dans les deux cas, ces courbes s’obtiennent
On peut écrire i(t) = I cos ω t +
ω
ω
à partir du graphe de t → cos t à travers, en ordre :
ϕu
ϕi
1. une translation de vecteur − ~i ou − ~i (translation à gauche le long de l’axe des x)
ω
ω
1
2. une dilatation de facteur
le long de l’axe des x
ω
3. une dilatation de facteur I ou U le long de l’axe des y.
Alors
➥ si ϕi < ϕu , le graphe de u(t) se trouve à gauche du graphe de i(t), c’est-à-dire que u(t) est en avance sur i(t) ;
➥ si ϕi > ϕu , le graphe de i(t) se trouve à gauche du graphe de u(t), c’est-à-dire que i(t) est en avance sur u(t) ;
➥ si ϕi = ϕu , le graphe de i(t) se trouve en phase avec le graphe de u(t).
3
y
2
1
Ex. guidé 20 :
−1
~i
ϕ1
− ~i
ω
2
3
4
+ϕ
O
I co
s( ω t
t)
os(ω
Ic
y
=
t
)
~j
)
)
s( t
co t
y = s(ω
co −1
y=
I
5
6
7
8
x
−2
T
−3
Le graphe bleu ci-dessous correspond au graphe de la fonction f (t) = A sin(ωt + ϕ). Déterminer
A, ω et ϕ.
60
A sin(ωt + ϕ)
3
2
A
1
1
y
=
sin
(ω
t)
−1
ϕ
ω
t
2
3
4
5
6
7
8
−1
−2
T
−3
1. A= 3 ϕ
= A sin(ωt). Par conséquent f (t) = A sin (ωt − |ϕ|) avec ω > 0.
2. f t −
ω
2π
2π
3. La période
de A sin(ωt) vaut à 105mm sur la figure. Par conséquent ω =
ω 105
ϕ
2π
.
4. Sur la figure = 40mm. Ainsi |ϕ| = 40ω = 40
ω
105
Exercices
Exercice 2.8 Donner l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
1.) x 7→
1
cos x
sin x + cos x
cos x − sin x
π
4.) x 7→ 2 cos2 3x +
3
3.) x 7→
2.) x 7→ ex sin(2x)
Exercice 2.9 Les fonctions x → sin x et x → cos x, définies sur R, sont-elles bornées ?
Exercice 2.10 Tracer le graphe des fonctions suivantes à partir de fonctions usuelles :
f (x) = sin(x) − 2
f (x) = sin(x − 1)
f (x) = 2 sin(x)
f (x) = −2 cos(x)
x
e. f (x) = sin
2
a.
b.
c.
d.
f. f (x) = cos(3x)
g. f (x) = tan(2x)
h. f (x) = cos(3x) + 2
i. f (x) = 3 tan(−2x) + 5
61
Chapitre
3
Nombres complexes
Sommaire
I - Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . .
II - Forme algébrique d’un nombre complexe . . . .
III - Forme trigonométrique d’un nombre complexe
IV - Forme exponentielle d’un nombre complexe . .
V - Formules de Moivre et d’Euler . . . . . . . . . .
VI - Equations du second degré . . . . . . . . . . . . .
VII - Racine n-ème d’un complexe . . . . . . . . . . .
VIII -Transformations dans le plan complexe . . . . .
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.
62
62
66
70
72
72
75
76
Motivations
La notation complexe des grandeurs physiques comme le courant, la tension, l’impédance permet de les
manier plus facilement (en particulier cela simplifie les opérations comme la somme, le produit, ou la
dérivation ...).
I-
Définition et propriétés
Définition 1:
On définit l’ensemble C par x + iy ; (x, y) ∈ R2 ; i2 = −1 .
➤ Ses éléments sont appelés nombres complexes.
➤ Il contient le nombre i vérifiant i2 = −1 .
Remarque
??
??
??
??
??
??
??
??
Les ensembles N, Z, Q, R sont inclus dans C :
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Un peu d’histoire : La notation i fut introduite par Euler en 1777, puis reprise par Gauss au début
du XIXème siècle. Cependant, le premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes
en 1637.
II -
Forme algébrique d’un nombre complexe
62
1.
Définition
Définition 2:
Chaque élément z de l’ensemble C s’écrit de manière unique z = a + ib, a et b étant des réels.
➤ a est appelé partie réelle de z et est noté Re (z),
➤ b est appelé partie imaginaire de z et est noté Im (z).
Remarque
?? Nombres particuliers :
??
?? ➥ si b = 0, on a z = a, z est donc réel
?? ➥ si a = 0, on a z = ib, on dit que z est un imaginaire pur
Ex. guidé 1 :
Dans chacun des exemples suivants, donner la partie réelle et la partie imaginaire :
z = 2 + 3i
a=2
1
z = −1 + i
2
z = −i
a = −1
a=0
z=π
a=π
1
z = 4i −
3
2.
b=3
1
b=
2
b = −1
b=0
1
a=−
3
b=4
Représentation graphique
Définition 3:
−→
−ı , →
− ) un repère orthonormal direct. Au point M (au vecteur −
Soit (O; →
OM ) de coordonnées (a, b) on
peut associer le nombre complexe
−−→
z = a + ib. On dit que z = a + ib est l’affixe du point M (du vecteur OM ).
Lorsqu’on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu’on
se place dans le plan complexe.
M (z = a + ib)
b
y
−−→
OM
→
−
j
0
→
−
i
x
a
63
Ex. guidé 2 :
Placer dans le plan complexe les points Mi d’affixes zi :
M1
y
z1 = 2 + 3i
M3
z2 = 3 + i
i
z3 = −1 + 2i
M5
z4 = 2 − i
M7
z5 = i
z6 = −2i
z7 = −2
O
M2
1
x
M8
M4
z8 = −i − 3
M6
Propriété 1:
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie
imaginaire :
z = z 0 ⇔ a + ib = a0 + ib0 ⇔ a = a0 et b = b0 .
En particulier z = 0 ⇔ a = b = 0.
3.
Premiers calculs
Propriété 2:
Soient z = a + ib, z 0 = a0 + ib0 et k un réel. Alors
➔ z + z 0 = (a + a0 ) + i(b + b0 )
➔ z − z 0 = (a − a0 ) + i(b − b0 )
➔ kz = ka + ikb
➔ zz 0 = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + a0 b)
Ex. guidé 3 :
Soient z = 2 + 3i et z 0 = i − 5. On a :
➔ z + z 0 = 2 + 3i + i − 5 = −3 + 4i
➔ z − z 0 = 2 + 3i − (i − 5) = 2 + 3i − i + 5 = 7 + 2i
➔ 2z − 3z 0 = 2(2 + 3i) − 3(i − 5) = 4 + 6i − 3i + 15 = 19 + 3i
➔ zz 0 = (2 + 3i)(i − 5) = 2i − 10 + 3i2 − 15i = 2i − 10 − 3 − 15i = −13 − 13i
➔ z 2 = (2 + 3i)2 = 22 + 2 × 2 × 3i + (3i)2 = 4 + 12i + 9i2 = 4 + 12i − 9 = −5 + 12i
Au contraire que dans R les inégalités entre nombres complexes n’ont pas de sens. Par exemple on ne dira
pas que z = a + ib est positif ou négatif ou que z est supérieur à un autre nombre complexe.
64
4.
Conjugué et inverse d’un complexe
Définition 4:
On appelle conjugué du nombre complexe z = a + ib le nombre z = a − ib.
Géométriquement, si M1 est le point d’affixe z, le point M2 d’affixe z est le symétrique de M1 par rapport
à l’axe des abscisses.
M1 (z)
y
→
−
v
→
−
ux
0
M2 (z)
Ex. guidé 4 :
Soient z = 3 + 5i et z 0 = −2 + 3i. Alors
➔ z + z 0 = (3 + 5i) + (−2 + 3i) = 1 + 8i
➔ z × z 0 = (3 + 5i) × (−2 + 3i) = −6 + 9i − 10i + 15i2 = −6 − i − 15 = −21 − i
➔ z = 3 − 5i
➔ z 0 = −2 − 3i
➔ z + z 0 = (3 − 5i) + (−2 − 3i) = 1 − 8i
➔ z + z 0 = 1 − 8i
➔ z × z 0 = (3 − 5i) × (−2 − 3i) = −6 − 9i + 10i + 15i2 = −6 + i − 15 = −21 + i
➔ z × z 0 = −21 + i
Propriété 3:
Soient z et z 0 deux nombres complexes. Alors :
➔
➔
➔
➔
➔
z + z0 = z + z0
z × z0 = z × z0
z=z
z ∈ R ⇐⇒ z = z
z ∈ iR ⇐⇒ z = −z
➔ Re (z) =
1
(z + z)
2
➔ Im (z) =
1
(z − z)
2i
➔ z∙z ∈R
Remarque
??
Soit z = a + ib. Alors zz = a2 + b2 .
65
Définition 5: inverse d’un nombre complexe
Soit z = a + ib. On définit
Ex. guidé 5 :
a − ib
1
z
z
= 2
.
=
= 2
z
zz
a + b2
a + b2
Résoudre l’équation (3 + 2i)z = 1 + i.
On a z =
Ex. guidé 6 :
1+i
5+i
=
.
3 + 2i
13
1
1−i
1−i
1 1
=
=
= − i
1+i
(1 + i)(1 − i)
2
2 2
2 + 3i
2 + 3i
2
3
1
=
=
=
+ i
➔
2 − 3i
(2 − 3i)(2 + 3i)
13
13 13
2
2 × −i
−2i
➔
=
=
= −2i
i
i × −i
1
(2 + i)(−3 − i)
−6 − 2i − 3i + 1
−5 − 5i
1 1
2+i
=
=
=
=− − i
➔
−3 + i
(−3 + i)(−3 − i)
10
10
2 2
➔
Propriété 4:
Soit z et z 0 deux nombres complexes, alors :
➔
1
1
= .
z
z
➔
z
z0
=
z
.
z0
Exercices
Exercice 3.1 Résoudre les équations suivantes :
1.) (3 + 2i)z = 2 − i
3.) 3 + 4iz = −3 + 2i
2.) iz + 2 − 5i = 0
III 1.
4.) 3i + 7z = 4
Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Module d’un nombre complexe
Définition 6:
Le module du complexe z = a + ib est le réel positif noté |z| tel que |z| =
√
zz=
p
a 2 + b2 .
Remarque
?? Soit M l’affixe du nombre complexe z. Le module de z est la distance entre M et O. La notion de module
??
dans C se confond avec la valeur absolue dans R.
66
Ex. guidé 7 :
p
√
√
➔ |3 + 4i| = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
p
√
√
➔ |1 − i| = 12 + (−1)2 = 1 + 1 = 2
p
√
√
➔ |−5 − 2i| = (−5)2 + (−2)2 = 25 + 4 = 29
➔ |−5| = 5
p
√
➔ |9i| = 02 + 92 = 81 = 9
Propriété 5:
1
1
➔ =
.
z
|z|
z
|z|
➔ 0 = 0 .
z
|z |
➔ |z| = 0 ⇔ z = 0.
➔ |−z| = |z| et |z| = |z|.
➔ |z × z 0 | = |z| × |z 0 |.
2.
Argument d’un complexe non nul
Définition 7:
Soit z = a + ib un nombre complexe et M le point d’affixe z.
−−→
➤ On appelle argument de z l’angle θ que le vecteur OM forme avec l’axe des x.
➤ On note θ = arg(z).
M (z)
y
θ = arg(z)
x
0
Propriété 6:
Si z 6= 0 alors θ vérifie :


 cos θ

 sin θ
=
=
a
+ b2
b
√
a 2 + b2
√
a2
c’est-a-dire tan θ =
Propriété 7:
Soit z = a + ib. Soit arg z ∈ [0; 2π[.
➔ Si a, b > 0 alors arg(z) ∈ ]0, π/2[.
➔ Si a < 0 et b > 0 alors arg(z) ∈ ]π/2, π[.
➔ Si a < 0 et b < 0 alors arg(z) ∈ ]π, 3π/2[.
➔ Si a > 0 et b < 0 alors arg(z) ∈ ]3π/2, 2π[.
Propriété 8:
➔ arg(zz 0 ) = arg(z) + arg(z 0 )
1
= arg(z) = − arg(z)
➔ arg
z
z
➔ arg 0 = arg(z) − arg(z 0 )
z
67
b
.
a
Exemple 1 :
D’après l’exemple précédent, on obtient :
π π
7π
➔ arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) = + =
4
3
12
π
1
= − arg z1 = −
➔ arg
z1
4
z1
π π
π
➔ arg
= arg z1 − arg z2 = − = −
z2
4
3
12
Ex. guidé 8 :
Soit ω un réel positif. Calculer le module et l’argument de
2
1. z =
;
1 + 3iω
1
.
2. z =
(1 + 0, 5iω)2
2
2
;
=√
|1 + 3iω|
1 + 9ω 2
arg(z) = arg(2) − arg(1 + 3iω) = − arg(1 + 3iω) qui est l’opposé de l’angle dans [0, π/2] dont la
tangente vaut 3ω.
1
1
1
2. |z| =
= p
=p
;
|(1 + 0, 5iω)2 |
(1 − 0, 25ω)2 + ω 2
1 + 1, 625ω 2 − 0, 5ω
arg(z) = −2 arg(1 + 0, 5iω) ou arg(1 + 0, 5iω) est l’angle dans [0, π/2] dont la tangente vaut 0, 5ω.
1. |z| =
Exercices
√
√
z
Exercice 3.2 Soient z = 1 + i 3 et z 0 = 3 + i. Déterminer le module et l’argument de z, z 0 , zz 0 et 0 .
z
Exercice 3.3 Soit ω un réel positif. Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants :
0, 5
1. z =
iω(1 + 2iω)
1
2. z =
(1 + 2iω)(1 + 3iω)
Exercice 3.4 Quel est l’ensemble des points M (x, y) du plan R2 dont l’affixe z vérifie : |z − 3| = 4 ?
Exercice 3.5 Déterminer l’ensemble des points M (x, y) du plan R2 dont l’affixe z vérifie : |z − 4| = |z + 2i|.
68
3.
Ecriture trigonométrique
Définition 8:
Tout nombre complexe non nul z = a + ib peut-être écrit sous la forme z = r(cos θ + i sin θ) avec :
➤ arg(z) = θ ∈ R est l’argument de z
➤ |z| = r ∈ R+∗ est le module de z
cette écriture s’appelle la forme trigonométrique de z.
M (z)
b = r sin θ
y
r=
→
−
v
0
θ
→
−
u
p
a2 + b2
x
a = r cos θ
La donnée du couple (r, θ) caractérise le point M . On observe que M est un point du cercle de centre
l’origine et rayon r = |z|.
Passage d’une forme à l’autre
➔ Trouver la forme trigonométrique de a + ib : r =
p
a2 + b2 et
➔ Trouver la forme algébrique de z = r(cos θ + i sin θ) :
(


 cos θ

 sin θ
=
=
a
,
a2 + b2
b
√
.
2
a + b2
√
a = r cos θ
b = r sin θ
Trouver la forme trigonométrique de z1 = 1 − i.
Ex. guidé 9 :

√

2
=

 |1 − i|
z1 = 1 − i :
tan θ
= −1


 θ ∈ [− π , 0]
2
√
π
Donc r = 2 et θ = − .
4 h
π
π i
√
+ i sin −
.
En conclusion 1 − i = 2 cos −
4
4
Ex. guidé 10 :
En visualisant l’affixe des nombres complexes 1 et i calculer leur modules et arguments.
➔ 1 a pour module 1 et argument 0
π
➔ i a pour module 1 et argument
2
➔ −1 a pour module 1 et argument π
➔ −i a pour module 1 et argument −
π
2
69
Exercices
Exercice 3.6 Trouver la forme trigonométrique de z =
IV 1.
√
3 + i.
Forme exponentielle d’un nombre complexe
Définitions
Définition 9: Exponentielle d’un nombre complexe
Soit z = a + ib, a, b ∈ R. On définit ez = ea+ib = ea (cos b + i sin b).
Définition 10:
Soit z = a + ib un nombre complexe non nul de module r = |z| et d’argument θ = arg(z).
Alors z = r eiθ . Cette écriture est appelée notation exponentielle de z.
z = a + ib = reiθ = r (cos θ + i sin θ)
Ex. guidé 11 :
Donner différentes écritures des nombres complexes suivants :
Forme algébrique
Forme trigonométrique
1−i
π
π i
√ h
2 cos −
+ i sin −
4
4
√
3+i
Forme exponentielle
h
π
π i
2 cos
+ i sin
6
6
3π
4
Ex. guidé 12 :
Trouver la forme algébrique de z = 4 ei
3π
3π
+ i sin
➔ z = 4 cos
4
4
√
√ !
2
2
➔ z=4 −
+i
2
2
√
√
➔ z = −2 2 + 2i 2.
Ex. guidé 13 :
Trouver la forme algébrique de z1 = e3+i 4 et z2 = −e1+i .
.
π
π
π
➔ z1 = e3 ei = e3 cos + i sin
4
4
1 i(π+1)
➔ z2 = e e
= e (cos(π + 1) + i sin(π + 1))
70
√
π
2 e−i 4
π
2 ei 6
Application physique
Soient le signal sinusoïdal f (t) = A sin(ωt + ϕ) et le nombre complexe z = Aei(ωt+ϕ) . Quelle est la
relation entre f et z ?
Grâce à la définition d’exponentielle complexe
z = Aei(ωt+ϕ) = A cos(ωt + ϕ) + iA sin(ωt + ϕ)
Par conséquent f (t) est l’ordonnée de l’affixe du point z.
La représentation du signal f (t) à travers le nombre complexe z est souvent utilisée en électricité.
A sin(ωt + ϕ)
M (z = Aei(ωt+ϕ) )
= A
−→
~M −
OM
O
y
−
→
j
0
2.
φ = arg(z)
→
−
i
x
A cos(ωt + ϕ)
Règles de calcul en notation exponentielle
Propriété 9:
Pour tous θ, θ 0 ∈ R, tous r, r 0 ∈ R+
∗ , tout n ∈ N :
0
0
➔ r eiθ × r0 eiθ = rr 0 ei(θ+θ ) .
n
➔ r eiθ = rn einθ .
➔
r eiθ
r i(θ−θ0 )
e
.
0 =
0
iθ
r e
r0
Remarque
?? Pour les calculs du type "somme" ou "différence" de deux nombres complexes, on utilisera la forme
??
?? algébrique.
? On préférera la forme exponentielle pour les calculs de produits ou de quotients.
Ex. guidé 14 :
√
π
π
Soient z1 = 2 ei 3 et z2 = 2 3 ei 6 . Alors
√
√
π
π
π
➔ z1 z 2 = 2 × 2 3 e i ( 3 + 6 ) = 4 3 e i 2
√ 4
π
2iπ
➔ z24 = 2 3 ei4 6 = 144 e 3
√
π
z2
2 3 i( π6 − π3 )
➔
=
e
= 2 e−i 6
z1
2
Exercices
π
Exercice 3.7 Combien vaut le module de z = 3ei 35 ?
Exercice 3.8 Soit z = 2 + i. Calculer le module de ez .
Exercice 3.9 Soit ω > 0. Calculer le module et l’argument de z =
71
e−2iω
.
1 + 0, 5iω
V-
Formules de Moivre et d’Euler
Théorème 1: Formules de Moivre
Pour tout θ ∈ R et tout n ∈ N [r (cos θ + i sin θ)]n = reiθ
n
Ou encore |z n | = |z| et arg(z n ) = n ∙ arg z
n
= rn einθ = rn (cos(nθ) + i sin(nθ)).
Remarque
??
?? Un peu d’histoire : Abraham de MOIVRE (1667-1754) est un mathématicien britannique d’origine
? française.
Ex. guidé 15 :
On peut retrouver les formules
cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ et sin(2θ) = 2 cos θ sin θ
à travers les formules de Moivre. En effet
2
➔ (cos θ + i sin θ) = cos(2θ) + i sin(2θ) d’après la formule de MOIVRE ;
2
➔ (cos θ + i sin θ) = cos2 θ + 2i cos θ sin θ − sin2 θ par développement.
Par identification on retrouve cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ et sin(2θ) = 2 cos θ sin θ.
Théorème 2: Formules d’Euler
Pour tout θ ∈ R :
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
et
sin θ =
eiθ − e−iθ
.
2i
Remarque
?? Un peu d’histoire : Leonhard EULER (1717 − 1783) était un mathématicien et physicien suisse.
Ex. guidé 16 :
2
Linéarisation
x:
ix de sin
−ix 2
e2ix − 2 eix e−ix + e−2ix
e
−2 + e2ix + e−2ix
−
e
=
=
=
sin2 x =
2i
−4
−4
2ix
−2ix
1
e +e
1−
2
2
1 − cos(2x)
.
Par conséquent sin2 x =
2
Exercices
Exercice 3.10 Linéariser cos3 θ en utilisant les formules d’Euler.
VI -
Equations du second degré
72
1.
Une première équation : recherche des racines carrées d’un complexe
Méthode pour calculer
√
a + ib
Il s’agit de chercher z ∈ C tel que z = a + ib. Soit z = x + iy.
2
On a z 2 = a + ib si et seulement si (x + iy) = a + ib si et seulement si x2 − y 2 + 2ixy = a + ib.
2 p
p
On a égalementz 2 = |a + ib| ⇐⇒
x 2 + y 2 = a2 + b2 .
2
p
 2
2
2
2

x + y = a + b
On cherche alors les deux solutions du système
x2 − y 2 = a


2xy = b
Remarque
??
??
??
??
??
??
??
??
??
p
 2
2
2
2

x + y = a + b
est la suivante :
Une astuce pour résoudre le système x2 − y 2 = a


2xy = b
p
2 + b2 + a ;
➥ la somme de la première et de la deuxième équation nous donne 2x2 = ap
2
➥ la différence de la première et de la deuxième équation nous donne 2y = a2 + b2 − a ;
➥ le produit xy a le même signe que b.
Propriété 10:
Les racines carrées d’un nombre complexe a + ib sont deux nombres complexes opposés.
Déterminer les racines de i.
Ex. guidé 17 :
On applique la
p méthode en encadré (a = 0; b = 1) :
 2
2
2
2

x + y = 0 + 1 = 1
x −y =a


2xy = b
2
2


1

1
 2


2
x = ±√


2
x =


+
y
=
1
x



2
2



2
2
1
1
⇐⇒ y = ± √
x − y = 0 ⇐⇒ y 2 =






2


2


2xy = 1


 2xy = 1 > 0
2xy = 1
En constatant les signes identiques de x et y (xy > 0) on a
1
1
1
1
z = √ + i √ et − √ − i √
2
2
2
2
Ex. guidé 18 :
Calculer les racines carrées de 3 + 4i.
73
p
 2
2
2
2

x + y = 3 + 4 = 5
2
2
qui
Les deux racines ±(x + iy) de 3 + 4i se calculent à travers le système
x −y =3


2xy = 4
 2
=
4
x


équivaut à
y2 = 1
xy = 2
La dernière équation implique que x et y ont le même signe. Par conséquent les deux racines de 3 + 4i
sont ±(2 + i).
Ex. guidé 19 :


Calculer les racines carrées de −16.
Dans ce cas particulier on peut ne pas utiliser la méthode précédente. En effet on voit tout de suite que
−16 = (4i)2 . Donc les racines de −16 sont 4i et −4i.
2.
Equations quelconques
Théorème 3:
Soit az 2 + bz + c = 0 une équation du second degré où a, b, c ∈ C avec a 6= 0.
Les solutions de cette équation sont
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
z1 =
z2 =
.
2a
2a
Attention
On utilisera la méthode décrite dans le paragraphe précédent pour calculer les racines du nombre complexe
Δ = b2 − 4ac.
Ex. guidé 20 :
Résoudre z 2 − 2z + 2 = 0.
Les solutions de z 2 − 2z + 2 = 0 sont
2 + 2i
= 1 + i,
➥ z1 =
2
2 − 2i
➥ z2 =
= 1 − i.
2
Remarque
?? Si a, b et c sont réels alors les solutions sont des complexes conjugués.
Ex. guidé 21 :
Résoudre iz 2 + (1 + 2i)z − 1 = 0.
74
√
−1 − 2i ± −3 + 8i
z=
.
2i
Les racines carrées de −3 + 8i sont données par ±(x + iy) où (x, y) est une solution du système

√
2
2


 x + y = 73
ce qui nous donne
√
s
−3 + 8i = ± 
√
x2 − y 2 = −3



2xy = 8
73 − 3
+i
2
s√

73 + 3 
2
Exercices
Exercice 3.11 Trouver les racines carrées de -36 , −15 − 8i et 4i − 3.
Exercice 3.12 Résoudre dans C :
1.) z 2 − 5z + 7 = 0
5.) iz 2 + (1 − 5i)z + 6i − 2 = 0
3.) z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0
7.) z 4 + 10z 2 + 169 = 0
2.) z 2 + (2i − 3)z + 5 − i = 0
6.) z 2 + (4i − 1)z − 3 = 0
4.) z − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0
8.) z 4 = 24i − 7
2
VII -
Racine n-ème d’un complexe
Définition 11:
Soit n un entier naturel non nul. On appelle racine n-ème du nombre complexe z, tout nombre r tel que
rn = z.
Si z = r eiθ alors ses racines n-èmes sont les n nombres complexes
√
n
Ex. guidé 22 :
r ∙ ei
θ+2kπ
n
avec k = 0, 1 . . . n − 1
√
√
Soit x3 = 8. Dans C cette équation possède 3 solutions : x = 2, x = −1 − i 3, x = −1 + i 3.
3
En effet, en posant z = r eiθ on a z 3 = 8 ⇐⇒ r eiθ = 8e2ikπ . On obtient en identifiant modules
et arguments :

√
(
 r= 38=2
r3 = 8
⇐⇒
pour k = 0, 1 ou 3
 θ = 2ikπ
3θ = 2ikπ
3
Remarque : dans R l’équation x3 = 8 admet une seule solution : x = 3.
Ex. guidé 23 :
Déterminer les racines quatrièmes de i.
75
4
π
z 4 = i ⇐⇒ r eiθ = ei( 2 +2kπ)
On
et arguments :
 obtient en identifiantmodules
√
4
 r4 = 1
 r= 1=1
pour k = 0, 1, 2 ou 3.
⇐⇒
π
 4θ = + 2kπ
 θ = π + kπ
2
8
2
Les racines quatrièmes complexes de i sont donc
π
z1 = e i 8 ;
VIII -
z2 = e i
5π
8
= i;
z3 = ei
9π
8
= −1;
z4 = ei
13π
8
= −i
Transformations dans le plan complexe
Translation
Soit M (x, y) le point d’affixe z = x + iy. Soit ~u le vecteur d’affixe u. Le point M 0 d’affixe z 0 = z + u est
l’image du point M par la translation de vecteur ~u.
M 0 (z 0 = z + u)
−−−→0
OM
~u(u)
y
→
−
j
M (z = x + iy)
→
−
i
0
x
Rotation
Soit M (x, y) le point d’affixe z. Soit θ0 un angle fixé. Le point M 0 d’affixe z 0 = eiθ0 ∙ z est l’image du
point M par la rotation de centre O et d’angle θ.
z0
y
z
θ
→
−
j
0
→
−
i
x
76
Similitude de centre O
Soit M (x, y) le point d’affixe z. Soient θ0 un angle fixé et k une constante positive. Le point M 0 d’affixe
z 0 = k eiθ ∙ z est l’image du point M par la similitude de centre O d’angle θ0 et de rapport k.
z0
y
θ
→
−
j
0
→
−
i
z
x
−−−→
En pratique on peut considérer que le vecteur OM 0 est "tourné" (rotation) puis agrandi ou rétréci d’un
rapport k (homothétie).
77
Annexe
A
TPMA11 :Découverte de Maxima
Sommaire
I - Introduction à Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II - Fonctions à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III - Programmation sous Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
81
82
Maxima
Maxima a est un logiciel libre de calcul qui permet d’effectuer des calculs littéraux (développer,
factoriser, résoudre des équations, calculer des intégrales, . . .).
Il peut aussi effectuer des calculs numériques.
En version de base, il faut entrer toutes les commandes en ligne, mais l’utilisation de Wxmaxima
implémente une interface graphique très pratique.
Il est téléchargeable à l’adresse http ://maxima.sourceforge.net/
a. http ://michel.gosse.free.fr/
Les principes de base
➔ Vous devez écrire toutes les opérations.
1
s’écrit 1/(2*sqrt(2)+3).
Par exemple, l’expression (2x + 3)(x + 1) s’écrira (2*x+3)*(x+3) et le calcul √
2 2+3
➔ Maxima peut évaluer le calcul algébrique x + x en répondant 2x.
Scilab , un autre logiciel, « numérique » pour sa part, retournera une erreur car au contraire de Maxima
ce n’est pas un logiciel de calcul « algébrique ».
Problèmes de précision
Dans un ordinateur les nombres ont une valeur absolue comprise entre environ 2, 2 ∙ ∙ ∙ × 10−308 et
1, 8 ∙ ∙ ∙ × 10+308 en raison de la norme de stockage IEEE-754 appliquée aux ordinateurs 32-bits.
2.220446049.10−16 détermine la plus petite précision relative que l’on puisse espérer dans le calcul, ce
qui donne donc environ 16 chiffres.
I-
Introduction à Maxima
78
1.
Quelques opérateurs et commandes
+
addition
float(valeur)
donne un arrondi de valeur
−
soustraction
a:2
met 2 dans la mémoire a
×
multiplication
kill(a)
libère la mémoire a
/
division
ratsimp(expr)
simplifie la valeur de expr
∧ ou ∗∗
puissance
is(expr)
test de véracité
0
empêche le calcul
Le symbole % représente le résultat du dernier calcul.
%i5 représente l’expression entrée à la 5 ecommande et %o5 le résultat de la cinquième commande.
2.
Les constantes et fonctions
Pour définir une fonction f , on utilisera la syntaxe f (x) :=.
%i
sqrt()
la racine carrée,
%e
nombre complexe tel que i2 = −1
nombre e (exponentielle)
log()
la fonction ln,
%pi
le nombre π
exp()
la fonction exponentielle
%c
une constante quelconque
cos(),sin() et tan()
les fonctions trigonométriques
3.
Premiers pas avec Maxima
Tous les ordres passés à l’ordinateur se font dans les zones précédées de (%i...) Ces zones sont des
zones d’entrée (input).
Dans la nouvelle interface WxMaxima on écrit la formule directement sur la feuille.
On peut faire appel aux menus pour éviter la lourdeur des écritures.
On appuie sur les touches CTRL Entrée pour transmettre l’ordre au logiciel.
Chaque ligne de commande doit se terminer par un point-virgule mais si on ne souhaite pas voir
le résultat s’afficher, on termine la ligne de commande par $ au lieu de ;
On peut rééditer la ligne de commande sur la feuille. CTRL R permet de relancer tous les calculs
de la page.
2
1er exemple : pour calculer 5 + ( )−2 on entre :
3
>> 5+(2/3)^(-2);
réalisation du compte-rendu :
La session peut être sauvegardée en fichier texte dont l’extension sera « .wxm ». Seules les commandes
sont alors enregistrées ainsi que les commentaires. Il est possible de mettre des titres et des commentaires.
4.
Maxima comme calculatrice
Le but de cette partie est de donner une idée rapide des différents types de commandes que vous
pouvez utiliser afin de dialoguer avec Maxima.
Il n’est pas question de faire une présentation exhaustive des différentes fonctions disponibles.
Il s’agit plutôt de permettre le plus rapidement possible l’écriture de calculs simples.
>> 100!;
On ne voit pas tous les chiffres. Pour les faire tous apparaître, on entre :
>> set_display(ascii) $ 100! ; set_display(xml)$
79
>> sqrt(4) ; sqrt(5);
Notez que la seconde racine est exprimée de manière symbolique : Maxima fait des calculs EXACTS
sauf si on lui demande le contraire, avec la commande float par exemple.
>> float(%);
% permet de rappeler la dernière expression calculée.
Pour affecter une valeur à une variable, Maxima utilise les deux points : et non pas le signe =
Le signe = est utilisé pour réprésenter des équations
>> a : 5^2;
On peut ensuite utiliser la variable a dans d’autres calculs
>> sqrt(a)+1/a;
Enfin, il n’est pas nécessaire d’avoir affecté une variable pour l’utiliser dans des expressions.
Par exemple
>> c:b^2 $ sqrt(c);
C’est cette possibilité de travailler symboliquement avec des noms de variables qui fait de Maxima
un logiciel de calcul formel.
Il faut savoir aussi que Maxima distingue les lettres minuscules des lettres MAJUSCULES.
Ainsi les variables a et A ne sont pas les mêmes comme le montrent
>> a +A;
>> Exp(0);exp(0);
Pour terminer, signalons les constantes %pi, %e (base du logarithme népérien), %i (complexe
dont le carré vaut -1), inf (plus l’infini) et minf (moins l’infini)
>> log(%e);float(%pi);
5.
Petits calculs algébriques
Développer, factoriser ou simplifier une expression
>> kill(a);y : (a+b)^4 ; expand(y);
>> factor(x^4-1);
Si on veut remplacer x par 3/z dans l’expression précedente, on utilise la fonction subst
>> subst(3/z,x,%);
La fonction ratsimp(f ) développe f en multipliant les produits de sommes et les sommes exponentielles, en combinant les fractions sur un dénominateur commun, en supprimant le plus grand
commun diviseur du numérateur et du dénominateur, puis en découpant le numérateur (si c’est
une somme) en ses termes respectifs divisés par le dénominateur.
La fonction ratsimp écrira tout sur le même dénominateur
>> ratsimp(%);
80
6.
Equations et systèmes d’équations
>> solve(1+z+z^2=0,z);
On réinitialise la variable y avec la fonction kill.
Puis on définit le système avec paramètre et on le résout :
>> kill(y) $ syst : [m*x+y=1 , x-m^2*y=m];
>> solve(syst,[x,y]);
Résolution approchée d’une équation en utilisant la commande :
find_root(équation,inconnue,borne_inf,borne_sup) ;
>> find_root(cos(x)=x,x,0,%pi);
II 1.
Fonctions à une variable
Définir une fonction
Il y a plusieurs manières de définir une fonction
>> f(x):=sin(x)-x;
>> define(h(x),sqrt(1+x^2)-2*x);
2.
Fonctions définies par morceaux
>> U(t):=unit_step (t);
>> f(x):=sin(x)*U(x+1)+cos(x)*U(x+5);
3.
Représentation graphique
On utilise la fonction plot2d pour obtenir la courbe représentative d’une fonction f avec la commande
plot2d(f(x), [x,x_min,x_max], [y,y_min,y_max]) ;
en ajoutant l’option [plot_format, gnuplot] ou [plot_format, openmath] la sortie graphique
se fera au travers des logiciels gnuplot ou openmath.
La commande wxplot2d donnera un graphique intégré au document.
>> wxplot2d(f(x), [x,-2,4], [y,-1,2]);
>> wxplot2d(U(x), [x,-2,4], [y,-1,2]);
Si on veut faire apparaître les axes du repère (et/ou un quadrillage) on précise un 4ème argument
optionnel :
>> wxplot2d(h(x), [x,-2,4], [y,-5,1], [gnuplot_preamble, "set grid ;
set zeroaxis"])$
Il est possible de faire tracer plusieurs courbes sur le même graphique :
>> wxplot2d( [g(x),x,x-x^3/6] , [x,-%pi,%pi] , [y,-1.5,1.5] ,
[gnuplot_preamble, "set zeroaxis"]);
81
On pourra pour s’entraîner tracer sur un même graphe et des couleurs différentes les courbes de
x
1
sin x, sin , 3 cos x, cos x sin x + 4, sin(x + 4), sin x − 5, sin(x − 5)
2
3
>> wxplot2d( [sin(2*x),sin(x/2)] , [x,-12,12] , [y,-2,8] ,[style ,
[lines,2,2] , [lines,1,1]] , [gnuplot_preamble , "set grid"] )$
4.
Quelques options des graphiques
La fonction plot2d constitue la façon la plus simple de tracer une ou plusieurs courbes. Pour
représenter graphiquement deux fonctions f et g dans le même repère, on utilise la syntaxe suivante :
plot2d ( [f(x),g(x)] , [x,x_min,x_max] , [y,y_min,y_max] , [legend,
"y=f(x)", "y=g(x)"] , [style, [lines,<largeur de ligne>,<couleur pour f>] ,
[lines,<largeur>,<couleur pour g>], [gnuplot_preamble , "set zeroaxis"] )$
Le second paramètre de lines est un entier qui donne la couleur de la courbe : 1 (bleu), 2 (rouge),
3 (magenta), 4 (turquoise), 5 (marron), 6 (vert clair) et 7 (bleu foncé)
Dans gnuplot_preamble, on peut faire apparaître les axes du repère avec "set zeroaxis" ou la
grille avec "set grid"
>> wxplot2d( [x^2,1/x,0] , [x,-2,3] , [y,-2,8] , [legend, "carré" , "inverse", "asymptote"] ,
[style ,[lines,2,2] , [lines,1,1], [lines,1]] , [gnuplot_preamble , "set grid"]
,[xlabel , "axe des abscisses"] , [ylabel , "axe des ordonnées"])$
Pour tracer un cercle défini par une représentation paramétrée, on entre la commande :
>> wxplot2d ( [parametric , cos(t) , sin(t)
, [nticks,100])$
, [t , 0 ,2*%pi]] , [x,-3,3] , [y,-2,2]
L’option nticks donne le nombre de points à placer sur la courbe paramétrée. Par défaut nticks
vaut 10 (ce qui était insuffisant ici).
Il est enfin possible de représenter des points à partir de la liste de leurs coordonnées. On peut les
joindre par des segments.
>> n:5 $ liste:makelist ( [cos(2*k*%pi/n) , sin(2*k*%pi/n)] , k , 0 , n) $
>> wxplot2d( [discrete, liste] , [x,-2,2] , [y,-4/3,4/3] , [style ,
[linespoints , 1 , 5 , 5 , 9]] , [gnuplot_preamble , "set zeroaxis"])$
Le style linespoints accepte 4 paramètres : l’épaisseur de ligne (par défaut 1), le rayon des points
(par défaut 1), la couleur et le type de point (1 : cercles pleins, 2 : cercles creux, 3 : signes plus +,
6 : carrés pleins, 7 : carrés creux)
III 1.
Programmation sous Maxima
Fonctions et procédures
En réalité il n’y a pas lieu de distinguer fonctions et procédures. Plus précisemment une fonction
est un cas particulier de procédure.
Il s’agit dans tous les cas d’un petit programme prenant des paramètres en entrée et qui effectue
ensuite un certains nombre d’instructions.
Une procédure peut contenir des variables locales, servant aux calculs internes à la procédure ; ces
valeurs ne servent qu’à l’intérieur de celle-ci. Une procédure renvoie toujours un résultat : celui-ci
correspondant par défaut à la dernière instruction ou bien à l’argument de la commande return.
82
Maxima
La syntaxe pour définir une procédure est la suivante :
nom(<paramètres d’entrée>) := block( [<variables locales>],
<instruction1> ,
<instruction2>,)$
>> a:0 $ b:1 $
>> essai(n):=block([a,k],a:2, k:3, a+b+k-n)$
>> essai(10);’a=a;’k=k;
2.
Structure conditionnelle
La condition peut être définie à l’aide des trois opérateurs de base (<,=,>). Il existe trois types
d’opérateurs :
➥ les opérateurs relationnels < , <= , >= , > et # (non égal)
➥ les opérateurs de logique and , or , not
➥ les fonctions booléennes qui renvoient TRUE ou FALSE
Maxima
La syntaxe est : if (condition1) then (<instruction1>,<instruction2>,...) elseif (condition2) then (<instruction3,<instruction4>) else (<instruction5>,...) ;
Le programme suivant permet de tester si un nombre n est un entier parfait (un entier naturel est dit
parfait s’il est égal à la somme des ses diviseurs positifs autres que lui-même)
>> parfait(n):=block(
if n#floor(n) or n<0
then print(n,"n’est pas un entier naturel")
elseif n=divsum(n)-n then print(n,"est un entier parfait")
else print(n,"n’est pas parfait"))$
>> parfait(100) $ parfait(496)$
Pour définir une fonction à partir de conditions sur différents intervalles, on utilise le test if..
then.. elseif.. else
>> d(x):=if x<0 then 0 elseif x<=1 then x^3 else 1;
3.
La boucle Pour (boucle de parcours) : FOR
Maxima
Pour répéter une série d’instructions, on peut utiliser une boucle FOR à condition de connaître à
l’avance le nombre d’itérations à effectuer. La syntaxe est
for <indice> from <valeur_initiale> step <incrémentation> thru <valeur_finale> do
(<instruction1>,<instruction2>,...)
Exécute une boucle pour une variable <indice> allant d’une <valeur_initiale> à une <valeur_finale>
avec un pas égal à <incrémentation>.
>> for k:1 thru 10 step 2 do(print(7*k));
>> S(n):=block(s:0,for k:1 thru n
>> S(64);
do(s:s+2^k), return(s));
83
4.
La boucle TantQue : WHILE
Maxima
Contrairement à la boucle de parcours où le nombre d’itérations est connu, la boucle TantQue répète
une suite d’instructions tant qu’une certaine condition est réalisée sans connaître à l’avance le nombre
d’itérations à effectuer. Attention aux boucles infinies !
La syntaxe est : while (condition) do (<instruction1>,<instruction2>,...)
>> k:1;while k<10 do(print(7*k),k:k+1);
Exercices pour s’entrainer
Exercice A.1 Etudier sa parité de sin x, x2 − 1 et cos x + x2 .
Exercice A.2 Soient f (x) = x2 + 1 et g(x) =
1
. Calculer f (g(x)).
x−1
Exercice A.3 Evaluer :
√
√ 4
a.
2+ 3
4
b. 21/2 2−1/3
Exercice A.4 Montrer que la fonction f (x) =
x4
1
est bornée pour tout x ∈ R.
+1
Exercice A.5 Développer les expressions suivantes :
a. (x + 1)5
b. (x2 − x + 1)(x2 + x + 1)
Exercice A.6 Factoriser les expressions suivantes dans R :
a. x3 − 1
b. 2x2 + 3x + 1
Exercice A.7 Représenter le graphe de la fonction f (x) = 2xχ[−1,1] − x2 χ[−2,4] .
On utilisera la fonction unit_step.
Exercice A.8
1+i
.
1−i
2. Déterminer ses parties réelles et imaginaires.
1. Définir la variable z =
3. Déterminer ses modules et arguments
4. Développer z 2 .
Exercice A.9
1. Définir la fonction f par f (x) = x3 − 4x2 + x + 1.
√
3
2. Calculer f (−2) ; f ( ) ; f ( 5).
7
3. Tracer la fonction f sur [−3; 3].
4. Résoudre f (x) = 0.
84
Annexe
B
Exercices de révision
Exercice B.1 Calculer les valeurs :
1.) cos(25π/3)
2.) sin(19π/4)
3.) cos(37π/2).
Exercice B.2 Résoudre l’équation cos(3x) = sin x.
Exercice B.3 Montrer que cos4 x =
1
1
3
cos(4x) + cos(2x) + .
8
2
8
Exercice B.4 Calculer les solutions de z 3 + (3 + i)z 2 − iz = 0.
Exercice B.5 Calculer les racines troisièmes de −27i.
Exercice B.6 Calculer les racines quatrièmes de i.
Exercice B.7 Tracer le graphe de f (x) = 3 sin x + 2 à partir de celui de f1 (x) = sin x.
85
Annexe
C
Principales commandes de Maxima
I1.
Généralités
a:3 donne la valeur 3 à la variable a.
• assume(x>a) pour fixer une condition sur la
variable a. forget(x>a) pour la retirer
• ev(E) pour évaluer l’expression E.
• « := » pour définir une fonction.
Par exemple : f(x):=xˆ 3+1; définit la fonction
f (x) = x3 + 1. On peut ensuite calculer f (2)
• « = » indique une équation dans Maxima.
• « ! » factoriel d’un entier naturel,
par exemple 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
• « . » multiplication de deux matrices.
• subst(y,x,expr remplace x par y dans expr
Le logiciel
Maxima est un logiciel de calcul formel libre et
gratuit.
Pour le télécharger, il faut aller sur le site
http ://maxima.sourceforge.net/ .
Pour le lancer, il faut lancer le fichier wxMaxima.
2.
Feuille de calcul
• Les commandes peuvent être écrites ou passées par
menus
• « ; » terminaison d’une commande pour afficher le
résultat. Par exemple 1+2/3;
• « $ » terminaison d’une commande sans afficher le
résultat. Par exemple a:2 $
• « % » rappelle le dernier calcul effectué
• kill(all) réinitialise le système
• print("texte",a) imprime ici un texte et le
contenu de a
• «’» placé devant une commande, permet l’affichage
de celle-ci sans calcul
3.
5.
• %pi désigne π ≈ 3, 14159
• %e désigne e = exp(1) ≈ 2, 7183
• %i est l’imaginaire pur de module 1, d’argument
π/2
• true
valeur "vrai"
• false valeur "faux"
• inf désigne +∞
• minf désigne −∞
• %phi √désigne le nombre d’or
1+ 5
φ=
≈ 1, 61803399...
2
expressions littérales
Soit E une expression dépendant de X. Par exemple
l’équation cos(X) = sin(X) • subst(a,X,E) remplace
X par a dans E
• is(A=B) renvoit "True" si A = B sinon "False".
• kill(all) réinitialise le système
• Eq:xˆ 2+3*x+2=2*x+1) définit une équation
nommée Eq
• Eq+5 ajoute 5 membre à membre
4.
Constantes
II -
Nombres entiers
Soit a et b deux entiers. Soit n et p deux entiers
naturels.
• divide(a,b) division euclidienne de a par b.
Le résultat est une liste dont le premier élément est le
quotient et le second élément le reste
• divisors(a) ensemble des diviseurs positifs de a
• mod(a,b) reste de la division de a par b
• gcd(a,b) pgcd de a et b
• load(functs) $ lcm(a,b) ppcm de a et b
• primep(p) teste si p est premier
• factor(n) décompose n en produit de facteurs
premiers
!
Opérateurs
• les quatre opérations usuelles + , - , * , /
• « ˆ » élévation à une puissance. xˆ 3 est x3
• « # » non égal à (ou différent de)
forget pour la retirer • comparaison = , < , <= ,
> , >=
• affectation « : »
• binomial(n,p) est le cefficient binomial
86
n
p
ANNEXE C. PRINCIPALES COMMANDES DE MAXIMA
Mémento GEii
• random(n) renvoie un entier naturel, choisi au
hasard entre 0 et n − 1 lorsque n ∈ N∗
III 1.
•
•
•
•
•
•
trigonométrique a en utilisant les formules d’addition
de cos et sin.
Par exemple, trigexpand(cos(x+y))
renvoie cos x cos y − sin x sin y
• trigreduce(a) ou trigrat(a) permettent de
linéariser un polynôme trigonométrique a.
Par exemple, trigreduce(sin(x)ˆ 3) renvoie
3 sin x − sin(3x)
4
• trigsimp(a) simplifie l’expression trigonométrique
a en utilisant la relation cos2 t + sin2 t = 1 et en
sin t
remplaçant tan t par
cos t
• demoivre(z) transforme z en expression
trigonométrique avec les formules d’Euler
• exponentialize(T) transforme T en expression
complexe avec les formules d’Euler
• load(ntrig) charge le paquetage permettant le
calcul de valeurs exactes non usuelles (cos(π/5)...)
Nombres réels
fonctions usuelles
abs(x) valeur absolue de x
floor(x) ou entier(x) partie entière de x
truncate(x) enlève la partie décimale de x
sqrt(x) racine carrée de x
sin(x) , cos(x) , tan(x) ,acos(x)...
exp(x) , log(x) ( logarithme népérien)
2.
valeurs approchées
• float(x) fournit une valeur décimale approchée de
x
• bfloat(x) donne une valeur approchée de x en
notation scientifique
• fpprec:20 fixe la précision donnée par bfloat
(ici 20 chiffres affichés au lieu de 16 par défaut)
IV -
VII -
• u:[a,b,c])
coordonnées
• u+v renvoit
• u.v renvoit
• express(uṽ
Nombres complexes
Soit z un nombre complexe.
• %i
désigne le complexe i
• realpart(z)
partie réelle de z
• imagpart(z)
partie imaginaire de z
• conjugate(z) conjugué de z
• abs(z) ou cabs(z)
module de z
• carg(z)
argument de z (dans ] − π, π])
• rectform(z)
écrit z sous forme algébrique
• polarform(z)
écrit z sous forme exponentielle
V1.
VIII -
Equations
résolution d’équations
systèmes linéaires
Pour résoudre le système
(
• S1:[3*x+2*y=1,x-y=2]
• solve(S1,[x,y])
VI -
−
définit le vecteur →
u par ses
le vecteur somme
−
−
le produit scalaire →
u ∙→
v
−
−
renvoit le produit vectoriel →
u ∧→
v
Polynômes Fractions
Soit P et Q deux polynômes.
• expand(P) développe P
• factor(P) factorise P
• gfactor(P) factorise P dans l’ensemble C
• rat(P,x) ordonne P suivant les puissances
décroissantes
• ratcoeff(P,xˆ n) donne le coefficient de xn
dans P
• divide(P,Q,x) calcule le quotient et le reste de
la divison de P par Q. Le résultat est une liste dont le
premier élément est le quotient et le second élément le
reste
• partfrac(P/Q,x) décompose la fonction
rationnelle P/Q (de la variable x) en éléments simples
• ratsimp(expr) simplifie l’expression expr
(en écrivant tout sur le même dénominateur)
• subst(1/z,x,expr) remplace x par 1/z dans
l’expression expr
Résolution exacte dans l’ensemble C des complexes :
• solve(xˆ 2+x=1,x)
Résolution approchée dans R :
• find_root(xˆ 5=1+x,x,1,2) solution dans [1, 2]
2.
Calcul vectoriel
3x + 2y = 1
x−y =2
IX -
trigonométrie
• fonctions de base : sin(x) , cos(x) , tan(x)
• acos(0.2) donne la mesure en radian de l’angle
dont le cosinus vaut 0,2
• trigexpand(a) développe l’expression
1.
Fonctions
numériques
définir une fonction
• f(x):=xˆ 2+2*x-3
• define(f(x),xˆ 2+2*x-3)
87
ANNEXE C. PRINCIPALES COMMANDES DE MAXIMA
Mémento GEii
XII -
• f:lambda([x],xˆ 2+2*x-3)
• f(x):=if x<0 then 0 else if x<1 then 1 else
x; définit
 la fonction par morceaux

 0 si x < 0
f (x) = 1 si 0 6 x < 1


x sinon
• unit_step(x) fonction échelon unité
• delta(x fonction Dirac
2.
Pour résoudre l’équation différentielle
y 00 + w2 y = sin x, on définit d’abord l’équation :
• eqn:’diff(y,x,2)+wˆ 2*y=sin(x)
On la résout :
• sol:ode2(eqn,y,x)
Pour trouver la solution satisfaisant aux conditions
initiales y(0) = 1 et y 0 (0) = −1, on entre :
• ic2(sol,x=0,y=1,diff(y,x)=-1)
Pour trouver la solution satisfaisant aux conditions
y(0) = 1 et y(1) = 0, on entre :
• bc2(sol,x=0,y=1,x=1,y=0)
• rhs(sol) saisit le membre de droite de l’égalité
sol obtenue ci-dessus.
limites, tangentes et asymptotes
• limit(sin(x)/x,x,0) limite en 0
• limit(1/x,x,0,plus) limite à droite en 0
• limit(1/x,x,0,minus) limite à gauche en 0
• limit(x*exp(x),x,minf) limite en −∞
• taylor(f(x),x,a,1) l’équation de la tangente •
taylor(sqrt(1+xˆ 2),x,inf,2) asymptote en +∞
3.
XIII -
dérivation
1.
• diff(f(x),x) calcule la dérivée f 0 (x)
• diff(f(x),x,2) calcule f 00 (x), dérivée seconde
4.
courbes représentatives
Développements
limités
• taylor(f(x),x,a,n) donne le DLn (a)
Par exemple : taylor(sin(x),x,0,10);
XI -
intégrales
• integrate(f(x),x) calcule une primitive de la
fonction f
• integrate(f(x),x,a,b) calcule l’intégrale
Z b
f (x) dx
a
• changevar(e,f(x,u),u,x) changement de
variable dans l’integrale e
exemple : changevar(’integrate(log(x)/x,x),
Z
u=log(x),u,x) donne
Suites- Séries
Listes
Une liste est un type de données, qui tient compte de
l’ordre, accepte les répétitions d’éléments et est
délimité par les caractères [ et ]. Voici quelques
fonctions importantes concernant les listes :
• L:makelist(kˆ 2,k,0,9) permet de créer la liste
des carrés des 10 premiers naturels, k prenant toutes
les valeurs entières de 0 jusqu’à 9.
• L[2]:5 remplace le 2ème élément de la liste L par
5.
• length(L) donne le nombre d’éléments de la liste
L.
• first(L) ; second(L) ; last(L) renvoient
respectivement le premier, le second, le dernier
élément de L.
• member(x,L) vaut true si x appartient à la liste L
(false sinon).
• append([a,1,3],[2,7]) regroupe les deux listes
en une seule liste [a, 1, 3, 2, 7].
• join(l,m) crée une nouvelle liste constituée des
éléments des listes l et m, intercalés. La liste obtenue
est [l[1], m[1], l[2], m[2], l[3], m[3], . . .].
• sort(L) permet de ranger les éléments de la liste L
par ordre croissant.
• map(f,L) permet d’appliquer la fonction f à tous
les éléments de la liste L.
Pour afficher les courbes Cf et Cg sur le même
graphique, dans la fenêtre [x1 , x2 ] × [y1 , y2 ], on entre :
• plot2d([f(x),g(x)],[x,x1,x2],[y,y1,y2])
X-
équations
différentielles
2.
suites récurrentes
• load(solve_ rec charge le paquetage des suites
récurrentes
• solve_ rec(u(n)=n*u(n-1)/(1+n),u(n),u(1)=2)
renvoie un en fonction de n
udu
• load(bypart) pour charger le paquetage de calcul
d’intégration par parties.
• byparts(intégrande,variable,u,dv) intégre
l’expression "intégrande" en utilsant dv comme partie
à intégrer.
• byparts(x*exp(x),x,x,exp(x)) renvoit x.ex − ex
• specint(f(x),x)intégration avec fonctions
spéciales
3.
somme finie
• sum(1/kˆ 2,k,1,10) calcule la somme des inverses
des carrés des entiers compris entre 1 et 10.
88
Mémento GEii
4.
ANNEXE C. PRINCIPALES COMMANDES DE MAXIMA
produit fini
• determinant(A) donne le déterminant de la
matrice A
• invert(A) inverse A−1 de la matrice A
• f[i,j]:=2*iˆ 2+3*j;A:genmatrix(f,4,5);
crée une matrice A de taille [4; 5] avec une formule.
• entermatrix(n,m) demande la saisie manuelle de
la matrice de taille [n; m]
• coefmatrix(syst,var crée une matrice des
coefficients du système sys selon les variables var
• augcoefmatrix(syst,var idem en ajoutant le
second membre
• addcol(M,cols) juxtapose les colonnes cols à la
matrice M
• addrow(M,rows) idem pour des lignes ( voir join)
• submatrix(i1,i2,...,M,j1,j2,... extrait une
matrice en enlevant les lignes i et colonnes j citées.
• product(sqrt(k),k,1,10) calcule le produit des
racines carrées des entiers compris entre 1 et 10.
5.
somme infinie
On peut montrer que la suite (un )n∈N∗ de terme
n
X
1
général un =
est convergente. Sa limite est
k2
k=1
+∞
X
1
. On peut demander sa valeur exacte
notée
k2
k=0
comme suit :
• load(simplify_sum) $ sum(1/kˆ 2,k,1,inf) $
simplify_sum(%)
XIV -
Transformées de
Laplace
XVI 1.
• laplace(f(t),t,p) transforme la fonction f (t)
• ilt(F(p),p,t) donne la transformée inverse
• delta(x) fonction de Dirac
• specint(f(x),x)intégration avec fonctions
spéciales
XV -
Programmation
syntaxe d’une procédure
nom(paramètres en entrée) := block( [variables
locales],
<instruction 1>, <instruction 2>, . . .
/* ——-Commentaire—— */
Exemple de procédure qui additionne deux nombres :
• somme(a,b):=block([c], c:a+b, return(c))
Matrices
2.
Soit B une matrice de taille
 3 × 3.

1 2 3



On définit la matrice A = 
4 5 6 
7 8 −9
ligne par ligne de la façon suivante :
• A:matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9])
• A+B somme des matrices A et B
• 3*A produit de la matrice A par le réel 3
• A.B produit des matrices A et B
• A ˆ ˆ 3 matrice A élevée à la puissance 3
• transpose(A) transpose la matrice A
structure conditionnelle
• if (condition)
then (<instruction1> , <instruction2>)
else (<instruction3> , <instruction4>)
3.
structures itératives
Boucle For et affichage de la table de
• for k from 1 thru 10 do
( print("7 fois",k,"égale",7*k)
Boucle While et affichage de la table
• k:1 $ while k<11 do
( print("7 fois",k,"égale",7*k)
89
7:
)
de 7 :
, k:k+1 )
Annexe
D
Corrigés des exercices
I-
Révision des bases
Correction exercice 1.1 Résultat :
5x2 − 13x + 7
(x + 3)(2x − 7)
3
∪x 6 1
2
Correction exercice 1.2
π
2. Résultat : 4 6 x
2
1. Résultat : x >
Correction exercice 1.3
1. Résultat : x = π − 4
2. Résultat : il y a deux solutions : x = −2 ou x =
5
3
Correction exercice 1.4 Si on multiplie à droite et à gauche par 1 + c(x)t(x) on a
f (x)
f (x) + f (x)c(x)t(x) = c(x)t(x) ce qui nous donne c(x) =
. Par conséquent
t(x)(1 − f (x))
0,6
1. c(x) =
2. c(x) =
0, 6
0, 6
x−0,4
=
=
0,6
0,6
x − 0, 4 − 0, 6
x−1
x−0,4 1 − x−0,4
0,865
x−0,135
0,633
x−0,367
1−
0,865
x−0,135
=
0, 865 x − 0, 367 x − 0, 135
x − 0, 367 0, 865
=
x − 0, 135 0, 633
x−1
x − 1 0, 633
S1 0, 0 ~
O
~ı
S2 2, 0
Correction exercice 1.5
Correction exercice 1.6 Non. Il suffit de considérer le pole nord et le pole sud, deux points avec la même
abscisse.
90
ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
Mémento GEii
Correction exercice 1.7 f n’est ni paire ni impaire. Il suffit de considérer f (1) et f (−1), qui valent
respectivement 0 et 2.
√
Correction exercice 1.8 Soient f1 (x) = x − 2, f2 (x) = x2 , f3 (x) = x + 1, f4 (x) = x. Alors
f (x) = f4 (f3 (f2 (f1 (x)))).
Correction exercice 1.10 Surement f (x) > 0. D’autre part, on doit chercher une constante M telle que
1
6 M . Cela est vérifié si et seulement si M (x2 + 1) > 1. Alors il suffit de choisir M = 1 !
x2 + 1
1
1
Correction exercice 1.11 Soit x1 < x2 . Alors f (x1 ) 6 f (x2 ) et donc
>
, c’est-à-dire que
f (x1 )
f (x2 )
g(x1 ) > g(x2 ). Par conséquent g est décroissant.
Correction exercice 1.15 X 2 − 3X + 2√= 0 si et seulement si X1 = 1 ou X2 = 2. Cela implique que x2 = 1
ou x2 = 2 ce qui donne x = ±1 ou x = ± 2.
x−1
x−2
(x − 1)(x − 4) (x − 3)(x − 2)
6
⇔
−
60⇔
x−3
x−4
(x − 3)(x − 4) (x − 3)(x − 4)
2
2
−2
x − 5x + 4 − x + 5x − 6
60⇔
6 0. Il faut donc que (x − 3)(x − 4) > 0, soit après
(x − 3)(x − 4)
(x − 3)(x − 4)
avoir fait le tableau de signes : x ∈] − ∞ ; 3[∪]4 ; +∞[.
(
(
(
1
(x − 4)(x + 4) 6 0
−4 6 x 6 4
x2 − 16 6 0
⇔
⇔
⇔x∈
; 4 .
2.
2
3x + 2 > x + 3
2x > 1
x > 1/2
Correction exercice 1.16
1.
Correction exercice 1.18
3 √
2. 21/2 2−1/3 = 2
√ 2 √ 3
3
4 ∙
44 = 16
3.
√
√
8+5 2
3+ 2
√ =
4.
2
2− 2
1.
√
2−
√ 3
√
√
3 = 11 2 − 9 3
Correction
exercice 1.20 On factorise par (x − 1) :
(x − 1) (2x + 1) − x2 − 4x > 0 si et seulement (x − 1) −x2 + 6x + 1 > 0
Correction exercice 1.22 Outre les fautes d’orthographe (« je conclus..., je passe tout...,le tableau ... » il
reste les erreurs suivantes :
1. Erreur 1 :
5x
10x
1
−
6 0 , soit
L’ensemble de définition est R − 1 ; − . Je passe tout à gauche :
2
1 − x 2x + 1
Erreur 2 :
− 5x + 20x2
10x2 + 5x − 10x + 10x2
6 0, l’expression dont on cherche le signe est alors
6 0.
(1 − x)(2x + 1)
(1 − x)(2x + 1)
On trouve trois erreurs dans le tableau :
➔ la valeur qui annule −5x est 0 et non 5
➔ 1−x est positif si x < 1 et négatif si x > 1
➔ il faut deux barres sous le 1.
x
−∞
1
−1/2
1−x
+
2x + 1
−
−5x
+
quotient
−
+
0
0
0
+∞
0
−
−
+
+
+
+
+
+
La conclusion est fausse : x ∈ [−1/2 ; 1[∪]5 ; +∞[.
91
0
−
0
−
+
ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
Mémento GEii
2. l’inéquation
5x
10x
−5x + 20x2
5x(4x − 1)
6
donne donc
60⇔
6 0.
1−x
2x + 1
(1 − x)(2x + 1)
(1 − x)(2x + 1)
Correction exercice 1.25
1.) Df = R
4.) Df = R
7
2.) 3x − 7 >⇐⇒ Df = [ ; +∞[
3
5.) x2 − 3x + 2 > 0 si et seulement si
(x − 1)(x − 2) 6 0 ⇐⇒ Df =] − ∞; 1] ∪ [2, +∞[
x
6.) 2
> 0; x − 1 6= 0 ⇐⇒ Df =] − 1; 0]
x −1
3.) 0 6= x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ⇐⇒ Df = R \ {−1}
Correction exercice 1.26
1. e2 ln(x) = 9 ⇐⇒ 2 ln x = ln 9 ⇐⇒ ln x =
√
1
ln 9 = ln 9
2
d’où x = 3
2. L’équation est bien définie si y > −2. On a
ln(y + 6) − ln(y + 2) + ln(y + 3) = 0 ⇐⇒ ln(y + 6) + ln(y + 3) = ln(y + 2)
⇐⇒ ln ((y + 6)(y + 3)) = ln(y + 2)
L’égalité équivaut alors à y 2 + 8y + 16 = (y + 4)2 = 0
La seule solution y = −4 n’est pas acceptable. .
Correction exercice 1.27
1. X 2 − X − 2 = 0 Solutions : X − 1 = −1 et X2 = 2
2. ln2 x − ln x − 2 = 0
cas 1 : ln x = X1 = −1 ⇐⇒ x = e−1
cas 2 : ln x = X1 = 2 ⇐⇒ x = e2
3. e2x − ex − 2 = 0
cas 1 : ex = X1 = −1 ne présente pas de solution.
cas 2 : ex = X1 = 2 ⇐⇒ x = ln 2
Correction exercice 1.28
1. X 2 − X − 2 < 0 ⇐⇒ −1 < X < 2
2. ln2 x − ln x − 2 < 0 ⇐⇒ −1 < ln x < 2
d’où e−1 < x < e2
3. e2x − ex − 2 < 0 ⇐⇒ −1 < ex < 2
d’où −∞ < x < ln 2
1 + ln x
> 0 ⇔ ln x > −1 et x > 0 donc x > e−1
x
b. ln x − 3(ln x)2 > 0 ⇔ −3X 2 + X > 0 avec X = ln x
Correction exercice 1.30 a.
X = ln(x)
−∞
0
x
0
1/3
+∞
1
1/3
+∞
e
−3X + X
−
+
0
−
i
h
1/3
D’où x ∈ 1; e
!
2+x
2+x
2+x
>0⇔
> 1 avec
> 0 (redondant)
c. ln
2−x
2−x
2−x
2+x
2x
∙∙∙ ⇔
−1>0⇔
> 0 ⇔ x ∈]0; 2[
2−x
2−x
2
x
2x
2−x
2x
2−x
−∞
0
−
0
+
0
+
2
+∞
+
+
-
-
−
+
Correction exercice 1.31
92
ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
Mémento GEii
1.) x − 1 >⇐⇒ Df =]1; +∞[
p
2.)
x2 + 1 − x > 0 ⇐⇒ Df = R
4.) Df = R
5.) ex − 1 6= 0 ⇐⇒ Df = R − {0}
3.) x − 1 6= 0 ⇐⇒ Df = R − {1}
6.) 1 − x > 0 ⇐⇒ Df =] − ∞; 1[
Correction exercice 1.34
f (x) = −2χ[−3,0[ + χ[0,1] = −2(χ[−3,+∞[ − χ[0,+∞[ ) + χ[0,+∞[ − χ]1,+∞[ = −2χ[−3,+∞[ + 3χ[0,+∞[ − χ]1,+∞[
Correction exercice 1.37
93
ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
Mémento GEii
II -
Trigonométrie
Correction exercice 2.4
1.) cos(5π) = cos(π) = −1
2.) sin(5π) = sin(π) = 0
π π
65π
= cos 32π +
= cos
=0
3.) cos
2
2
2
π
65π
4.) sin
= sin
=1
2
2
2π
2π
2π
77π
= cos 24π + π +
= cos π +
= − cos
5.) cos
3
3
3
3
π 1
π
=
ou encore cos(26π − ) = cos −
3
3
2
√
π
77π
3
6.) sin
= sin −
=−
3
3
2
√
π
145π
2
= cos
=
7.) cos
4
4
2
π
145π
= sin
=1
8.) sin
2
2
π √
145π
π
9.) tan
= tan 48π +
= tan
= 3
3
3
3
Correction exercice 2.5
π
π
1.) cos ϕ = 1/2 ⇐⇒ cos ϕ = cos
⇐⇒ ϕ = ± + 2kπ, k ∈ Z
3
3
π
√
π
π
⇐⇒ x = + 2kπ ou x = π − + 2kπ, k ∈ Z
2.) sin x = 1/ 2 ⇐⇒ sin x = sin
4
4
4
3.) sin2 t + 3 sin t + 2 = 0 ⇐⇒ X 2 + 3X + 2 = 0 avec sin(t) = X. Les racines sont X = −2 et X = −1 d’où
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
(a) sin t = −2 : impossible
π
π
(b) sin t = −1 ⇐⇒ t = − + 2kπ, t = 3 + 2kπ, k ∈ Z
2
2
2
tan α + 2 tan α − 1 = 0
√
On pose tan α = X et on résout X 2 + 2X − 1 = 0. On trouve X = −1 ± 2.
√
√
π π
(a) tan α = −1 − 2 : soit α l’angle dans ] − ; [ dont la tangente vaut −1 − 2. Alors α = α + kπ avec
2 2
k∈Z
√
π π
(b) tan α = −1 + 2 ⇐⇒ α = α0 + kπ avec k ∈ Z, si α0 est l’angle dans ] − ; [ dont la tangente vaut
2 2
√
−1 + 2
π
π 2π
π
5π
sin(2x + ) = sin( −
) ⇐⇒ x = − + kπ ou x =
+ kπ
3
2
3
4
12
π
π
cos(2x + π/3) = − sin(5x − π/6) ⇐⇒ cos(2x + π/3) = cos( + 5x − )
2
6
π
π
(a) 2x + π/3 = + 5x − + 2kπ ⇐⇒ x = 2kπ avec k ∈ Z
2
6
π
π
2kπ
π
(b) 2x + π/3 = − − 5x + + 2kπ ⇐⇒ x = −2 +
2
6
21
7
3 sin x = 2 cos2 x ⇐⇒ 2X 2 + 3X − 2 = 0 avec X = sin x et en remarquant cos2 x = 1 − X 2
1
La résolution donne X = ou 2.
2
π
5π
Seule la deuxième est acceptable et conduit à x = + 2kπ ou x =
+ 2kπ
6
6
3 sin2 x + 7 cos x − 5 = 3(1 − cos2 x) + 7 cos x − 5
Correction exercice 2.6 Soient :
A : le point de départ
B : le point situé à 3m au sud de A
C : le point situé à 4m à l’est de B
D : le point de l’arbre à 5m du sol.
94
ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
Mémento GEii
• AD2 = AC 2 + CD 2 = AC 2 + 25 et AC 2 = AB 2 + BC 2
d’où
AD 2 = 25 + AB 2 + BC 2 = 25 + 9 + 16 = 50
√
et AD = 5 2
• Calcul de l’angle :
−→ −−→
−→2 −→ −−→
−→ −→ −−→
−→
−−→
AC ∙ AD
AC 2
1
AC + AC ∙ CD
AC ∙ (AC + CD
\
√
√
cos(AC, AD) =
=
= √ =√
=
AC ∙ AD
25 2
25 2
25 2
2
π
D’où l’angle cherché est θ =
4
Autre version :
−
→
− →
− →
0
A partir du repère (A, i , √
j , k ), on place les
√ points B(3, 0, 0) , C 3, 4, 0) et enfin D(3, 4, 5). On peut alors
calculer la distance AD = 25 + 9 
+ 16 
= 5 2 
3
3
  
−→ −−→ 



Puis le produit scalaire AC.AD =  4  .  4 
 = 25 puis avec
0
−→ −−→ −→
−−→
\
−→ −−→
AC∙ AD = AC . AD . cos(AC, AD)
−→
−−→
1
\
on obtient cos(AC, AD) = √
2
z
5
D
A
B
x
Correction exercice 2.7
y
1.) 4 cos3 θ = 3 cos θ + cos 3θ.
C
4 cos3 θ
on a utilisé la formule cos a ∙ cos b =
= 2 cos θ(1 + cos 2θ)
= 2 cos θ + 2 cos θ cos 2θ
= 2 cos θ + cos 3θ + cos θ
= 3 cos θ + cos 3θ
1
[cos(a + b) + cos(a − b)]
2
2.) 4 sin3 θ = 3 sin θ − sin 3θ.
4 sin3 θ
avec la formule sin a. cos b =
= 2 sin θ(1 − cos 2θ)
= 2 sin θ − 2 sin θ cos 2θ
= 2 sin θ − sin 3θ + sin θ
= 3 sin θ − sin 3θ
1
[sin(a + b) + sin(a − b)]
2
Correction exercice 2.8
95
ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
Mémento GEii
1.) cos x 6= 0 ⇐⇒ Df = R − {±
2.) Df = R
π
+ 2kπ; k ∈ Z}
2
3.) sin x − cos x 6= 0 ⇐⇒ Df = R − {
4.) Df = R
Correction exercice 2.10 Voir Figures plus loin.
96
π
+ kπ; k ∈ Z}
4
ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
Mémento GEii
III -
Nombres Complexes
Correction exercice 3.1
2−i
4 − 7i
1. z =
=
3 + 2i
13
2. iz = 5i − 2 et donc z = 5 + 2i
2
1 + 3i
6
3. z = − + =
4i 4
2
4 − 3i
4. z =
7
Correction exercice 3.2


 cos θ = 1

√
π
2
√
d’où θ =
1. 1 + i 3 = 2 et

3
3

 sin θ =
2

√

 cos θ = 3
√

2 d’où θ = π
2. 3 + i = 2 et

6
1

 sin θ =
2
π π
π
3. |zz 0 | = |z| |z 0 | = 4 ; arg(zz 0 ) = arg z + arg z 0 = + =
3
6
2
z
π
|z|
z
4. 0 = 0 = 1 ; arg 0 = arg z − arg z 0 =
z
|z |
z
6
0, 5
0, 5
= √
; arg(z) = − arg(1 + 2iω) ou arg(1 + 2iω) est
1. |z| =
ω|1 + 2iω|
ω 1 + 4ω2
i πh
dont la tangente vaut 2ω;
l’angle appartenant a 0,
2
1
1
√
2. |z| =
;
= √
|1 + 2iω||1 + 3iω|
1 + 4ω2 1 + 9ω2
i πh
arg(z) = − arg(1 + 2iω) − arg(1 + 3iω) ou arg(1 + 2iω) est l’angle appartenant a 0,
dont la tangente
2
i πh
vaut 2ω; de même arg(1 + 3iω) est l’angle appartenant a 0,
dont la tangente vaut 3ω.
2
Correction exercice 3.3
Correction exercice 3.4
|z − 3| = 4 ⇐⇒ (x − 3)2 + y 2 = 16 l’ensemble des points est donc le cercle de centre (3, 0) et de rayon 4.
Correction exercice 3.5 Première version :
|z − 4| = |z + 2i| ⇐⇒ (x − 4)2 + y 2 = x2 + (y − 2)2 ⇐⇒ −2x − y + 3 = 0. Il s’agit donc d’une droite.
Deuxième version : en remarquant que |z − 4| = d(A, M ) et |z + 2i| = d(B, M ) avec A(4, 0) puisque d’affixe
zA = 4 et B(0, −2) puisque zB = −2i, on peut voir les solutions comme l’ensembles des points équidistants de
A et B soit la médiatrice du segment [A, B].
Correction exercice
 √ 3.6

3
+
i
2

=


√

√
3
z2 = 3 + i :
cos θ
=

2


1

 sin θ
=
2
h
π
π i
√
⇒ 3 + i = 2 cos
+ i sin
6
6
⇒ r = 2 et θ =
π
π
6
π
Correction exercice 3.7 |z| = |3ei 35 | = 3|ei 35 | = 3.
Correction exercice 3.8 ez = e2+i = e2 (cos 1 + i sin 1). Par conséquent |ez | = e2 .
1
1
. Pour l’argument
=√
|1 + 0, 5iω|
1 + 0.25ω 2
i πh
π
arg(z) = − arg(i) − arg(1 + 2iω) = − − arg(1 + 2iω). On remarque que arg(1 + 2iω) est l’angle dans 0,
2
2
dont la tangente vaut 2ω.
Correction exercice 3.9 On a|z| =
97
ANNEXE D. CORRIGÉS DES EXERCICES
Mémento GEii
eiθ + e−iθ
2
3
Correction exercice 3.10 Grâce aux formules d’Euler on a cos θ =
. En utilisant l’identité


1
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 on obtient cos3 θ = e3iθ + e−3iθ + 3e2iθ e−iθ + 3eiθ e−2iθ  d’où
{z
} |
{z
}
8 |
3
2 cos(3θ)
3
1
cos θ = cos(3θ) + cos(θ).
4
4
6 cos(θ)
3
Correction exercice 3.11
1. −36 = (6i)2 donc les racines de −36 sont 6i et −6i.
 2
2
2

x + y = r
2. Pour trouver les solutions de (x + iy)2 = −15 + 8i on résout le système x2 − y 2 = a avec


2xy = b
r = |−15 + 8i| = 17; a = −15 et b = −8. On trouve alors x = ±1; y = ±4 et xy = −4. Les deux racines
carrées sont donc 1 − 4i et −1 + 4i.
 2
2

 x + y = |4i − 3| = 5
3. On fait de même avec
x2 − y 2 = −3
2xy = 4
Les racines sont ±(1 + 2i)


Correction exercice 3.12
√
5±i 3
1.) Les solutions sont z =
2
2
(2i − 3) − 4(5 − i)
= −15 − 8i a pour racine ±(1 − 4i). Les solutions de l’équation sont alors
2.) Δ =
2
−(2i − 3) ± (1 − 4i)
= 2 − 3i ou 1 + i.
2
(5 − 14i)2 + 8(5i + 12)
3.) Δ =
= −75 − 100i a pour racine ±(5 − 10i). Les solutions de l’équation sont alors
2
5 − 12i ou −2i.
4.) Les solutions de l’équation sont 2 + 3i et 1 + i.
5.) Les solutions de l’équation sont 2 ou 3 + i.
6.) Les solutions de l’équation sont 1 − i ou −3i.
7.) On pose Z = z 2 puis on résout Z 2 + 10Z + 169. On obtient Z1 = −5 + 12i et Z2 = −5 − 12i. les solutions
de l’équation sont alors en cherchant les racines carrées de Z1 et de Z2 : −2 + 3i ; −2 − 3i ; 2 + 3i et 2 − 3i.
8.) On pose Z = z 2 puis on cherche les racines carrées puis leurs propres racines carrées. On obtient
Z = ±(3 + 4i). Les solutions de l’équation sont alors les racines de ±(3 + 4i) qui sont ±(2 + i), ±(1 − 2i).
98
IV -
Révisions
Correction exercice B.2 N.B. : il suffit d’écrire sin x = cos(π/2 − x)
Correction exercice B.3
1
3
1
cos(4x) + cos(2x) +
8
2
8
1
1
3
= [2 cos2 (2x) − 1] − + cos2 (x) +
8
2
8
1
1 1
3
= cos2 (2x) − − + cos2 (x) +
4
8 2
8
1
1 1
3
= (2 cos2 x − 1)2 − − + cos2 (x) +
4
8 2
8
= cos4 (x)
Correction exercice B.4 Résultat : on a z = 0 et
z=
les racines de 4 + 5i sont
±(
Correction exercice B.5
−(3 + i) ±
2
s√
41 + 4
+i
2
√
8 + 10i
s√
;
41 − 4
)
2
−27i = (−3)3 i :
par conséquent il faut calculer les racines cubiques de i. Pour cela on remarque que
i = eiπ/2 .
Les racines cubiques sont eiφ , où φ =
π 2kπ
+
avec k = 0, 1, 2.
6
3
Correction exercice B.6
i = eiπ/2 .
π kπ
Par conséquent les racines quatrièmes sont eiφ , où φ = +
avec k = 0, 1, 2, 3.
8
2
99
y
y
y
f (x) = (x + 2)3
f (x) = x3 + 5
f (x) = x + 3
2
~j
O
~j
~j
O
(e)
x
~i
O
x
~i
x
~i
(f)
(g)
y
y
~j
f (x) = ex−2
O
f (x) = 3x2
x
~i
f (x) = −x4
~j
O
y
~j
x
~i
O
(h)
~i
x
(i)
(j)
y
y
f (x) = 3 ln x
y
f (x) = e−2x
~j
x
~i
O
~j
O
x
~i
~j
f (x) = (−3x)3
O
(k)
x
~i
(l)
y
(m)
y
f (x) = 2x2 + 3
y
f (x) = 3 |x + 2| − 4
~j
O
~i
x
~j
O ~i
x
f (x) = e−2(x+3)
~j
O ~i
(n)
(o)
100
(p)
x
f (x) = sin(x) − 2
y
y
f (x) = 2 sin(x)
f (x) = sin(x − 1)
y
~j
~j
x
~i
O
O
~j
(q)
x
~i
O
x
~i
(r)
(s)
y
y
f (x) = −2 cos(x)
x
f (x) = sin( )
2
~j
~j
x
~i
O
(t)
x
~i
O
(u)
y
f (x) = tan(2x)
y
y
~j
f (x) = cos(3x)
O
x
~i
~j
O
~i
x
(v)
(w)
f (x) = cos(3x) + 2
O
~i
x
(x)
y
f (x) = 3 tan(−2x) + 1
~j
O
~j
x
~i
(y)
101