Groupes - Université de Rouen

Université de ROUEN
Département de Mathématiques
L1 M.I.E.E.A.
Algèbre 1
Fiche de Travaux Dirigés No V
Groupes
2011-2012
Exercice 1. Soient (E, T ) et (E 0 , T 0 ) deux ensembles munis d’une loi de composition interne et soit f : E −→ E 0
un morphisme de (E, T ) dans (E 0 , T 0 ).
1. On suppose que f surjective. Montrer que :
(a) si T est commutative, alors T 0 est commutative.
(b) si T est associative, alors T 0 est associative.
(c) si T admet un élément neutre, alors T 0 admet un élément neutre.
2. Montrer que f (E) est stable pour la loi T 0 .
Exercice 2. Montrer que (Z/nZ, +) est un groupe abélien.
Exercice 3. Sur l’ensemble R \ {1}, on considère la loi :
∀ (x, y) ∈ (R\{1})2 .
x ∗ y = x + y − xy,
1. Montrer que ∗ est une loi de composition interne.
2. Déterminer si (R \ {1}, ∗) est un groupe.
Exercice 4. Soit X un ensemble. On munit l’ensemble P(X) des parties de X de la différence symétrique ∆ définie
par A∆B = (A\B) ∪ (B\A). Montrer que (P(X), ∆) est un groupe.
Exercice 5. Pour r ≥ 0, on note Ur l’ensemble des nombres complexes de module r.
1. Vérifier que U1 est un sous-groupe de (C∗ , ·).
2. Etant donné r > 0, déterminer le sous-groupe engendré par Ur .
3. Montrer que U1 est isomorphe à R/Z.
Exercice 6. Soit n ∈ N∗ .
1. Montrer que l’ensemble Rn des racines n-ièmes de l’unité dans C forment un sous-groupe de (C∗ , ·). Quel est
son ordre?
2. Montrer que Rn est isomorphe à (Z/nZ, +).
Exercice 7. Soit G un groupe et soient G1 et G2 deux sous-groupes de G.
1. Montrer que G1 ∩ G2 est un sous-groupe de G.
1
2. Montrer que G1 ∪ G2 est un sous-groupe de G si et seulement si G1 ⊂ G2 ou G2 ⊂ G1 .
Exercice 8. Sous-groupes de Z.
1. Soit k ∈ Z, on note kZ = {kn, n ∈ Z}. Montrer que kZ est un sous-groupe de Z.
2. Soit G un sous-groupe de Z.
(a) Montrer que si ` ∈ G, alors `Z ⊂ G.
(b) Soit k = min{` ∈ N∗ , ` ∈ G}. Montrer que G = kZ.
3. Conclure.
Exercice 9. Morphismes de Z.
1. Déterminer les morphismes du groupe (Z, +) dans lui-même.
2. Quels sont les morphismes injectifs ?
3. Quels sont les morphismes surjectifs ?
Exercice 10. On désigne par S3 l’ensemble des permutations de l’ensemble {1, 2, 3}. On le munit de la loi de
composition ◦.
1. Écrire la table de l’opération ◦ sur S3 .
2. Montrer que (S3 , ◦) est un groupe.
3. Est-il commutatif ?
1 2 3
. Déterminer le sous-groupe engendré par τ .
4. Soit τ =
2 1 3
Exercice 11. Soit G un groupe multiplicatif et a ∈ G. On définit, sur G, la loi ∗ par
∀ (x, y) ∈ G2 .
x ∗ y = xay,
1. Montrer que (G, ∗) est un groupe.
2. Montrer que l’application f : G → G définie par f (x) = xa−1 est un isomorphisme de (G, ·) dans (G, ∗).
Exercice 12.
commutatif.
Soit G un groupe. Montrer que si l’application x 7→ x−1 est un automorphisme de G, alors G est
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