Groupes - Université de Rouen

Universit´e de ROUEN D´epartement de Math´ematiques
L1 M.I.E.E.A.
Alg`ebre 1
Fiche de Travaux Dirig´es NoV 2011-2012
Groupes
Exercice 1. Soient (E, T ) et (E0, T 0) deux ensembles munis d’une loi de composition interne et soit f:E−→ E0
un morphisme de (E, T ) dans (E0, T 0).
1. On suppose que fsurjective. Montrer que :
(a) si Test commutative, alors T0est commutative.
(b) si Test associative, alors T0est associative.
(c) si Tadmet un ´el´ement neutre, alors T0admet un ´el´ement neutre.
2. Montrer que f(E) est stable pour la loi T0.
Exercice 2. Montrer que (Z/nZ,+) est un groupe ab´elien.
Exercice 3. Sur l’ensemble R\ {1}, on consid`ere la loi :
x∗y=x+y−xy, ∀(x, y)∈(R\{1})2.
1. Montrer que ∗est une loi de composition interne.
2. D´eterminer si (R\ {1},∗) est un groupe.
Exercice 4. Soit Xun ensemble. On munit l’ensemble P(X) des parties de Xde la diff´erence sym´etrique ∆ d´efinie
par A∆B= (A\B)∪(B\A). Montrer que (P(X),∆) est un groupe.
Exercice 5. Pour r≥0, on note Url’ensemble des nombres complexes de module r.
1. V´erifier que U1est un sous-groupe de (C∗,·).
2. Etant donn´e r > 0, d´eterminer le sous-groupe engendr´e par Ur.
3. Montrer que U1est isomorphe `a R/Z.
Exercice 6. Soit n∈N∗.
1. Montrer que l’ensemble Rndes racines n-i`emes de l’unit´e dans Cforment un sous-groupe de (C∗,·). Quel est
son ordre?
2. Montrer que Rnest isomorphe `a (Z/nZ,+).
Exercice 7. Soit Gun groupe et soient G1et G2deux sous-groupes de G.
1. Montrer que G1∩G2est un sous-groupe de G.
1

2. Montrer que G1∪G2est un sous-groupe de Gsi et seulement si G1⊂G2ou G2⊂G1.
Exercice 8. Sous-groupes de Z.
1. Soit k∈Z, on note kZ={kn, n ∈Z}. Montrer que kZest un sous-groupe de Z.
2. Soit Gun sous-groupe de Z.
(a) Montrer que si `∈G, alors `Z⊂G.
(b) Soit k= min{`∈N∗, ` ∈G}. Montrer que G=kZ.
3. Conclure.
Exercice 9. Morphismes de Z.
1. D´eterminer les morphismes du groupe (Z,+) dans lui-mˆeme.
2. Quels sont les morphismes injectifs ?
3. Quels sont les morphismes surjectifs ?
Exercice 10. On d´esigne par S3l’ensemble des permutations de l’ensemble {1,2,3}. On le munit de la loi de
composition ◦.
1. ´ Ecrire la table de l’op´eration ◦sur S3.
2. Montrer que (S3,◦) est un groupe.
3. Est-il commutatif ?
4. Soit τ=123
213. D´eterminer le sous-groupe engendr´e par τ.
Exercice 11. Soit Gun groupe multiplicatif et a∈G. On d´efinit, sur G, la loi ∗par
x∗y=xay, ∀(x, y)∈G2.
1. Montrer que (G, ∗) est un groupe.
2. Montrer que l’application f:G→Gd´efinie par f(x) = xa−1est un isomorphisme de (G, ·) dans (G, ∗).
Exercice 12. Soit Gun groupe. Montrer que si l’application x7→ x−1est un automorphisme de G, alors Gest
commutatif.
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