EXAMEN 6L22 Théorie des groupes

EXAMEN 6L22
Th´ eorie des groupes
Licence de Sciences 3eann´ee
Ann´ee 2011–2012, 7 mai 2012, 9h–12h.
L’usage de tout document et de tout mat´eriel ´electronique est interdit.
La notation prendra en compte la clart´e et la rigueur des raisonnements, TOUTES
les r´eponses doivent ˆetre justifi´ees.
Le sujet contient 5 exercices.
Exercice 1. (Question de cours) Enoncer et d´emontrer le 1er th´eor`eme de Sylow.
Exercice 2. Soit Gun groupe d’ordre 63. D´emontrer que Gposs`ede au moins un
sous-groupe normal.
(Indication: Etudier les sous-groupes de Sylow de G).
Exercice 3. Soit pun nombre premier, n≥1 un entier, Gun groupe d’ordre pn,
Z(G) son centre et Hun sous-groupe distingu´e de Gnon r´eduit `a l’´el´ement neutre.
On rappelle que Gagit par conjugaison sur H,c:G×H−→ H, (g, h)7→ h−1gh.
1) Montrer que Hest de cardinal pk, pour k≥1.
2) Montrer que si h∈H, alors son orbite O(h) pour l’action ca pour cardinal
une puissance de p.
3) Montrer qu’on a h∈Z(G)∩Hsi et seulement si O(h) est r´eduite `a un
singleton.
4) En d´eduire que Z(G)∩H6={eG}, puis que Z(G)6={eG}
Exercice 4. Soit n≥1 un nombre entier et Cn={exp(2iπk/n)|k∈Z}. D´efinir un
isomorphisme entre Z/nZet Cnet conclure que Cnest un groupe cyclique d’ordre
npour la multiplication des nombres complexes.
Exercice 5. Soit n≥2 un entier et {e1,...,en}la base canonique de Rn, on note
Σnle groupe de permutations de n´el´ements.
1) Montrer qu’on d´efinit un homomorphisme de groupes φ: Σn−→ GL(n, R) en
posant, pour tout σ∈Σnet tout i∈ {1,...,n},φ(σ)(ei) = eσ(i). Determiner
Ker(φ).
2) Montrer que la composition det ◦φd´efinit un homomorphisme de groupes ǫ
de Σndans le sous-groupe {−1,1}du groupe multiplicatif R\{0}.