Colle Exercice 1

Colle
Exercice 1
1. Soit 𝐺 = ℝ∗ × ℝ et * la loi de composition interne dans G défini par
(𝑥, 𝑦) ∗ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) = (𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑦 ′ + 𝑦)
a. Montrer que (𝐺,∗) est un groupe non commutatif.
b. Montrer que ℝ+ ∗ × ℝ est un sous-groupe de G.
2. Un anneau est dit booléien si pour tout 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥² = 𝑥.
a. Etablir : ∀𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑥 + 𝑥 = 0.
b. Montrer que A est commutatif.
c. Montrer que pour tout 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦) = 0.
d. On suppose que A est intègre.
Montrer que A est isomorphe à {0} ou à ℤ/2ℤ.
Exercice 2
1. Soit (𝐺, . ) un groupe. On définit le centre de G par 𝑍(𝐺) = {𝑎 ∈ 𝐺/∀𝑥 ∈ 𝐺, 𝑎. 𝑥 = 𝑥. 𝑎}.
Montrer que 𝑍(𝐺) est un sous-groupe de G.
2. Soit (𝐺, . ) un groupe. Etant donné un élément a de G, on définit l’application
𝜑𝑎 : 𝐺 ⟶ 𝐺
𝑥 ↪ 𝑎. 𝑥. 𝑎−1
a. Soit 𝑎 ∈ 𝐺. Montrer que 𝜑𝑎 est un automorphisme de G, appelé automorphisme intérieur.
b. Montrer que l’ensemble 𝐼(𝐺) = {𝜑𝑎 , 𝑎 ∈ 𝐺} de tous les automorphismes intérieurs est un
sous-groupe des bijections de G dans lui –même (𝑆(𝐺), 𝑜).
c. Montrer que
𝜑 : 𝐺 ⟶ 𝑆(𝐺)
𝑎 ↪ 𝜑𝑎
est un morphisme de groupes et préciser son noyau.
Exercice 3
1.
2. Soit 𝛼 l’une des racines complexes du polynôme X²+X+2 (qu’il est inutile de calculer
explicitement). On désigne par ℤ[𝛼] l’ensemble des nombres complexes de la forme 𝑝 + 𝑞𝛼 où
(𝑝; 𝑞) ∈ ℤ² .
a. Montrer que ℤ[𝛼] est un sous anneau de ℂ.
b. Calculer 𝛼 + 𝛼̅ et 𝛼𝛼̅.
c. Montrer que ∀𝑧 ∈ ℤ[𝛼], 𝑧̅ ∈ ℤ[𝛼] et 𝑧𝑧̅ ∈ ℕ.
d. Montrer que l’élément 𝑝 + 𝑞𝛼 où (𝑝; 𝑞) ∈ ℤ² est inversible dans ℤ[𝛼] ssi
𝑝² + 2𝑞² − 𝑝𝑞 = 1. (1)
e. Montrer que (1) n’a pas de solution telle que 𝑝𝑞 < 0.
On montrerait de même que (1) n’a pas de solution telle que 𝑝𝑞 > 0.
f. En déduire l’ensemble des éléments inversibles de l’anneau ℤ[𝛼].