Colle Exercice 1

Colle
Exercice 1
1. Soit     et * la loi de composition interne dans G défini par
a. Montrer que  est un groupe non commutatif.
b. Montrer que   est un sous-groupe de G.
2. Un anneau est dit booléien si pour tout      .
a. Etablir :        .
b. Montrer que A est commutatif.
c. Montrer que pour tout          .
d. On suppose que A est intègre.
Montrer que A est isomorphe à {0} ou à .
Exercice 2
1. Soit    un groupe. On définit le centre de G par           .
Montrer que  est un sous-groupe de G.
2. Soit    un groupe. Etant donné un élément a de G, on définit l’application
a. Soit   . Montrer que  est un automorphisme de G, appelé automorphisme intérieur.
b. Montrer que l’ensemble      de tous les automorphismes intérieurs est un
sous-groupe des bijections de G dans lui –même  .
c. Montrer que
  est un morphisme de groupes et préciser son noyau.

Exercice 3
1.
2. Soit  l’une des racines complexes du polynôme X²+X+2 (qu’il est inutile de calculer
explicitement). On désigne par  l’ensemble des nombres complexes de la forme    où
   .
a. Montrer que  est un sous anneau de .
b. Calculer    et .
c. Montrer que       et   .
d. Montrer que l’élément    où    est inversible dans  ssi
  . (1)
e. Montrer que (1) n’a pas de solution telle que   .
On montrerait de même que (1) n’a pas de solution telle que   .
f. En déduire l’ensemble des éléments inversibles de l’anneau .