TD de Groupes de Lie – Feuille 1 : Groupes topologiques - IMJ-PRG

Master 1
Mathématiques
2009
TD de Groupes de Lie – Feuille 1 :
Groupes topologiques
Grégory Ginot
On notera 1 l’élément neutre d’un groupe G.
Exercice 1 (Propriétés topologiques d’un sous-groupe). Soit H un sous-groupe d’un groupe
topologique G.
(1) Montrer que H est ouvert dans G si et seulement si 1 est dans l’intérieur de H.
(2) Montrer que si H est ouvert, alors H est fermé.
(3) Montrer que si G est connexe, alors il est engendré par tout voisinage non-vide de 1.
(4) Montrer que si G est séparé et H est un sous-groupe discret, alors H est fermé dans G.
Exercice 2 (Connexité et quotient). Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe de G. On
munit le quotient G/H de la topologie quotient. C’est à dire qu’un ensemble U dans G/H est ouvert
si et seulement si p−1(U ) est ouvert dans G où p : G → G/H est l’application de passage au quotient.
a) Rappeler pourquoi la topologie quotient est la topologie la plus fine rendant p continue. Montrer
que p : G → G/H est ouverte.
b) Montrer que si H et G/H sont connexes, alors G est connexe.
c) Montrer que si G est séparé et H est fermé, alors G/H est séparé.
Exercice 3 (Sous-groupes discrets de Rn ). Le but de l’exercice est de montrer que tout sous-groupe
discret G 6= {0} de Rn est de la forme G = Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zep avec e1 , . . . , ep des vecteurs linéairement
indépendants.
(1) Soit H 6= {0} sous groupe de R non dense. Montrer que inf(|x| ∈ H − {0}) est > 0 et est atteint,
c’est à dire qu’il existe a ∈ H tel que |a| = inf(|x| ∈ H − {0}) (On pourra montrer qu’on peut se
ramener à étudier inf(|x| ∈ H − {0} ∪ K), K compact).
(2) Montrer que tout sous-groupe de R est soit dense, soit de la forme aZ (on pourra prendre pour
a un élément non nul de G minimisant la valeur absolue).
(3) Soit x ∈ G et V = Rx ⊂ Rn . Montrer que V ∩ G est de la forme Zen .
∼ Rn /V la projection naturelle. Montrer que p(G) est un sous-groupe discret
(4) Soit p : Rn → Rn−1 =
(raisoner par l’absurde en utilisant que dans un espace topologique discret, une suite convergente
est constante à partir d’un certain rang).
(5) Conclure en raisonant par récurrence
1
Exercice 4 (Sur les morphismes continus vers R et C). Déterminer les sous-groupes fermés de
S 1 . (on pourra utiliser ceux de (R, +)). Puis
f
1. Montrer que les morphismes de groupes continus R∗ → R∗ sont de la forme x 7→ |x|α sgn(x))
où sgn est le signe de x et ∈ {0, 1}, α ∈ R.
2. Déterminer de même la forme des morphismes de groupes continus R∗ → C∗ (on peut se ramener
à étudier les morphismes (R, +) → S 1 ).
3. Déterminer la forme des morphismes de groupes continus de C∗ → R∗ (on pourra utiliser que
C∗ = R∗+ × S 1 , c’est à dire la “décomposition polaire”, et utiliser le 2.).
4. Montrer que les morphismes de groupes continus de S 1 → S 1 sont de la forme f (x) = xk pour
k entier. Quels sont les automorphismes de S 1 ?
5. Déduire des questions précédentes la forme des morphismes de groupes continus C∗ → C∗ .
On pourra utiliser le théorème de relévement des angles pour résoudre l’exercice précédent.
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