TD de Groupes de Lie – Feuille 1 : Groupes topologiques - IMJ-PRG

Master 1 Math´ematiques 2009
TD de Groupes de Lie – Feuille 1 :
Groupes topologiques
Gr´egory Ginot
On notera 1 l’´el´ement neutre d’un groupe G.
Exercice 1 (Propri´et´es topologiques d’un sous-groupe). Soit Hun sous-groupe d’un groupe
topologique G.
(1) Montrer que Hest ouvert dans Gsi et seulement si 1est dans l’int´erieur de H.
(2) Montrer que si Hest ouvert, alors Hest ferm´e.
(3) Montrer que si Gest connexe, alors il est engendr´e par tout voisinage non-vide de 1.
(4) Montrer que si Gest s´epar´e et Hest un sous-groupe discret, alors Hest ferm´e dans G.
Exercice 2 (Connexit´e et quotient). Soit Gun groupe topologique et Hun sous-groupe de G. On
munit le quotient G/H de la topologie quotient. C’est `a dire qu’un ensemble Udans G/H est ouvert
si et seulement si p−1(U)est ouvert dans Go`u p:G→G/H est l’application de passage au quotient.
a) Rappeler pourquoi la topologie quotient est la topologie la plus fine rendant pcontinue. Montrer
que p:G→G/H est ouverte.
b) Montrer que si Het G/H sont connexes, alors Gest connexe.
c) Montrer que si Gest s´epar´e et Hest ferm´e, alors G/H est s´epar´e.
Exercice 3 (Sous-groupes discrets de Rn). Le but de l’exercice est de montrer que tout sous-groupe
discret G6={0}de Rnest de la forme G=Ze1⊕ · · · ⊕ Zepavec e1, . . . , epdes vecteurs lin´eairement
ind´ependants.
(1) Soit H6={0}sous groupe de Rnon dense. Montrer que inf(|x| ∈ H− {0})est >0et est atteint,
c’est `a dire qu’il existe a∈Htel que |a|= inf(|x| ∈ H− {0})(On pourra montrer qu’on peut se
ramener `a ´etudier inf(|x| ∈ H− {0} ∪ K),Kcompact).
(2) Montrer que tout sous-groupe de Rest soit dense, soit de la forme aZ(on pourra prendre pour
aun ´el´ement non nul de Gminimisant la valeur absolue).
(3) Soit x∈Get V=Rx⊂Rn. Montrer que V∩Gest de la forme Zen.
(4) Soit p:Rn→Rn−1∼
=Rn/V la projection naturelle. Montrer que p(G)est un sous-groupe discret
(raisoner par l’absurde en utilisant que dans un espace topologique discret, une suite convergente
est constante `a partir d’un certain rang).
(5) Conclure en raisonant par r´ecurrence
1

Exercice 4 (Sur les morphismes continus vers Ret C). D´eterminer les sous-groupes ferm´es de
S1. (on pourra utiliser ceux de (R,+)). Puis
1. Montrer que les morphismes de groupes continus R∗f →R∗sont de la forme x7→ |x|αsgn(x))
o`u sgn est le signe de xet ∈ {0,1},α∈R.
2. D´eterminer de mˆeme la forme des morphismes de groupes continus R∗→C∗(on peut se ramener
`a ´etudier les morphismes (R,+) →S1).
3. D´eterminer la forme des morphismes de groupes continus de C∗→R∗(on pourra utiliser que
C∗=R∗
+×S1, c’est `a dire la “d´ecomposition polaire”, et utiliser le 2.).
4. Montrer que les morphismes de groupes continus de S1→S1sont de la forme f(x) = xkpour
kentier. Quels sont les automorphismes de S1?
5. D´eduire des questions pr´ec´edentes la forme des morphismes de groupes continus C∗→C∗.
On pourra utiliser le th´eor`eme de rel´evement des angles pour r´esoudre l’exercice pr´ec´edent.
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