GROUPES 6.1 Méthodes 6.2 Savoir Faire 6.3 Les Classiques

Chapitre 6
GROUPES
6.1
Méthodes
• Travailler les exemples.
• Pour montrer que G est un groupe penser à prouver que c’est un sous-groupe.
• Pour montrer que H est un sous-groupe vous pouvez montrer que c’est l’image ou le
noyau d’un morphisme de groupes.
• Penser à utiliser l’ordre des éléments.
• Pour Sn , penser à utiliser la conjugaison, c’est à dire σσ 0 σ −1
6.2
Savoir Faire
Exercice 6.1 Soit G un groupe.
On appelle centre de G l’ensemble des éléments de G qui commutent avec G, on le note Z(G).
Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
Exercice 6.2 Soit G un groupe d’élément neutre e tel que ∀a ∈ G, a2 = e.
1. Montrer que G est commutatif.
2. Donner un exemple d’un groupe fini vérifiant cette condition.
3. Donner un exemple d’un groupe infini vérifiant cette condition.
Exercice 6.3 Trouver l’ordre de tous les éléments de U3 , U4 , U5 , U6 .
Déterminer lorsqu’ils existent les générateurs de ces groupes. En déduire ϕ(2), ϕ(3), ϕ(4), ϕ(5), ϕ(6).
Exercice 6.4 Donner dans GL2 (C) un élément d’ordre 2, un élément d’ordre 4, un élément
d’ordre infini.
Exercice 6.5 Z et Z2 sont-ils isomorphes?
Exercice 6.6 Déterminer tous les morphismes de groupe de (Z/7Z, +) vers (Z/13Z, +)
6.3
Les Classiques
Exercice 6.7 Groupe de petit cardinal
Trouver à isomorphisme près tous les groupes à 2, 3, 4 éléments.
Exercice 6.8 Morphisme de (Q, +), de (R, +)
A savoir faire sans indication :
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1. Soit f un morphisme de (Q, +). On pose a = f (1). Montrer que :
∀n ∈ Z ∀x ∈ Q f (nx) = nf (x)
∀p ∈ Z; f (p) = pa
1
1
∀q ∈ N∗ ; f ( ) = a
q
q
p
p
∀p ∈ Z; ∀q ∈ N∗ f ( ) = a
q
q
2. Déterminer tous les morphismes continus de (R, +) dans (R, +).
3. Déterminer tous les morphismes croissants de (R, +) dans (R, +).
4. Déterminer tous les morphismes continus de (R, +) dans (R∗+ , .).
5. Déterminer tous les morphismes continus de (R∗+ , .) dans (R, +)
Exercice 6.9 Sous-groupes de R
On veut prouver que les sous-groupes de R sont soit de la forme aZ soit denses dans R.
1. Soit a un réel. Montrer que aZ est un sous-groupe de R.
2. Soit H un sous groupe de R non nul.
(a) Montrer que H ∩ R∗+ 6= ∅. On note a = inf H ∩ R∗+ .
(b) Montrer que si a 6= 0 alors H = aZ
(c) Montrer que si a = 0 alors H est dense dans R
Exercice 6.10 Soit α un nombre réel tel que απ soit irrationnel.
1. Montrer que 2πZ + αZ est dense dans R ?
2. Montrer que {eikα |k ∈ Z} est dense dans U.
3. Montrer que 2πZ + αN est dense dans R ?
4. Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence des suites (cosnα) et (sinnα).
Exercice 6.11 Théorème de Lagrange :
Soit G un groupe fini, l’ordre d’un sous-groupe H de G divise l’ordre de G.
En particulier l’ordre de tout élément de G divise l’ordre de G.
1. Montrer que la relation définie sur G par xRy si et seulement si x−1 y ∈ H est une relation
d’équivalence.
2. Montrer que si g ∈ G alors g = {gh, h ∈ H} = gH (appelée classe à gauche), on note
G/H l’ensemble quotient.
3. Montrer que toutes les classes ont le même cardinal, celui de H .
On appelle indice de H dans G le nombre de classes d’équivalence et on le note [G : H],
on a donc:
card(G) = [G : H] card(H)
Exercice 6.12 Soit f un morphisme d’un groupe fini (G, .) vers un groupe (G0 , .).
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1. Soit f (x) = y. Déterminer tous les antécédents de y en fonction de x et de Ker(f ).
2. Montrer que :
card(ker(f )) × card(f (E)) = card(G)
Exercice 6.13 Sous-groupes d’un groupe cyclique :
1. Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.
2. Soit G est un groupe cyclique d’ordre n et d un diviseur de n.
Montrer qu’il existe un unique sous-groupe de G d’ordre d.
3. Montrer que si n ∈ N, on a :
n=
X
ϕ(d)
d|n
Exercice 6.14 Exposant d’un groupe abélien fini
1. Soit (G, ×) un groupe abélien fini. x et y sont deux éléments de G d’ordres respectifs m
et n.
(a) On suppose que m ∧ n = 1.
Montrer que les deux sous-groupes < xy > et < {x, y} > sont égaux, d’ordre mn.
(b) Montrer par un exemple que ce résultat tombe en défaut si on ne suppose plus G
commutatif.
2. On ne suppose plus que m ∧ n = 1. On note k = m ∨ n.
(a) Montrer qu’il existe deux entiers m0 et n0 tels que m0 ∧ n0 = 1 et k = m0 n0 , m0 divise
m et n0 divise n.
(b) En déduire l’existence de z ∈ G tel que o(z) = k.
3. On note r le ppcm des ordres de tous les éléments de G.
Montrer qu’il existe c ∈ G tel que o(c) = r. r s’appelle l’exposant de G.
Exercice 6.15 Déterminer le centre de Sn
Exercice 6.16 Générateurs de Sn :
1. Montrer que T1 = {(1, i), i ∈ {2, ..., n}} engendre Sn .
2. Montrer que T2 = {(k, k + 1), k ∈ {1, ..., n − 1}} engendre Sn
On peut montrer que tout ensemble de transpositions engendrant Sn a au moins n − 1
éléments.
3. Montrer que {(1, 2), (1, 2, ..., n)} engendre Sn , c’est la plus petite partie génératrice de Sn .
Exercice 6.17 Générateurs de An :
Supposons n ≥ 3, l’ensemble des cycles d’ordre 3 engendre An .
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6.4
Pour aller plus loin
Exercice 6.18 Soit G un sous-groupe fini de (C∗ , .).
1. Montrer que tous les éléments de G sont de module 1.
2. Montrer qu’il existe un n tel que G soit l’ensemble des racines nième de 1.
Exercice 6.19 Trouver toutes les applications continues de R dans R ayant 1 et
période.
√
2 pour
Exercice 6.20 Soit G un groupe d’ordre 2p avec p premier. Montrer que G contient un élément
d’ordre p.
Exercice 6.21 Déterminer le nombre de morphisme de groupes de Z/aZ dans Z/bZ en fonction
du PGCD d de a et b.
Exercice 6.22 Z et Q sont-ils isomophes? Q et R sont-ils isomophes?
Exercice 6.23 Etudier les sous-groupes de S3 .
Exercice 6.24 Montrer que A4 n’a pas de sous-groupe d’ordre 6.
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