GROUPES 6.1 Méthodes 6.2 Savoir Faire 6.3 Les Classiques

Chapitre 6
GROUPES
6.1 M´ethodes
•Travailler les exemples.
•Pour montrer que Gest un groupe penser `a prouver que c’est un sous-groupe.
•Pour montrer que Hest un sous-groupe vous pouvez montrer que c’est l’image ou le
noyau d’un morphisme de groupes.
•Penser `a utiliser l’ordre des ´el´ements.
•Pour Sn, penser `a utiliser la conjugaison, c’est `a dire σσ0σ−1
6.2 Savoir Faire
Exercice 6.1 Soit Gun groupe.
On appelle centre de Gl’ensemble des ´el´ements de Gqui commutent avec G, on le note Z(G).
Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
Exercice 6.2 Soit Gun groupe d’´el´ement neutre etel que ∀a∈G, a2=e.
1. Montrer que Gest commutatif.
2. Donner un exemple d’un groupe fini v´erifiant cette condition.
3. Donner un exemple d’un groupe infini v´erifiant cette condition.
Exercice 6.3 Trouver l’ordre de tous les ´el´ements de U3, U4, U5, U6.
D´eterminer lorsqu’ils existent les g´en´erateurs de ces groupes. En d´eduire ϕ(2), ϕ(3), ϕ(4), ϕ(5), ϕ(6).
Exercice 6.4 Donner dans GL2(C) un ´el´ement d’ordre 2, un ´el´ement d’ordre 4, un ´el´ement
d’ordre infini.
Exercice 6.5 Zet Z2sont-ils isomorphes?
Exercice 6.6 D´eterminer tous les morphismes de groupe de (Z/7Z,+) vers (Z/13Z,+)
6.3 Les Classiques
Exercice 6.7 Groupe de petit cardinal
Trouver `a isomorphisme pr`es tous les groupes `a 2,3,4 ´el´ements.
Exercice 6.8 Morphisme de (Q,+), de (R,+)
A savoir faire sans indication :
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1. Soit fun morphisme de (Q,+). On pose a=f(1). Montrer que :
∀n∈Z∀x∈Qf(nx) = nf(x)
∀p∈Z;f(p) = pa
∀q∈N∗;f(1
q) = 1 qa
∀p∈Z;∀q∈N∗f(p
q) = p qa
2. D´eterminer tous les morphismes continus de (R,+) dans (R,+).
3. D´eterminer tous les morphismes croissants de (R,+) dans (R,+).
4. D´eterminer tous les morphismes continus de (R,+) dans (R∗
+, .).
5. D´eterminer tous les morphismes continus de (R∗
+, .) dans (R,+)
Exercice 6.9 Sous-groupes de R
On veut prouver que les sous-groupes de Rsont soit de la forme aZsoit denses dans R.
1. Soit aun r´eel. Montrer que aZest un sous-groupe de R.
2. Soit Hun sous groupe de Rnon nul.
(a) Montrer que H∩R∗
+6=∅. On note a=inf H∩R∗ +.
(b) Montrer que si a6= 0 alors H=aZ
(c) Montrer que si a= 0 alors Hest dense dans R
Exercice 6.10 Soit αun nombre r´eel tel que α
πsoit irrationnel.
1. Montrer que 2πZ+αZest dense dans R?
2. Montrer que {eikα|k∈Z}est dense dans U.
3. Montrer que 2πZ+αNest dense dans R?
4. D´eterminer l’ensemble des valeurs d’adh´erence des suites (cosnα) et (sinnα).
Exercice 6.11 Th´eor`eme de Lagrange :
Soit Gun groupe fini, l’ordre d’un sous-groupe Hde Gdivise l’ordre de G.
En particulier l’ordre de tout ´el´ement de Gdivise l’ordre de G.
1. Montrer que la relation d´efinie sur Gpar xRysi et seulement si x−1y∈Hest une relation
d’´equivalence.
2. Montrer que si g∈Galors g={gh, h ∈H}=gH (appel´ee classe `a gauche), on note
G/H l’ensemble quotient.
3. Montrer que toutes les classes ont le mˆeme cardinal, celui de H.
On appelle indice de Hdans Gle nombre de classes d’´equivalence et on le note [G:H],
on a donc:
card(G) = [G:H]card(H)
Exercice 6.12 Soit fun morphisme d’un groupe fini (G, .) vers un groupe (G0, .).
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1. Soit f(x) = y. D´eterminer tous les ant´ec´edents de yen fonction de xet de Ker(f).
2. Montrer que :
card(ker(f)) ×card(f(E)) = card(G)
Exercice 6.13 Sous-groupes d’un groupe cyclique :
1. Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.
2. Soit Gest un groupe cyclique d’ordre net dun diviseur de n.
Montrer qu’il existe un unique sous-groupe de Gd’ordre d.
3. Montrer que si n∈N, on a :
n=X
d|n
ϕ(d)
Exercice 6.14 Exposant d’un groupe ab´elien fini
1. Soit (G, ×) un groupe ab´elien fini. x et y sont deux ´el´ements de G d’ordres respectifs m
et n.
(a) On suppose que m∧n= 1.
Montrer que les deux sous-groupes < xy > et <{x, y}>sont ´egaux, d’ordre mn.
(b) Montrer par un exemple que ce r´esultat tombe en d´efaut si on ne suppose plus G
commutatif.
2. On ne suppose plus que m∧n= 1. On note k=m∨n.
(a) Montrer qu’il existe deux entiers m0et n0tels que m0∧n0= 1 et k=m0n0,m0divise
met n0divise n.
(b) En d´eduire l’existence de z∈Gtel que o(z) = k.
3. On note r le ppcm des ordres de tous les ´el´ements de G.
Montrer qu’il existe c∈Gtel que o(c) = r. r s’appelle l’exposant de G.
Exercice 6.15 D´eterminer le centre de Sn
Exercice 6.16 G´en´erateurs de Sn:
1. Montrer que T1={(1, i), i ∈ {2, ..., n}} engendre Sn.
2. Montrer que T2={(k, k + 1), k ∈ {1, ..., n −1}} engendre Sn
On peut montrer que tout ensemble de transpositions engendrant Sna au moins n−1
´el´ements.
3. Montrer que {(1,2),(1,2, ..., n)}engendre Sn, c’est la plus petite partie g´en´eratrice de Sn.
Exercice 6.17 G´en´erateurs de An:
Supposons n≥3, l’ensemble des cycles d’ordre 3 engendre An.
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6.4 Pour aller plus loin
Exercice 6.18 Soit Gun sous-groupe fini de (C∗, .).
1. Montrer que tous les ´el´ements de Gsont de module 1.
2. Montrer qu’il existe un ntel que Gsoit l’ensemble des racines ni`eme de 1.
Exercice 6.19 Trouver toutes les applications continues de Rdans Rayant 1 et √2 pour
p´eriode.
Exercice 6.20 Soit Gun groupe d’ordre 2pavec ppremier. Montrer que Gcontient un ´el´ement
d’ordre p.
Exercice 6.21 D´eterminer le nombre de morphisme de groupes de Z/aZdans Z/bZen fonction
du PGCD dde aet b.
Exercice 6.22 Zet Qsont-ils isomophes? Qet Rsont-ils isomophes?
Exercice 6.23 Etudier les sous-groupes de S3.
Exercice 6.24 Montrer que A4n’a pas de sous-groupe d’ordre 6.
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