Feuille de TD no2

Université de Bordeaux I – 2011/12 N1MA4M11
Feuille de TD no2
Groupes
Exercice 1
Les opérations suivantes sont-elles des lois de groupe ?
1.
a b c
a a a a
b a b b
c a b c
2.
a b c
a b c a
b c a b
c a b c
3.
a b c d
a a b c d
b b a d c
c d c b a
d c d a b
Exercice 2
On considère la relation binaire sur Z×Z?définie par
∀(a, b),(c, d)∈Z×Z?,((a, b)∼(c, d)) ⇐⇒ (ad =bc).
Notons Ql’ensemble quotient de Z×Z?par cette relation d’équivalence ∼, et pour (a, b)∈Z×Z?, on
désigne par [a, b]∈ Q sa classe d’équivalence. On définit ensuite la loi interne ⊕sur l’ensemble quotient
Qde la manière suivante
⊕:Q × Q → Q,[a, b],[a0, b0]7→ [ab0+a0b, bb0].
1. Montrer que cette loi interne est bien définie.
2. Montrer que l’ensemble Q, muni de cette loi interne, est un groupe.
3. Est-ce que le groupe (Q,⊕)est commutatif ?
Exercice 3
On munit l’intervalle I= ]−1,+∞[de la loi interne ⊗définie par la formule
x⊗y=xy +x+y.
Montrer que (I, ⊗)est un groupe.
Exercice 4
1. Montrer que Snn’est pas commutatif si n>3. Rappeler le cardinal de ce groupe Sn.
2. Donner la table de Cayley de S2et de S3.
Exercice 5
Soit G={e, f}un ensemble fini à deux éléments. Décrire tous les structures de groupe possibles sur cet
ensemble, puis donner les tables de Cayley correspondantes. On verra plus tard que ces structures de
groupe sur Gsont isomorphes àZ/2Z.
Sous-groupes
Exercice 6
1. Soit Hun sous-groupe de (Z,+). Montrer qu’il existe un unique a∈Ntel que H=aZ.
2. Soient x, y ∈Z. Dans les deux cas suivants, vérifier que Hest un sous-groupe de (Z,+) et exprimer
aen fonction de xet y:
H=ux +vy, (u, v)∈Z2et H=xZ∩yZ.
Exercice 7
Soient pun premier, et N>1un entier. Calculer le cardinal du groupe Z/pNZ, et du groupe Z/pNZ∗.
9 février 2012 – feuille de TD no21/2

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Exercice 8
On rappelle que l’ensemble GL(n, R)des matrices inversibles de taille nà coefficients dans R, muni du
produit des matrices, est un groupe.
1. Notons Mn(Z)l’ensemble des matrices carrées de taille nà coefficients dans Z, et GL(n, Z)⊂
Mn(Z)le sous-ensemble de matrices de déterminant ∈ {±1}. Montrer que GL(n, Z)⊂GL(n, R)
est un sous-groupe.
2. Supposons n>2. On considère le sous-ensemble de GL(n, R)formé par des matrices inversibles
de trace nulle. Est-ce un sous-groupe de GL(n, R)?
3. Supposons n= 2. Montrer que le sous-ensemble suivant nous donne un sous-groupe commutatif
de GL(2,R):
U= 1x
0 1 :x∈R
Exercice 9
Soient Gun groupe et Hune partie finie non vide de Gstable par la loi de groupe. Montrer que Hest un
sous-groupe de G.
Qu’en est-il si Hest infini ?
Exercice 10
1. Soit R0l’ensemble des rotations du plan réel de centre 0. Montrer que (R0,◦)est un groupe abélien.
2. Soit S1l’ensemble des nombres complexes de module 1. Montrer que c’est un sous-groupe de (C?,×).
9 février 2012 – feuille de TD no22/2