Feuille de TD no2

Université de Bordeaux I – 2011/12
N1MA4M11
Feuille de TD no2
Groupes
Exercice 1
Les opérations suivantes sont-elles des lois de groupe ?
1.
a
a a
b a
c a
b
a
b
b
c
a
b
c
2.
a
a b
b c
c a
b
c
a
b
c
a
b
c
3.
a
b
c
d
a
a
b
d
c
b
b
a
c
d
c
c
d
b
a
d
d
c
a
b
Exercice 2
On considère la relation binaire sur Z × Z? définie par
∀(a, b), (c, d) ∈ Z × Z? ,
((a, b) ∼ (c, d)) ⇐⇒ (ad = bc) .
Notons Q l’ensemble quotient de Z × Z? par cette relation d’équivalence ∼, et pour (a, b) ∈ Z × Z? , on
désigne par [a, b] ∈ Q sa classe d’équivalence. On définit ensuite la loi interne ⊕ sur l’ensemble quotient
Q de la manière suivante
⊕ : Q × Q → Q,
[a, b], [a0 , b0 ] 7→ [ab0 + a0 b, bb0 ].
1. Montrer que cette loi interne est bien définie.
2. Montrer que l’ensemble Q, muni de cette loi interne, est un groupe.
3. Est-ce que le groupe (Q, ⊕) est commutatif ?
Exercice 3
On munit l’intervalle I = ]−1, +∞[ de la loi interne ⊗ définie par la formule
x ⊗ y = xy + x + y.
Montrer que (I, ⊗) est un groupe.
Exercice 4
1. Montrer que Sn n’est pas commutatif si n > 3. Rappeler le cardinal de ce groupe Sn .
2. Donner la table de Cayley de S2 et de S3 .
Exercice 5
Soit G = {e, f } un ensemble fini à deux éléments. Décrire tous les structures de groupe possibles sur cet
ensemble, puis donner les tables de Cayley correspondantes. On verra plus tard que ces structures de
groupe sur G sont isomorphes à Z/2Z.
Sous-groupes
Exercice 6
1. Soit H un sous-groupe de (Z, +). Montrer qu’il existe un unique a ∈ N tel que H = aZ.
2. Soient x, y ∈ Z. Dans les deux cas suivants, vérifier que H est un sous-groupe de (Z, +) et exprimer
a en fonction de x et y :
H = ux + vy, (u, v) ∈ Z2 et H = xZ ∩ yZ.
Exercice 7
∗
Soient p un premier, et N > 1 un entier. Calculer le cardinal du groupe Z/pN Z, et du groupe Z/pN Z .
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Exercice 8
On rappelle que l’ensemble GL(n, R) des matrices inversibles de taille n à coefficients dans R, muni du
produit des matrices, est un groupe.
1. Notons Mn (Z) l’ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans Z, et GL(n, Z) ⊂
Mn (Z) le sous-ensemble de matrices de déterminant ∈ {±1}. Montrer que GL(n, Z) ⊂ GL(n, R)
est un sous-groupe.
2. Supposons n > 2. On considère le sous-ensemble de GL(n, R) formé par des matrices inversibles
de trace nulle. Est-ce un sous-groupe de GL(n, R) ?
3. Supposons n = 2. Montrer que le sous-ensemble suivant nous donne un sous-groupe commutatif
de GL(2, R) :
1 x
U=
:x∈R
0 1
Exercice 9
Soient G un groupe et H une partie finie non vide de G stable par la loi de groupe. Montrer que H est un
sous-groupe de G.
Qu’en est-il si H est infini ?
Exercice 10
1. Soit R0 l’ensemble des rotations du plan réel de centre 0. Montrer que (R0 , ◦) est un groupe abélien.
2. Soit S1 l’ensemble des nombres complexes de module 1. Montrer que c’est un sous-groupe de (C? , ×).
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