MPSI 1 96-97 Feuille d`exercices 1

Lycée Berthollet - MPSI 1 - 2011-2012 Feuille d’exercices 17
Lois de composition interne .Groupes.
1- On pose dans
R
a b =a+b+mab avec m réel fixé.
Cette loi est-elle associative ? admet-elle un élément neutre ? quels sont éventuellement les éléments
symétrisables ?
R
muni de cette loi peut-il être un groupe ?
2-
e
a
b
c
d
e
a
e
b
a
c
d
Pouvez-vous compléter la table de composition de
la loi pour que cette loi soit une loi de groupe
admettant e comme élément neutre ?
(on pourra d’abord montrer a a =b)
3- Combien y a-t-il de lois de composition interne sur un ensemble de cardinal n ?
Combien sont commutatives ? Combien ont un élément neutre ? (Penser à la construction de la table )
4- Soit E muni d'une loi de composition interne associative d'élément neutre e.
Pour a fixé dans E , on définit l’application
a
T
de E dans E par
*
a
T x a x
a) Que dire de Ta si a est régulier ?
b) On suppose que E est fini et que tout élément est régulier; montrer que Ta est bijective et que a admet un
symétrique.
5- G =
\2R
On pose pour
2
,x y G
* 2( ) 6x y xy x y   
a) Montrer que
,*G
est un groupe commutatif.
b) Montrer que
:2xx
est un isomorphisme de groupes de G sur
*,.R
c) Montrer que
2,
est un sous-groupe de G.
d) Pour x dans G et n dans
N
, on note
** *...* n
x x x x
. Expliciter
*n
x
6- Montrer que si dans le groupe G tout élément vérifie x² = e alors G est commutatif.
7- Déterminer les sous- groupes finis de
*,.R
8- Soit (G , ) un groupe. C= {a G / x G a x = x a }.
Montrer que C est un sous-groupe de G . (On l’appelle le centre de G ).
9- Soit H et K deux sous-groupes de ( G, . ).
Montrer que
HK
est un sous-groupe de G si et seulement si
HK
ou
KH
10- Montrer qu’il n’existe pas d’isomorphisme de groupe de
,Q
dans
*,.
Q
(indication: si a est l’antécédent de 2 calculer f(a/2) ).
11- Déterminer les endomorphismes de
,Z
12- Soit f un morphisme de groupes de G dans G’.
Montrer que l’image par f d’un sous-groupe de G est un sous-groupe de G’
Montrer que l’image réciproque par f d’un sous-groupe de G’ est un sous-groupe de G
13 - Montrer que pour a fixé dans le groupe G,
1
: . .x a x a
est un automorphisme de groupe.