MPSI 1 96-97 Feuille d`exercices 1

Lycée Berthollet - MPSI 1 - 2011-2012 Feuille d’exercices 17
Lois de composition interne .Groupes.
1- On pose dans R a  b =a+b+mab avec m réel fixé.
Cette loi est-elle associative ? admet-elle un élément neutre ? quels sont éventuellement les éléments
symétrisables ? R muni de cette loi peut-il être un groupe ?
2e a b c d
e
a
b
c
d
Pouvez-vous compléter la table de composition de
la loi  pour que cette loi soit une loi de groupe
admettant e comme élément neutre ?
e
a
(on pourra d’abord montrer a  a =b)
3- Combien y a-t-il de lois de composition interne sur un ensemble de cardinal n ?
Combien sont commutatives ? Combien ont un élément neutre ? (Penser à la construction de la table )
4- Soit E muni d'une loi de composition interne  associative d'élément neutre e.
Pour a fixé dans E , on définit l’application Ta de E dans E par Ta  x   a * x
a) Que dire de Ta si a est régulier ?
b) On suppose que E est fini et que tout élément est régulier; montrer que Ta est bijective et que a admet un
symétrique.
5- G = R \ 2 On pose pour  x, y   G 2 x * y  xy  2( x  y)  6
a) Montrer que  G,* est un groupe commutatif.
b) Montrer que  : x
c) Montrer que
2, 


x  2 est un isomorphisme de groupes de G sur R * , .
est un sous-groupe de G.
d) Pour x dans G et n dans N , on note x*n  x * x *...* x . Expliciter x*n
6- Montrer que si dans le groupe G tout élément vérifie x² = e alors G est commutatif.


7- Déterminer les sous- groupes finis de R * , .
8- Soit (G ,  ) un groupe. C= {a  G /  x  G a  x = x  a }.
Montrer que C est un sous-groupe de G . (On l’appelle le centre de G ).
9- Soit H et K deux sous-groupes de ( G, . ).
Montrer que H  K est un sous-groupe de G si et seulement si H  K ou K  H
10- Montrer qu’il n’existe pas d’isomorphisme de groupe de  Q,   dans
 Q , .
*
(indication: si a est l’antécédent de 2 calculer f(a/2) ).
11- Déterminer les endomorphismes de  Z,  
12- Soit f un morphisme de groupes de G dans G’.
Montrer que l’image par f d’un sous-groupe de G est un sous-groupe de G’
Montrer que l’image réciproque par f d’un sous-groupe de G’ est un sous-groupe de G
13 - Montrer que pour a fixé dans le groupe G,  : x
a.x.a 1 est un automorphisme de groupe.