Lois de composition interne, structure de groupe Exercice 1 Etudier la loi de composition interne définie sur R par x ∗ y = x + y − x y. Même question en remplaçant R par R \ {1}. x+y Exercice 2 Soit E =] − 1; 1 [ ; on définit pour (x, y) ∈ E 2 , x ∗ y = 1+x y. Montrer que ∗ est une lci sur E et que (E, ∗) est un groupe abélien. Exercice 3 Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique. Exercice 4 Montrer que les éléments d’ordre fini d’un groupe commutatif (G, ·) forment un sous-groupe. En est-il de même si le groupe n’est pas commutatif ? Exercice 5 Soit (G, ·) un groupe. a) Soit f un automorphisme du groupe G. Montrer que pour tout x ∈ G, x et f (x) ont même ordre. b) Soit x et y 2 éléments de G. Montrer que x y et y x ont même ordre. Exercice 6 Soit (G, ·) un groupe, H1 et H2 2 sous-groupes de G. Montrer que H1 ∪ H2 est un sous-groupe de G ssi (H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1 ). Exercice 7 On considère la lci définie sur Z par : a ? b = a + (−1)a b. La loi ? est-elle commutative ? Montrer que (Z, ?) est un groupe. 1 Exercice 8 Soit (G, ·) un groupe. On note C = {x ∈ G / ∀y ∈ G, x y = y x} le centre du groupe G. a) Montrer que C est un sous-groupe de G. b) On note S3 l’ensemble des permutations de [ 1; 3 ]. Déterminer le centre du groupe (S3 , ◦). Exercice 9 Soit (G, ·) un groupe et H une partie finie no vide de G stable pour la loi ·. Montrer que H est un sous-groupe de G (si h ∈ H, étudier l’application de x ∈ H → h x). ¯ ¯ C → C Exercice 10 Si (a, b) ∈ × C, on définit fa,b : ¯¯ . z 7→ a z + b On note S = {fa,b ; (a, b) ∈ C∗ × C}. Montrer que S est un sous-groupe de l’ensemble des bijections de C dans C. C∗ 2