Lois de composition interne, structure de groupe

Lois de composition interne, structure de groupe
Exercice 1 Etudier la loi de composition interne d´efinie sur Rpar x∗y=x+y−x y.
Mˆeme question en rempla¸cant Rpar R\ {1}.
Exercice 2 Soit E=] −1; 1 [ ; on d´efinit pour (x, y)∈E2, x ∗y=x+y
1+x y .
Montrer que ∗est une lci sur Eet que (E, ∗) est un groupe ab´elien.
Exercice 3 Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.
Exercice 4 Montrer que les ´el´ements d’ordre fini d’un groupe commutatif (G, ·) forment un
sous-groupe. En est-il de mˆeme si le groupe n’est pas commutatif ?
Exercice 5 Soit (G, ·) un groupe.
a) Soit f un automorphisme du groupe G. Montrer que pour tout x∈G,xet f(x) ont mˆeme
ordre.
b) Soit xet y2 ´el´ements de G. Montrer que x y et y x ont mˆeme ordre.
Exercice 6 Soit (G, ·) un groupe, H1et H22 sous-groupes de G. Montrer que H1∪H2est
un sous-groupe de Gssi (H1⊂H2ou H2⊂H1).
Exercice 7 On consid`ere la lci d´efinie sur Zpar : a ? b =a+ (−1)ab. La loi ?est-elle
commutative ? Montrer que (Z, ?) est un groupe.
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Exercice 8 Soit (G, ·) un groupe. On note C={x∈G / ∀y∈G, x y =y x}le centre du
groupe G.
a) Montrer que Cest un sous-groupe de G.
b) On note S3l’ensemble des permutations de [ 1; 3 ]. D´eterminer le centre du groupe (S3,◦).
Exercice 9 Soit (G, ·) un groupe et Hune partie finie no vide de Gstable pour la loi ·.
Montrer que Hest un sous-groupe de G(si h∈H, ´etudier l’application de x∈H→h x).
Exercice 10 Si (a, b)∈C∗×C, on d´efinit fa,b :
¯
¯
¯
¯
C→C
z7→ a z +b.
On note S={fa,b ; (a, b)∈C∗×C}. Montrer que Sest un sous-groupe de l’ensemble des
bijections de Cdans C.
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