Planche no24. Structures
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile
I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exercice no1 (***T)
Sur R2, on définit une loi par
((x, y),(x, y)) R22,(x, y)(x, y) = x+x, yex
+yex.
1) Montrer que R2,est un groupe non abélien.
2) Trouver les application fdérivables sur Rtelles que {(x, f(x)), x R}soit un sous-groupe de R2,.
Exercice no2 (***T)
Sur ] − 1, 1[, on définit une loi par
(x, y)(] − 1, 1[)2,(x, y)(x, y) = x+y
1+xy .
Montrer que (] − 1, 1[,)est un groupe commutatif.
Exercice no3 (*IT)
1) Montrer que Uest un sous-groupe de (C,×).
2) Montrer que pour tout entier naturel non nul n,Unest un sous-groupe de (U, ×).
Exercice no4 (**T)
Sur Eun ensemble.
1) Montrer que (P(E), ∆)est un groupe commutatif.
2) Montrer que (P(E), ∆, )est un anneau commutatif.
Exercice no5 (**T)
Montrer que a+b2, (a, b)Q2,+,×est un corps commutatif.
Exercice no6 (***I) (Sous groupes de (Z,+))
1) Soient aun entier relatif puis G=aZ. Montrer que Gest un sous-groupe de (Z,+).
2) Réciproquement, montrer que tous les sous-groupes de (Z,+) sont de la forme aZaZ(considérer, s’il existe,
a=MinGZ
+).
Exercice no7 (***I) (Sous groupes de (R,+))
1) Montrer que les sous groupes du groupe (R,+) sont soit de la forme aZ,aréel donné, soit denses dans R.
Indication : pour Gsous-groupe donné de (R,+), non réduit à {0}, considérer a=Inf (G]0; +[) puis envisager les deux
cas a=0et a > 0.
(Rappel : Gest dense dans Rsi et seulement si : (xR,ε > 0, yG/ |yx|< ε).
2) Application 1. Montrer que a+b2, (a, b)Z2est dense dans R.
3) Application 2 (groupe des périodes d’une fonction).
a) Soit fune fonction définie sur Rà valeurs dans R. Montrer que l’ensemble des périodes de fest un sous groupe
de (R,+) (ce sous-groupe est réduit à {0}si fn’est pas périodique).
b) Montrer qu’une fonction continue sur Rqui admet 1et 2pour périodes, est constante sur R.
c) Trouver une fonction dont le groupe des périodes est dense dans Rmais n’est pas égal à R.
http ://www.maths-france.fr 1 c
Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
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