Convergence de variables aléatoires 1) Convergence quadratique

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Convergence de variables aléatoires
1) Convergence quadratique et convergence en probabilité
Dé…nition : On dé…nit la norme quadratique d’une variable aléatoire par kXk2 =
Remarque : Si X :
! R et
est …ni et muni de la probabilité , alors kXk2 =
p
E(X 2 ):
pP
!2
X(!)2 (!):
Remarque : La norme quadratique est la norme associée au produit scalaire hX; Y i = E(XY ):
Dé…nition : On dit qu’une suite (Xn )n2N converge quadratiquement vers X ssi limn!+1 kXn
Xk2 = 0:
Dé…nition : On dit qu’une suite (Xn )n2N converge en probabilité vers X ssi pour tout " > 0,
lim P (jXn
n!+1
Xj
") = 0
a) Soit c réel. On suppose limn!+1 E(Xn ) = c et limn!+1 V (Xn ) = 0: Montrer que limn!+1 kXn
ck2 = 0:
b) Montrer que si (Xn )n2N converge quadratiquement vers X, alors (Xn )n2N converge en probabilité vers X:
Solution :
a) kXn
e
ck2
kXn
E(Xn )k2 + kE(Xn )
En e¤et, la variable aléatoire E(Xn )
Xj
") = P ((Xn
c)2
p
V (Xn ) + jE(Xn )
c est constante, donc kE(Xn )
b) On applique l’inégalité de Markov à (Xn
On a P (jXn
ck2 =
"2 )
cj :
ck2 = jE(Xn )
cj :
c)2 :
kXn ck22
E((Xn c)2 )
=
, donc limn!+1 P (jXn
"2
"2
Xj
") = 0:
2) Un exemple : Nombre de points sans antécédent par une application
On considère l’ensemble
des nm applications f de f1; 2; :::; mg dans f1; 2; :::; ng, muni de la probabilité uniforme.
utrement dit, l’image par f de tout j 2 f1; 2; :::; mg est choisi dans f1; 2; :::; ng avec la même probabilité, de sorte
que chaque fonction f a la même probabilité d’être choisie.
On note X :
! N la variable aléatoire donnant le nombre de points sans antécédent.
Pour i 2 f1; 2; :::; ng, on note Yi la variable aléatoire valant 1 si i n’admet aucun antécédent, et 0 sinon.
a) Préciser la loi de Yi et celle de Yi Yj , où i 6= j:
b) Exprimer X à l’aide des Yi , et en déduire E(X) et V (X):
c) On suppose m = n. On note désormais Xn au lieu de X, pour rappeler que X est fonction de n.
Donner un équivalent de E(Xn ) lorsque n tend vers +1 et justi…er brièvement que V (Xn ) = O(n).
d) En déduire que la suite
Xn
n
converge en probabilité vers une variable Z qu’on précisera.
n2N
Solution :
a) Les applications f pour lesquelles i n’a pas d’antécédent sont celles à valeurs dans f1; 2; :::; ng n fig:
Donc on a P (Yi = 1) =
1)m
(n
nm
=
m
1
n
1
:
1
1
n
Comme Yi Yj est à valeurs dans f0; 1g, Yi Yj suit la loi de Bernoulli B
1
Comme Yi est à valeurs dans f0; 1g, Yi suit la loi de Bernoulli B
b) On a X =
Et V (X) =
Pn
i=1 Yi ,
Pn
i=1 E(Yi )
+2
P
i6=j
1
n
On en déduit notamment que E(Xn )
d) On a ainsi limn!+1 E
1+O
Xn
n
Il résulte alors de a) et b) que
m
2
n
=e
= exp n ln 1
2
2
n
1
m
:
1
n
+n 1
m
n2
n
n
Et aussi V (Xn ) = n2 e
=
1
n
1,
1
n
et en fait on a :
= exp
ne
m
2
n
:
1+O
1
1
n
1
n
2m
1
n
1
:
n
=e
=e
1
1 exp
1+O
O
1
n
1
n
:
=e
1
1+O
1
n
:
1:
+ n O (1)
= limn!+1
Xn
n
:
1 m
:
n
Pn
P
Pn
2
i=1 E(Yi ) = 2
i=1 V (Yi ):
i6=j E(Yi Yj ) +
E(Yi Yj )
1) 1
1
n
c) On sait que limn!+1 1
1
nm
donc E(X) = n 1
On obtient donc V (X) = n(n
En e¤et,
2)m
(n
Lorsque i 6= j, on a P (Yi Yj = 1) =
m
n2 e
2
1+O
1
n
E(Xn )
= e et limn!+1 V
n
= O (n) :
Xn
n
= limn!+1
V (Xn )
= 0:
n2
converge en probabilité vers la variable Z constante de valeur e
1:
n2N
Ainsi, la probabilité qu’un élément de l’image n’ait pas d’antécédent converge vers e
1
lorsque n tend vers +1:
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