Convergences et théorème limites

X  > 0
P(X > )≤E(X)
X E(X)σ2 > 0
P(|X−E(X)|> )≤σ2
2
(Xn) (Ω,B, P )
(Fn)X
F
(Xn)X Xn
L
−→ X
Fn(x)→F(x)F
hR R limnE(h(Xn)) = E(h(X))
(Xn)X Xn
p
−→ X  > 0
limnP({| Xn−X|> }) = 0
(Xn)X Xn
p.s.
−−→ X
P({ω∈Ω|Xn(ω)→X(ω)})=1
(En)
∞
X
n=1
P(En)<+∞ ⇒ P(lim supn(En)) = 0
En
∞
X
n=1
P(En) = +∞ ⇒ P(lim supn(En)) = 1
lim supn(En) = ∩n∈N∪p≥nEn
r r >= 0
(Xn)r X
Xn
Lr
−→ X si limnE(|Xn−X|r)=0
r

(Xn)E(X)
X1+... +Xn
n
p
−→ E(X)
(Xn)E(X)
σ2
X1+... +Xn
n
p
−→ E(X)
(Xn)E(X)
X1+... +Xn
n
p.s.
−−→ E(X)
(Xn)E(X)
σ2<+∞
X1+... +Xn−nE(X)
σ√n
L
−→ N(0,1)
X1+... +Xn
n−E(X)
σ
√n
L
−→ N(0,1)
X
n≥30

X X
t
ϕX(t) = E[eitX ] = REeitxµX(dx)
X µX=Pkpkδxk
ϕX(t) = Pkpkeitxk
X f λ
µX(dx) = fX(x)dx
ϕX(t) = RReitxf(x)dx
Rd
ϕX(u) = E(ei<u,X>)
B(n, p)pk=n
kpkqn−k(0 ≤k≤n) (q+peit)n
P(λ)pk=eλλk
k!(k≤0, λ ≤01) eλ(eit−1)
G(p)pk=pqk−1(k≤1) peit
1−qeit
E(λ)f(x) = λe−λxI[0,∞[(x) (λ > 0) λ
λ−it
N(0,1) f(x) = 1
√2πe−x2/2e−t2/2
C(0,1) f(x) = 1
π
1
1 + x2e−|t|
µRdˆµ µ
f(x) = 1
(2π)dRRde−it.x ˆµ(t)dt
(X, Y )
(X, Y )
X Y
∀(u, v)∈R2, ϕ(X,Y )(u, v) = ϕX(u)ϕY(v)
∀t∈RϕX+Y(t) = ϕX(t)ϕY(t)
(XnRd
XRdϕXnϕX
XnX
ϕXnϕX