Fonction caractéristique

Fonction caractéristique
Cf. files d’attente
2 applications dans poly (p41)
Fonction génératrice, permet des calculs de variances, moments, etc.
Variable aléatoire complexe : à supprimer
Convergence de suite de V.A. au devoir :
- convergence Xn tend vers x (apparition de x dans jeu de pile ou face), on trouve entre
45 et 55 piles sur 100 lancés, cela converge vers ½. La fréquence relative converge
vers ½.
- Loi de probabilité se rapproche de la loi de x, on parle de convergence en loi ( c’est la
plus utile) (loi des grands nombre, la moyenne empirique converge vers l’espérance
mathématique) (intéressant dans le cas Bernoulli)
- Convergence en loi : théorème centrale limite (PRESENT DS DEVOIR), la loi de Xn
converge vers une loi de probabilité donnée. La fonction de répartition converge vers
une limite, facilite les calculs. Cela justifie l’utilisation très fréquente de la loi
gaussienne
2 points importants
- le théorème de transfert qui permet de calculer des espérances mathématiques, pp 30
31
C’est basique de calculer une espérance : trois formules pour cas mixte discret ou continue
III 6. A, B, C On a besoin de la densité ou des valeurs (discret), mais pas toujours ;
On peut utiliser une fonction :
Exemple
X ____________>g(x)
E(y)=int[g(x)f(x)dx]
E[X1]=int[int[f,X1,X2(x1,x2)dx1]dx2],
E[X1, X2]= int[int[x1.x2.fX1,X2(x1,x2) dx1]dx2] (de -l’infini a +l’infini)
Cov(X1, X2) = E[(X1 – E[X1]).(X1 – E[X2])] = E[X1.X2] –E[X1].E[X2]
Il est intéressant d’étudier les combinaisons linéaires de variables aléatoires : fin p36
Pas de droite de régression car on ne peut pas trop faire d’exos dessus.
Le coefficient de corrélation : pas dans le contrôle, mais il faut le comprendre.
On reverra ces notions en analyse de donnée.

Le théorème de transfert est TRES IMPORTANT !
PROBABILITES CONDITIONNELLES page 59
Introduit en début de cours probabilité de l’intersection divisé par p(B)
P(A/P) = P ( A inter B) / P(B)
Il faut l’interpréter comme la probabilité de l’événement A quand on sait que B est
réalisée.
Ça peut être la même que la probabilité a priori ou a posteriori, vérifié tous les théorème
de probabilité
La probabilité conditionnelle est une probabilité normale !!!
P93, 94 exercices qui ressemblent à ceux du devoir !
Il y aura des changements de variables, lois marginales,
covariances, espérances,
2 exercices avec de nombreuses questions.