Propriétés fondamentales de R et suites

Propriétés fondamentales de R et suites numériques
réelles
Denis Vekemans
1
∗
Ordre total compatible
En algèbre générale, un groupe ordonné est la donnée d’une ensemble G, muni d’une loi de composition
interne notée + lui conférant une structure de groupe, et d’une relation d’ordre notée ≤ compatible avec la
loi de groupe.
Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d’ordre ≤ est compatible avec la
loi + si, pour tous éléments x, y et g du groupe G, la relation x ≤ y entraîne les relations g + x ≤ g + y et
x + g ≤ y + g.
On appelle groupe totalement ordonné un groupe ordonné dont la relation d’ordre est totale.
Exemples ...
– Le groupe additif (Z, +) des entiers relatifs, muni de la relation d’ordre habituelle, est un groupe abélien
totalement ordonné.
– Le groupe multiplicatif (R∗+ , ×) des réels strictement positifs est un autre groupe abélien totalement
ordonné.
– Mais le groupe multiplicatif (R∗ , ×) des réels non nuls n’est pas un groupe ordonné.
Toujours en algèbre générale, un corps ordonné est la donnée d’un corps (K, +, ×), muni d’une relation
d’ordre notée ≤ compatible avec la structure de corps.
Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d’ordre ≤ est compatible avec la
structure de corps de (K, +, ×) si les deux conditions suivantes sont réunies :
1. Le groupe additif (K, +) est un groupe ordonné par la relation d’ordre (c’est-à-dire que celle-ci est
compatible avec l’addition).
2. On a, pour tous éléments x et y du corps (K, +, ×) tels que x ≥ 0 et y ≥ 0, l’inégalité x × y ≥ 0 (la
relation d’ordre est compatible avec la multiplication).
Par commodité, on dira par la suite qu’un élément x de K est positif si l’on a x ≥ 0, et qu’il est négatif si
l’on a x ≤ 0 (on remarquera, par antisymétrie de la relation d’ordre ≤, que 0 est l’unique élément du corps
à la fois positif et négatif).
∗
Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1
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2007
Propriétés fondamentales de R et suites numériques réelles
On appelle corps totalement ordonné un corps ordonné pour lequel la relation d’ordre est totale.
Exemples ...
– Le corps Q des rationnels, muni de la relation d’ordre habituelle, est un corps totalement ordonnés.
– Le corps R des réels, muni de la relation d’ordre habituelle, est un corps totalement ordonnés.
En revanche, le corps C des nombres complexes ne peut pas être muni d’une structure de corps totalement
ordonné.
Démonstration. On raisonne par l’absurde en supposant que C est muni d’une relation d’ordre compatible
avec sa strucure de corps, et le rendant totalement ordonné. On note ≤ cette relation (on prendra cependant
garde à ce qu’elle n’a a priori aucune raison de coïncider avec la relation d’ordre usuelle par restriction aux
nombres réels). On note ı l’un des deux nombres complexes de carré égal à −1. Comme l’ordre est total,
d’après la règle des signes et l’égalité ı2 = −1, on obtiendrait l’inégalité −1 ≥ 0. Cela entraînerait, par
passage à l’opposé, l’inégalité 0 ≥ 1. Mais comme 0 et 1 sont comparables, on a nécessairement 0 ≤ 1, et l’on
obtiendrait l’égalité 0 = 1, ce qui est une contradiction. Par conséquent, la relation d’ordre ne peut pas être
à la fois totale et compatible avec la structure de corps de C.
Théorème 1
(R, +, ×, ≤) est un corps totalement ordonné.
Propriétés ...
– On peut additionner des inégalités : si ∀i ∈ [[1, n]], xi ≤ yi , alors
n
X
i=1
xi ≤
n
X
yi .
i=1
– Pour passer à l’opposé une inégalité : si x ≤ y, alors −y ≤ −x.
– On peut multiplier des inégalités à termes positifs : si ∀i ∈ [[1, n]], 0 ≤ xi ≤ yi , alors
0≤
n
Y
i=1
xi ≤
n
Y
yi .
i=1
– Pour passer à l’inverse une inégalité à termes positifs : si 0 < x ≤ y, alors 0 <
2
1
y
≤ x1 .
Archimède
A l’origine, l’énoncé de l’axiome d’Archimède est le suivant : "Pour deux grandeurs inégales, il existe
toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande."
Soit (G, +, ≤) un groupe commutatif totalement ordonné.
(G, +, ≤) vérifie l’axiome d’Archimède ou est archimédien si et seulement si quels que soient les éléments
a > 0 et b ≥ 0 de G, il existe un entier naturel n tel que n × a ≥ b.
Soit (K, +, ×, ≤) un corps totalement ordonné.
(K, +, ×, ≤) vérifie l’axiome d’Archimède ou est archimédien si et seulement si le groupe commutatif
(K, +, ≤) lui-même est archimédien.
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Théorème 2
R est archimédien.
3
Valeur absolue
Soit x ∈ R, on définit sa valeur absolue |x| par |x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x < 0.
Propriétés ...
– ∀x ∈ R, |x| ∈ R+ .
– ∀x ∈ R, |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
– ∀x ∈ R, −|x| ≤ x ≤ |x|.
– ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, |x × y| = |x| × |y|.
– ∀x ∈ R, ∀y ∈ R∗ , | xy | =
|x|
|y| .
La distance d(x, y) entre deux valeurs réelles x et y peut s’exprimer à l’aide de la valeur absolue :
d(x, y) = |x − y|.
Théorème 3
Inégalités triangulaires.
∀x ∈ R, ∀y ∈ R, |x + y| ≤ |x| + |y|.
∀x ∈ R, ∀y ∈ R, ||x| − |y|| ≤ |x + y|.
4
Borne supérieure
Théorème 4
Théorème de la borne supérieure. Toute partie A non vide majorée de l’ensemble R des nombres réels
admet une borne supérieure supA .
Caractérisation de la borne supérieure ...
– Soit A une partie non vide majorée de l’ensemble R, le réel M est supA si et seulement si M majore
A (i.e. ∀x ∈ A, x ≤ M ) et M − ε ne majore pas A (i.e. ∀ε > 0, ∃x ∈ A tel que M − ε < x ≤ M ).
Une partie I de R est un intervalle si lorsqu’elle contient deux réels, elle contient alors tous les réels
intermédiaires. En d’autres termes, ∀x ∈ I, ∀y ∈ I, [x, y] ∈ I.
Il en existe différents types : [a, ∞[, ] − ∞, b], ]a, ∞[, ] − ∞, b[, [a, b], {a}, [a, b[, ]a, b], ∅, R.
5
Partie entière d’un réel
Soit x un réel, le plus grand entier inférieur ou égal à x est appelé partie entière de x et se note E(x).
On a donc pour tout réel x : E(x) ∈ Z et E(x) ≤ x < E(x) + 1.
Valeurs décimales approchées ... La partie entière permet de définir les valeurs décimales par excès et
par défaut d’un réel x donné : pour x ∈ R et n ∈ N, la valeur décimale par défaut de x à 10−n près est
un =
E(10n x)
10n
et la valeur décimale par excès de x à 10−n près est vn =
1+E(10n x)
10n
= un + 10−n .
Densité de Q dans R ... Il existe une suite (croissante) de nombres rationnels (rn )n convergeant vers x.
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Théorème 5
Soit ]a, b[ un intervalle non vide de R. Alors, il existe r ∈ Q tel que r ∈]a, b[. On dit que Q est dense dans R.
6
Suites réelles
Soit l ∈ R. On dit que la suite (un )n∈N converge vers l si
∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que n ≥ N =⇒ |un − l| ≤ ε.
n→∞
On note limn→∞ un = l ou un −→ l et on dit que la suite est convergente. Si la suite ne converge vers aucun
réel, on dit que la suite est divergente.
Théorème 6
La suite (un )n∈N converge vers l si et seulement si la suite (|un − l|)n∈N converge vers 0.
Théorème 7
R est complet (i.e. toute suite de Cauchy de R converge et réciproquement).
Théorème 8
Si la suite (un )n∈N converge, alors sa limite est unique.
Théorème 9
Toute suite convergente est bornée.
La suite (vn )n∈N est extraite de la suite (un )n∈N s’il existe une application φ strictement croissante de
N dans N telle que vn = uφ(n) .
Théorème 10
Toute suite extraite d’une suite convergente (un )n∈N converge vers la même limite que (un )n∈N .
Théorème 11
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles, λ et µ deux réels.
– Si limn→∞ un = l1 et limn→∞ vn = l2 , alors limn→∞ λun + µvn = λl1 + µl2 .
– Si limn→∞ un = l1 et limn→∞ vn = l2 , alors limn→∞ un vn = l1 l2 .
– Si limn→∞ un = l1 et limn→∞ vn = l2 6= 0, alors limn→∞
un
vn
=
l1
l2 .
Théorème 12
Soient (un )n∈N une suite convergeant vers l et soient λ et µ deux réels.
– Si pour tout n ∈ N, un ≤ λ, alors l ≤ λ.
– Si pour tout n ∈ N, un ≥ µ, alors l ≥ µ.
– Théorème du gendarme. Si pour tout n ∈ N, |un | ≤ αn et si limn→∞ αn = 0, alors limn→∞ un = 0.
On dit que la suite (un )n∈N tend vers +∞ ou diverge vers +∞ et on note limn→∞ un = +∞ ou
n→∞
un −→ +∞ si
∀A ∈ R, ∃N ∈ N tel que n ≥ N =⇒ un ≥ A.
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On dit que la suite (un )n∈N tend vers −∞ ou diverge vers −∞ et on note limn→∞ un = −∞ ou
n→∞
un −→ −∞ si
∀A ∈ R, ∃N ∈ N tel que n ≥ N =⇒ un ≤ A.
Théorème 13
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles.
– Si limn→∞ un = +∞ et si (vn )n∈N est minorée, alors limn→∞ un + vn = +∞.
– Si limn→∞ un = +∞ et limn→∞ vn = l > 0, alors limn→∞ un vn = +∞.
– Si limn→∞ un = +∞, alors limn→∞
1
un
= 0.
– Si un > 0 et limn→∞ un = 0, alors limn→∞
1
un
= +∞.
Théorème 14
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles telles que :
1. limn→∞ vn = +∞,
2. ∀n ∈ N, vn ≤ un ,
alors la suite (un )n∈N diverge aussi vers +∞.
Théorème 15
Théorème de la limite monotone. Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite croissante et
non majorée diverge vers +∞.
On dit que les suites réelles (un )n∈N et (vn )n∈N sont adjacentes si l’une est crcoissante, l’autre décroissante et si la suite (un − vn )n∈N tend vers 0.
Théorème 16
Théorème des suites adjacentes. Si les suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont adjacentes, alors elles convergent
toutes les deux vers la même limite.
Théorème 17
Théorème de Bolzano-Weierstrass. De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous suite convergente.
si
Soit la suite réelle (un )n∈N et soit λ ∈ R. On dit que λ est une valeur d’adhérence de la suite (un )n∈N
∀ε > 0, ∀N ∈ N, ∃n ≥ N, tel que |un − λ| < ε.
Caractérisation de la valeur d’adhérence ...
Soit la suite réelle (un )n∈N et soit λ ∈ R. "λ est une valeur d’adhérence de la suite (un )n∈N " équivaut à
"il existe une suite extraite de (un )n∈N , de limite λ".
Théorème 18
Soit A une partie de R. a est un point d’accumulation de A si et seulement s’il existe une suite de (un )n∈N
d’éléments de A distincts de a lui-même telle que limn→∞ un = a.
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Propriétés fondamentales de R et suites numériques réelles
Suites récurrentes du type un+1 = f (un ) ...
On dit que I est un intervalle stable pour f si f (I) ⊂ I.
Théorème 19
Si u0 ∈ I et si un+1 = f (un ) avec I intervalle stable pour f , alors
– la suite (un )n∈N est définie,
– quand f est croissante, la suite (un )n∈N est croissante lorsque u1 > u0 et décroissante lorsque u1 < u0 ,
– et quand f est décroissante, la suite (u2n )n∈N est croissante lorsque u2 > u0 et décroissante lorsque
u2 < u0 , pendant que la suite (u2n+1 )n∈N est de monotonie contraire.
Exercice 1
Justifier que le groupe multiplicatif (R∗ , ×) des réels non nuls n’est pas un groupe ordonné.
Exercice 2
On définit la fonction
g : R −→ R ; x 7−→ g(x) =
|x|
.
1 + |x|
Démontrer que pour tout (x, y) ∈ R2 , g(x + y) ≤ g(x) + g(y).
Exercice 3
Montrer que si A = {1 − n1 |n ∈ N∗ }, alors supA = 1.
Exercice 4
Soit A une partie non vide et majorée de R. Soit M un majorant de A tel qu’il existe une suite
(un )n∈N d’éléments de A qui converge vers M .
1. Montrer que supA = M .
2. Application : déterminer supA et inf A pour A = {(−1)n+1 + n1 |n ∈ N∗ }.
Pour tout n ∈ N∗ , on définit l’ensemble de réels En = {k + nk |k ∈ N∗ }.
1. Montrer que En admet une borne inférieure et que inf En = inf k∈[[1,n]] k + nk .
√
√
2. Montrer que ∀n ∈ N∗ , inf En ≥ 2 n. Dans quels cas y a-t-il égalité inf En = 2 n ?
Exercice 5
Exercice 6
1
+ n1 |m ∈ N∗ , n ∈ N∗ }. Déterminer inf E et sup E.
0n définit l’ensemble de réels E = { m
Exercice 7
Montrer que ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, E(x + n) = E(x) + n.
Exercice 8
Soit x ∈ R et n ∈ N∗ . Montrer que E( E(nx)
n ) = E(x).
Exercice 9
Soit x ∈ R et n ∈ N∗ . Montrer que
Exercice 10
Pn−1
k=0
E(x + nk ) = E(nx).
Montrer que toute suite extraite d’une suite convergente est convergente de même limite.
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Exercice 11
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Propriétés fondamentales de R et suites numériques réelles
Soit (un )n∈N une suite. On suppose que les suites extraites (u3n )n∈N , (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N
sont convergentes. Montrer qu’elles ont même limite et que (un )n∈N converge.
Exercice 12
Montrer que la suite (cos n)n∈N diverge.
Exercice 13
P
Montrer que la suite ( nk=1 k1 )n∈N diverge.
Exercice 14
Moyenne de Cesaro.
1. Soit (un )n∈N une suite qui converge vers l. On pose ∀n ∈ N, vn =
1
n+1
Pn
p=0 up .
Montrer que la suite
(vn )n∈N converge vers l.
2. Réciproquement, considérer l’une des suites ((−1)n )n∈N ou (sin n)n∈N , et conclure.
3. On suppose, de plus, que (un ) une suite croissante. Montrer que si (vn )n∈N converge vers l, (un )n∈N
converge vers l.
Exercice 15
Soit (un )n∈N une suite qui converge vers l. On pose ∀n ∈ N, vn =
que la suite (vn )n∈N converge vers
Exercice 16
1
n2
Pn
p=1 pup .
Montrer
l
2.
Soit (an )n∈N une suite qui vérifie limn→∞ (an+1 − an ) = l. Déterminer
an
lim
n→∞ n
et
lim
Pn
p=1 ap
.
n2
n→∞
Soient (un )n∈N une suite qui converge vers l et (vn )n∈N une suite qui converge vers l′ . On
1 Pn
′
pose ∀n ∈ N, wn = n+1
p=0 up vn−p . Montrer que la suite (wn )n∈N converge vers ll .
Exercice 17
Exercice 18
Prouver que
lim
n→∞
Pn
p=1 p!
n!
= 1.
P
1
est monotone et convergente ; montrer
Montrer que la suite de terme général un = np=1 n+p
Pn
1
que la suite de terme général vn = p=1 2n+2p+1 est monotone et convergente.
Exercice 19
Exercice 20
1
2
Montrer que la suite de terme général un =
Pn
p=1
√
1
(n+k)(n+k+1)
est convergente et que
≤ limn→∞ un ≤ 1.
Exercice 21
On considère les deux suites de termes généraux un =
Pn
1
p=0 p!
et vn = un +
1
nn! ,
pour
n ≥ 1. Montrer qu’elles sont adjacentes. Montrer que leur limite commune n’est pas rationnelle.
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Propriétés fondamentales de R et suites numériques réelles
Exercice 22
Soit la suite de terme général un = cos(n!πx), où x est un réel donné. Montrer que si x
est rationnel, (un ) est convergente. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 23
Soit (pn )n∈N une suite bornée d’entiers naturels non nuls. Soit (qn )n∈N une suite d’entiers
naturels non nuls tels que qn divise qn+1 , avec limn→∞
P
un = nk=1 pqkk converge vers une limite non rationnelle.
qn
qn+1
= 0. Montrer que la suite de terme général
√
Exercice 24
Etudier la suite (un )n∈N définie par u0 ≥ − 32 et un+1 =
Exercice 25
Etudier la suite (un )n∈N définie par u0 ≥
Exercice 26
Etudier la suite (un )n∈N définie par u0 ≤ 2 et un+1 =
Exercice 27
Etudier la suite (un )n∈N définie par u0 ∈ R et un+1 = 13 (4 − u2n ).
Exercice 28
Suites homographiques. Etudier la suite (un )n∈N définie par u0 ∈ R et un+1 =
un
3−2un .
Exercice 29
Suites homographiques. Etudier la suite (un )n∈N définie par u0 ∈ R et un+1 =
1+un
1−un .
Exercice 30
Suites à récurrence linéaire. Etudier la suite (un )n∈N définie par u0 ∈ R, u1 ∈ R et
un+2 =
2
3
et un+1 =
√
√
2un + 3.
3un − 2.
2 − un .
un+1 +2un
.
3
Exercice 31
et un+3 =
Suites à récurrence linéaire. Etudier la suite (un )n∈N définie par u0 ∈ R, u1 ∈ R, u2 ∈ R
8un+2 −5un+1 +un
.
4
Exercice 32
Etudier les suites (un )n∈N et (vn )n∈N définies par u0 et v0 réels positifs et les relations
un+1 =
u n + vn
2
vn+1 =
2un vn
.
u n + vn
et
Exercice 33
Etudier les suites (un )n∈N et (vn )n∈N définies par u0 ∈ R et v0 ∈ R et les relations
un+1 =
2un + vn
3
vn+1 =
un + 2vn
.
3
et
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PLC1
Propriétés fondamentales de R et suites numériques réelles
2007
Références
[1] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques. MPSI PCSI PTSI TSI, Ellipses, 2004.
[2] M. Messeri, Exercices de mathématiques. 2. Analyse I, Belin, Collection DIA, 1987.
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