Propriétés fondamentales de R et suites

Propriétés fondamentales de Ret suites numériques
réelles
Denis Vekemans ∗
1 Ordre total compatible
En algèbre générale, un groupe ordonné est la donnée d’une ensemble G, muni d’une loi de composition
interne notée +lui conférant une structure de groupe, et d’une relation d’ordre notée ≤compatible avec la
loi de groupe.
Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d’ordre ≤est compatible avec la
loi +si, pour tous éléments x,yet gdu groupe G, la relation x≤yentraîne les relations g+x≤g+yet
x+g≤y+g.
On appelle groupe totalement ordonné un groupe ordonné dont la relation d’ordre est totale.
Exemples ...
– Le groupe additif (Z,+) des entiers relatifs, muni de la relation d’ordre habituelle, est un groupe abélien
totalement ordonné.
– Le groupe multiplicatif (R∗
+,×)des réels strictement positifs est un autre groupe abélien totalement
ordonné.
– Mais le groupe multiplicatif (R∗,×)des réels non nuls n’est pas un groupe ordonné.
Toujours en algèbre générale, un corps ordonné est la donnée d’un corps (K,+,×), muni d’une relation
d’ordre notée ≤compatible avec la structure de corps.
Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d’ordre ≤est compatible avec la
structure de corps de (K,+,×)si les deux conditions suivantes sont réunies :
1. Le groupe additif (K,+) est un groupe ordonné par la relation d’ordre (c’est-à-dire que celle-ci est
compatible avec l’addition).
2. On a, pour tous éléments xet ydu corps (K,+,×)tels que x≥0et y≥0, l’inégalité x×y≥0(la
relation d’ordre est compatible avec la multiplication).
Par commodité, on dira par la suite qu’un élément xde Kest positif si l’on a x≥0, et qu’il est négatif si
l’on a x≤0(on remarquera, par antisymétrie de la relation d’ordre ≤, que 0est l’unique élément du corps
à la fois positif et négatif).
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
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PLC1 Propriétés fondamentales de Ret suites numériques réelles 2007
On appelle corps totalement ordonné un corps ordonné pour lequel la relation d’ordre est totale.
Exemples ...
– Le corps Qdes rationnels, muni de la relation d’ordre habituelle, est un corps totalement ordonnés.
– Le corps Rdes réels, muni de la relation d’ordre habituelle, est un corps totalement ordonnés.
En revanche, le corps Cdes nombres complexes ne peut pas être muni d’une structure de corps totalement
ordonné.
Démonstration. On raisonne par l’absurde en supposant que Cest muni d’une relation d’ordre compatible
avec sa strucure de corps, et le rendant totalement ordonné. On note ≤cette relation (on prendra cependant
garde à ce qu’elle n’a a priori aucune raison de coïncider avec la relation d’ordre usuelle par restriction aux
nombres réels). On note ıl’un des deux nombres complexes de carré égal à −1. Comme l’ordre est total,
d’après la règle des signes et l’égalité ı2=−1, on obtiendrait l’inégalité −1≥0. Cela entraînerait, par
passage à l’opposé, l’inégalité 0≥1. Mais comme 0et 1sont comparables, on a nécessairement 0≤1, et l’on
obtiendrait l’égalité 0 = 1, ce qui est une contradiction. Par conséquent, la relation d’ordre ne peut pas être
à la fois totale et compatible avec la structure de corps de C.
Théorème 1
(R,+,×,≤)est un corps totalement ordonné.
Propriétés ...
– On peut additionner des inégalités : si ∀i∈[[1, n]], xi≤yi, alors
n
X
i=1
xi≤
n
X
i=1
yi.
– Pour passer à l’opposé une inégalité : si x≤y, alors −y≤ −x.
– On peut multiplier des inégalités à termes positifs : si ∀i∈[[1, n]],0≤xi≤yi, alors
0≤
n
Y
i=1
xi≤
n
Y
i=1
yi.
– Pour passer à l’inverse une inégalité à termes positifs : si 0< x ≤y, alors 0<1
y≤1 x.
2 Archimède
A l’origine, l’énoncé de l’axiome d’Archimède est le suivant : "Pour deux grandeurs inégales, il existe
toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande."
Soit (G,+,≤)un groupe commutatif totalement ordonné.
(G,+,≤)vérifie l’axiome d’Archimède ou est archimédien si et seulement si quels que soient les éléments
a > 0et b≥0de G, il existe un entier naturel ntel que n×a≥b.
Soit (K,+,×,≤)un corps totalement ordonné.
(K,+,×,≤)vérifie l’axiome d’Archimède ou est archimédien si et seulement si le groupe commutatif
(K,+,≤)lui-même est archimédien.
–2/9– Mathématiques

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Théorème 2
Rest archimédien.
3 Valeur absolue
Soit x∈R, on définit sa valeur absolue |x|par |x|=xsi x≥0et |x|=−xsi x < 0.
Propriétés ...
–∀x∈R,|x| ∈ R+.
–∀x∈R,|x|= 0 ⇐⇒ x= 0.
–∀x∈R,−|x| ≤ x≤ |x|.
–∀x∈R,∀y∈R,|x×y|=|x| × |y|.
–∀x∈R,∀y∈R∗,|x
y|=|x|
|y|.
La distance d(x, y)entre deux valeurs réelles xet ypeut s’exprimer à l’aide de la valeur absolue :
d(x, y) = |x−y|.
Théorème 3
Inégalités triangulaires.
∀x∈R,∀y∈R,|x+y| ≤ |x|+|y|.
∀x∈R,∀y∈R,||x| − |y|| ≤ |x+y|.
4 Borne supérieure
Théorème 4
Théorème de la borne supérieure. Toute partie Anon vide majorée de l’ensemble Rdes nombres réels
admet une borne supérieure supA.
Caractérisation de la borne supérieure ...
– Soit Aune partie non vide majorée de l’ensemble R, le réel Mest supAsi et seulement si Mmajore
A(i.e. ∀x∈A, x ≤M) et M−εne majore pas A(i.e. ∀ε > 0,∃x∈Atel que M−ε < x ≤M).
Une partie Ide Rest un intervalle si lorsqu’elle contient deux réels, elle contient alors tous les réels
intermédiaires. En d’autres termes, ∀x∈I, ∀y∈I, [x, y]∈I.
Il en existe différents types : [a, ∞[,]− ∞, b],]a, ∞[,]− ∞, b[,[a, b],{a},[a, b[,]a, b],∅,R.
5 Partie entière d’un réel
Soit xun réel, le plus grand entier inférieur ou égal à xest appelé partie entière de xet se note E(x).
On a donc pour tout réel x:E(x)∈Zet E(x)≤x < E(x) + 1.
Valeurs décimales approchées ... La partie entière permet de définir les valeurs décimales par excès et
par défaut d’un réel xdonné : pour x∈Ret n∈N, la valeur décimale par défaut de xà10−nprès est
un=E(10nx)
10net la valeur décimale par excès de xà10−nprès est vn=1+E(10nx) 10n=un+ 10−n.
Densité de Qdans R... Il existe une suite (croissante) de nombres rationnels (rn)nconvergeant vers x.
–3/9– Mathématiques

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Théorème 5
Soit ]a, b[un intervalle non vide de R. Alors, il existe r∈Qtel que r∈]a, b[. On dit que Qest dense dans R.
6 Suites réelles
Soit l∈R. On dit que la suite (un)n∈Nconverge vers lsi
∀ε > 0,∃N∈Ntel que n≥N=⇒ |un−l| ≤ ε.
On note limn→∞ un=lou un
n→∞
−→ let on dit que la suite est convergente. Si la suite ne converge vers aucun
réel, on dit que la suite est divergente.
Théorème 6
La suite (un)n∈Nconverge vers lsi et seulement si la suite (|un−l|)n∈Nconverge vers 0.
Théorème 7
Rest complet (i.e. toute suite de Cauchy de Rconverge et réciproquement).
Théorème 8
Si la suite (un)n∈Nconverge, alors sa limite est unique.
Théorème 9
Toute suite convergente est bornée.
La suite (vn)n∈Nest extraite de la suite (un)n∈Ns’il existe une application φstrictement croissante de
Ndans Ntelle que vn=uφ(n).
Théorème 10
Toute suite extraite d’une suite convergente (un)n∈Nconverge vers la même limite que (un)n∈N.
Théorème 11
Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites réelles, λet µdeux réels.
– Si limn→∞ un=l1et limn→∞ vn=l2, alors limn→∞ λun+µvn=λl1+µl2.
– Si limn→∞ un=l1et limn→∞ vn=l2, alors limn→∞ unvn=l1l2.
– Si limn→∞ un=l1et limn→∞ vn=l26= 0, alors limn→∞ un
vn=l1 l2.
Théorème 12
Soient (un)n∈Nune suite convergeant vers let soient λet µdeux réels.
– Si pour tout n∈N,un≤λ, alors l≤λ.
– Si pour tout n∈N,un≥µ, alors l≥µ.
–Théorème du gendarme. Si pour tout n∈N,|un| ≤ αnet si limn→∞ αn= 0, alors limn→∞ un= 0.
On dit que la suite (un)n∈Ntend vers +∞ou diverge vers +∞et on note limn→∞ un= +∞ou
un
n→∞
−→ +∞si
∀A∈R,∃N∈Ntel que n≥N=⇒un≥A.
–4/9– Mathématiques

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On dit que la suite (un)n∈Ntend vers −∞ ou diverge vers −∞ et on note limn→∞ un=−∞ ou
un
n→∞
−→ −∞ si
∀A∈R,∃N∈Ntel que n≥N=⇒un≤A.
Théorème 13
Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites réelles.
– Si limn→∞ un= +∞et si (vn)n∈Nest minorée, alors limn→∞ un+vn= +∞.
– Si limn→∞ un= +∞et limn→∞ vn=l > 0, alors limn→∞ unvn= +∞.
– Si limn→∞ un= +∞, alors limn→∞ 1
un= 0.
– Si un>0et limn→∞ un= 0, alors limn→∞ 1
un= +∞.
Théorème 14
Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites réelles telles que :
1. limn→∞ vn= +∞,
2. ∀n∈N, vn≤un,
alors la suite (un)n∈Ndiverge aussi vers +∞.
Théorème 15
Théorème de la limite monotone. Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite croissante et
non majorée diverge vers +∞.
On dit que les suites réelles (un)n∈Net (vn)n∈Nsont adjacentes si l’une est crcoissante, l’autre décrois-
sante et si la suite (un−vn)n∈Ntend vers 0.
Théorème 16
Théorème des suites adjacentes. Si les suites (un)n∈Net (vn)n∈Nsont adjacentes, alors elles convergent
toutes les deux vers la même limite.
Théorème 17
Théorème de Bolzano-Weierstrass. De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous suite conver-
gente.
Soit la suite réelle (un)n∈Net soit λ∈R. On dit que λest une valeur d’adhérence de la suite (un)n∈N
si
∀ε > 0,∀N∈N,∃n≥N, tel que |un−λ|< ε.
Caractérisation de la valeur d’adhérence ...
Soit la suite réelle (un)n∈Net soit λ∈R. "λest une valeur d’adhérence de la suite (un)n∈N" équivaut à
"il existe une suite extraite de (un)n∈N, de limite λ".
Théorème 18
Soit Aune partie de R.aest un point d’accumulation de Asi et seulement s’il existe une suite de (un)n∈N
d’éléments de Adistincts de alui-même telle que limn→∞ un=a.
–5/9– Mathématiques