Comportement asymptotique de suites de variables aléatoire

Comportement asymptotique de suites de variables aléatoire à valeurs réelles
1) Di¤érentes convergences pour une suite de variables aléatoire à valeurs réelles
Soit (Xn)n2Nune suite de variables aléatoires dé…nies de à valeurs réelles. Posons an;k =P(Xn=k):
a) Convergence en loi
Def :(Xn)n2Nconverge en loi vers Xssi pour tout f:R!Rcontinue et bornée, limn!+1E(f(Xn)) = E(f(X)):
Important : Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans Z,(Xn)n2Nconverge en loi vers Xssi
8k2Z,limn!+1P(Xn=k) = P(X=k)
Remarque : Il su¢ t en e¤et de considérer une fonction qui vaut 1 en ket 0sur les autres entiers.
b) Convergence en probabilité
Def :(Xn)n2Nconverge en probabilité vers Xssi pour tout " > 0,limn!+1P(jXnXj  ") = 0 .
Prop : La convergence en probabilité implique la convergence en loi.
Preuve : On se contente de la prouver pour les fonctions flispchitziennes (de rapport k).
On a en e¤et, jE(f(Xn)) E(f(X))j=jE(f(Xn)f(X))j  E(jf(Xn)f(X)j):
Donc E(jf(Xn)f(X)j)P(jXnXj  ")k" +P(jXnXj  ")sup jfj  k" +P(jXnXj  ")sup jfj:
Par pincement, limn!+1E(jf(Xn)f(X)j) = 0, donc limn!+1E(f(Xn)) = E(f(X)):
c) Convergence en moyenne : limn!+1kXnXk1= 0 , où kXnXk1=E(jXnXj):
Prop : La convergence en moyenne implique la convergence en probabilité.
Preuve : Par l’inégalité de Markov, on a : P(jXnXj  ")kXnXk1
":
d) Convergence en moyenne quadratique : limn!+1kXnXk2= 0, où kXnXk2=pE((XnX)2):
Remarque : Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, kXnXk1pkXnXk2.
En e¤et, avec hX; Y i=E(XY ), on a kXk1=DX; e 1Er
e
1
2pkXk2:
Donc la convergence en moyenne quadratique implique la convergence en moyenne, donc la convergence en loi.
Contre-exemple : Considérons Xnà valeurs dans Ntelle que P(Xn=n) = 1
net P(Xn= 0) = 1 1 n:
Alors (Xn)n2Nconverge en loi vers e 0, alors que V(Xn) = 1
nn2=n, donc kXnk2!+1:
2) Loi faible des grands nombres
a) Loi faible des grands nombres
Théorème : Supposons X1; :::; Xnmutuellement indépendantes, de même loi Xd’espérance …nie et admettant un
moment d’ordre 2 (donc une variance). On considère Sn=X1+X2+::: +Xnet Mn=Sn
n:
Alors (Mn)n2Nconverge en probabilité vers e, c’est-à-dire 8" > 0,limn!+1P
Mn
n"= 0.
Preuve : En retranchant aux Xi, on se ramène au cas où = 0:
On a V(Mn) = 1
nV(X):D’où par Bienaymé-Tchebychev, P(jMnj  ")V(Mn) "2=V(X) n"2:
Remarque culturelle : Le théorème central limite assure que 1
pn(X1+X2+:::+Xn)converge en loi vers la loi normale
(= loi gaussienne) de même espérance et variance que X, c’est-à-dire que pour tous aet bréels (avec ab), on a :
lim
n!+1PaSnn
pnb=1 p2Zb
a
exp t2
2dt

3) Convergence presque sûre (FF)
a) Convergence presque sûre d’une suite de variables aléatoires
Def : On dit que (Xn)n2Nconverge presque sûrement vers Xssi P(limn!+1Xn=X) = 1.
Autrement dit, f!2jlimn!+1Xn(!)existe et vaut X(!)gest de probabilité 1 (un événemement presque sûr).
Remarque importante : Contrairement à la convergence en loi, la convergence presque sûre dépend des corrélations
des variables Xnentre elles, et pas seulement des lois des variables Xn.
Prop : La convergence presque sûre implique la convergence en probabilité.
Exemple : Soient (Xn)n2Nune suite de v.a. indépendantes, où Xnsuit une loi de Bernoulli B(pn)sur f0;1g:
Alors ((Xn)n2Nconverge en probabilité vers X=e
0ssi limn!+1pn= 0. En e¤et, fP(jXnXj  1g=pn:
(Xn)n2Nconverge presque sûrement vers X=e 0ssi P+1
n=0 pn<+1:
En e¤et, P(8kn,Xk= 0) = Q+1
k=n(1 pk), donc P(limn!+1Xn= 0) = limn!+1Q+1 k=n(1 pk).
Elle converge vers 1 ssi Q(1 pn)converge, donc ssi Ppnconverge.
b) Loi forte des grands nombres (admis)
Théorème (Kolmogorov) : Soient X1; X2; :::; Xndes variables i.i.d. On pose Sn=X1+X2+::: +Xn
n:
Alors (Sn)n2Nconverge presque sûrement vers , où =E(X1):
Comportement asymptotique de suites de variables aléatoire à valeurs entières
1) Convergence simple des séries génératrices : Théorème de Lévy
Remarque : Le théorème permet de prouver la convergence en loi en utilisant la cv des séries génératrices.
On considère des v.a.d. Xnà valeurs dans Nde loi P(Xn=k) = ak;n, de variance uniformément majorée :
Il existe vtel que 8n2N,P+1
k=0 k2ak;n v: En particulier,8n2N,8k2N,ak;n v
k2:
On considère aussi une v.a.d. Xde loi P(X=k) = ak.
Théorème de Paul Lévy : Les assertions suivantes sont équivalentes :
i) Convergence en loi : 8k2N,limn!+1ak;n =ak
ii) Convergence des séries génératrices complexes :
Pour tout jzj  1,limn!+1Gn(z) = G(z), où Gn(z) = P+1
k=0 ak;nzk:
Preuve : i) )ii) : cv dominée ak;nzkv
k2:
ii) )i) : ak;n =1
2R2
0Fn(ei)eik d, et cv dominée par '() = P+1
k=0
v
k2(fonction cste).
2) Théorème des événements rares
Prop : Supposons Sn=Pn
i=1 Xi;n, où les Xi;n sont indépendants et Xi;n  B(pi;n)loi de Bernoulli.
On suppose que limn!+1Pn
i=1 pi;n =et limn!+1Pn i=1(pi;n)2= 0:
Alors (Xn)n2Nconverge en loi vers la loi de Poisson P().
Remarque : Comme les Xi;n sont indépendants, V(Sn) = Pn
i=1 V(Xi;n) = Pn i=1 pi;n !:
Idée de la preuve : La série génératrice de Snest Fn(z) = Qn
i=1(1 + pi;n(z1)):
On a jQn
i=1(1 + yi)exp(Pn
i=1 yi)j  Qn i=1 (exp(Pn i=1 jyij)(1 + jyij)) :
Or, ln(1 + u)u1
2u2pour tout u0:
On montre alors que 8zde module 1, on a : limn!+1Fn(z) = e(z1)série génératrice de Poisson.