TERMINALE S chapitre 11 : les nombres complexes

TERMINALE S
chapitre 11 : les nombres complexes [forme trigonométrique]
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SOMMAIRE
XI. 1.ACTIVITES................................................................................................................................................. 2
ACTIVITE 3 P. 285 ............................................................................................................................................... 2
XI. 2. FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE ....................................................... 2
ARGUMENT D’UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL................................................................................................. 2
DEFINITION: ........................................................................................................................................................ 2
DEFINITION: ........................................................................................................................................................ 2
EXEMPLE :........................................................................................................................................................... 3
PROPRIETE .......................................................................................................................................................... 3
XI. 3. PROPRIETES............................................................................................................................................. 3
XI. 4. LIEN AVEC LE PLAN COMPLEXE...................................................................................................... 4
PROPRIETE .......................................................................................................................................................... 4
XI. 5. LIEN ENTRE FORME ALGEBRIQUE ET FORME TRIGONOMETRIQUE.................................. 4
PROPRIETE .......................................................................................................................................................... 4
XI. 6. ARGUMENT ET OPERATIONS............................................................................................................. 4
ARGUMENT D’UN PRODUIT (DEMONSTRATION ULTERIEUREMENT)..................................................................... 4
ARGUMENT D’UNE PUISSANCE............................................................................................................................ 4
ARGUMENT D’UN QUOTIENT. .............................................................................................................................. 5
XI.7. NOTATION EXPONENTIELLE DES COMPLEXES ........................................................................... 5

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XI. 1.Activités
Activité 3 p. 285
XI. 2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Argument d’un nombre complexe non nul
Définition:
Dans le plan complexe, soit le complexe z non nul, de point image M. On appelle
argument de z que l’on note arg(z) toute mesure en radian de l’angle orienté (→ u,⎯→ OM)
NB : un nombre complexe a une infinité d’arguments, si θ est l’une d’elles alors toutes
les autres sont de la forme θ + 2kπ, k entier relatif.
On écrit arg(z) = θ [2π],
Forme trigonométrique
Définition:
Soit z un nombre complexe non nul, on appelle forme polaire de z la donnée d’un
couple (r, θ) de coordonnées polaires du point M dont l’affixe est z, On notera z[r, θ].
Cette notation signifie :
r = | z| et θ = arg(z) [2π]
Avec ces conditions, l’écriture de z est alors z = r(cos θ + i sin θ), appelée forme
trigonométrique de z.
Par conséquent si un complexe s’écrit z = ρ(cos α + i sin α) avec ρ > 0 alors ρ = |z| et
α = arg (z)

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Exemple :
Propriété
Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module
et même argument (à 2kπ près).
XI. 3. Propriétés

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XI. 4. Lien avec le plan complexe
Propriété
Si A et B sont deux points distincts d’affixes respectives a et b, alors
AB = |b – a| et (⎯→ OU,⎯→ AB) = arg (b – a)
En effet en posant ⎯→ OM = ⎯→ AB, on a (⎯→ OU, ⎯→ AB) = (⎯→ OU, ⎯→ OM) avec M d’affixe b – a.
NB :
A, B, C, D étant des points distincts d’affixes respectives a, b , c, d alors
(⎯→ AB ,⎯→ CD) = arg ⎝
⎜
⎛⎠
⎟
⎞
d – c
b - a
XI. 5. Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique
Propriété
XI. 6. Argument et opérations
Soit z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1), et z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)
Argument d’un produit (Démonstration ultérieurement)
arg(z1 × z2) = θ1 + θ2 = arg(z1) + arg(z2) modulo 2π
Autrement dit : L’argument d’un produit est égal à la somme des arguments :
Argument d’une puissance.
Soit z un complexe non nul, d’après la propriété précédente, il vient
arg(z²)=arg(z × z) = arg(z) + arg(z) = 2arg(z) [2π]

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Ce que l’on peut généraliser sans peine à un exposant quelconque entier naturel n ≥ 3.
De plus si n = 0, on obtient arg(zn) = arg(1) = 0 = 0× arg(z), en conclusion:
Soit z un nombre complexe non nul, et n un entier naturel quelconque, alors
arg(zn)= n arg(z) [2π]
Argument d’un quotient.
Évaluons de deux façons différentes l’argument de z2 × z1
z2
D’une part : Arg (z2 × z1
z2) = arg (z1) [2π]
D’autre part : Arg (z2 × z1
z2) = arg (z2) + arg ⎝
⎜
⎛⎠
⎟
⎞
z1
z2 [2π]
D’où on tire arg (z1) = arg (z2) + arg ⎝
⎜
⎛⎠
⎟
⎞
z1
z2 Et donc arg (z1) - arg (z2) = arg ⎝
⎜
⎛⎠
⎟
⎞
z1
z2 [2π]
arg ⎝
⎜
⎛⎠
⎟
⎞
z1
z2 = arg (z1) - arg (z2) [2π]
Cas particulier
En posant z1 =1, il vient : arg ⎝
⎜
⎛⎠
⎟
⎞
1
z2 = arg (z1) - arg (z2) = arg (1) - arg (z2) = - arg (z2)
arg ⎝
⎜
⎛⎠
⎟
⎞
1
z2 = - arg (z2) [2π]
Autrement dit
L’argument d’un quotient est égal à la différence des arguments.
L’argument d’un inverse est égal à l’opposé de l’argument :
XI.7. Notation exponentielle des complexes