TERMINALE S chapitre 11 : les nombres complexes [forme trigonométrique] ________________________________________________________________ SOMMAIRE XI. 1.ACTIVITES ................................................................................................................................................. 2 ACTIVITE 3 P. 285 ............................................................................................................................................... 2 XI. 2. FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE ....................................................... 2 ARGUMENT D’UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL ................................................................................................. 2 DEFINITION: ........................................................................................................................................................ 2 DEFINITION: ........................................................................................................................................................ 2 EXEMPLE :........................................................................................................................................................... 3 PROPRIETE .......................................................................................................................................................... 3 XI. 3. PROPRIETES............................................................................................................................................. 3 XI. 4. LIEN AVEC LE PLAN COMPLEXE ...................................................................................................... 4 PROPRIETE .......................................................................................................................................................... 4 XI. 5. LIEN ENTRE FORME ALGEBRIQUE ET FORME TRIGONOMETRIQUE.................................. 4 PROPRIETE .......................................................................................................................................................... 4 XI. 6. ARGUMENT ET OPERATIONS ............................................................................................................. 4 ARGUMENT D’UN PRODUIT (DEMONSTRATION ULTERIEUREMENT)..................................................................... 4 ARGUMENT D’UNE PUISSANCE. ........................................................................................................................... 4 ARGUMENT D’UN QUOTIENT. .............................................................................................................................. 5 XI.7. NOTATION EXPONENTIELLE DES COMPLEXES ........................................................................... 5 _________________________________________________________________________________________________________________ toutchap11 1/6 TERMINALE S chapitre 11 : les nombres complexes [forme trigonométrique] ________________________________________________________________ XI. 1.Activités Activité 3 p. 285 XI. 2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe Argument d’un nombre complexe non nul Définition: Dans le plan complexe, soit le complexe z non nul, de point image M. On appelle → ⎯→ argument de z que l’on note arg(z) toute mesure en radian de l’angle orienté ( u ,OM) NB : un nombre complexe a une infinité d’arguments, si θ est l’une d’elles alors toutes les autres sont de la forme θ + 2kπ, k entier relatif. On écrit arg(z) = θ [2π], Forme trigonométrique Définition: Soit z un nombre complexe non nul, on appelle forme polaire de z la donnée d’un couple (r, θ) de coordonnées polaires du point M dont l’affixe est z, On notera z[r, θ]. Cette notation signifie : r = | z| et θ = arg(z) [2π] Avec ces conditions, l’écriture de z est alors z = r(cos θ + i sin θ), appelée forme trigonométrique de z. Par conséquent si un complexe s’écrit z = ρ(cos α + i sin α) avec ρ > 0 alors ρ = |z| et α = arg (z) _________________________________________________________________________________________________________________ toutchap11 2/6 TERMINALE S chapitre 11 : les nombres complexes [forme trigonométrique] ________________________________________________________________ Exemple : Propriété Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (à 2kπ près). XI. 3. Propriétés _________________________________________________________________________________________________________________ toutchap11 3/6 TERMINALE S chapitre 11 : les nombres complexes [forme trigonométrique] ________________________________________________________________ XI. 4. Lien avec le plan complexe Propriété Si A et B sont deux points distincts d’affixes respectives a et b, alors ⎯→ ⎯→ AB = |b – a| et ( OU , AB ) = arg (b – a) ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ En effet en posant OM = AB , on a ( OU , AB ) = ( OU , OM) avec M d’affixe b – a. NB : A, B, C, D étant des points distincts d’affixes respectives a, b , c, d alors ⎯→ ⎯→ ⎛d – c ⎞ (AB , CD ) = arg ⎜ b - a ⎟ ⎝ ⎠ XI. 5. Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique Propriété XI. 6. Argument et opérations Soit z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1), et z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2) Argument d’un produit (Démonstration ultérieurement) arg(z1 × z2) = θ1 + θ2 = arg(z1) + arg(z2) modulo 2π Autrement dit : L’argument d’un produit est égal à la somme des arguments : Argument d’une puissance. Soit z un complexe non nul, d’après la propriété précédente, il vient arg(z²)=arg(z × z) = arg(z) + arg(z) = 2arg(z) [2π] _________________________________________________________________________________________________________________ toutchap11 4/6 TERMINALE S chapitre 11 : les nombres complexes [forme trigonométrique] ________________________________________________________________ Ce que l’on peut généraliser sans peine à un exposant quelconque entier naturel n ≥ 3. De plus si n = 0, on obtient arg(zn) = arg(1) = 0 = 0× arg(z), en conclusion: Soit z un nombre complexe non nul, et n un entier naturel quelconque, alors arg(zn)= n arg(z) [2π] Argument d’un quotient. Évaluons de deux façons différentes l’argument de z2 × z1 z2 z1 ) = arg (z1) [2π] z2 z ⎛ z1 ⎞ D’autre part : Arg (z2 × 1) = arg (z2) + arg ⎜z ⎟ [2π] ⎝ 2⎠ z2 ⎛z1⎞ ⎛z1⎞ D’où on tire arg (z1) = arg (z2) + arg ⎜z ⎟ Et donc arg (z1) - arg (z2) = arg ⎜z ⎟ [2π] ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ D’une part : Arg (z2 × ⎛z1⎞ arg ⎜z ⎟ = arg (z1) - arg (z2) ⎝ 2⎠ [2π] Cas particulier ⎛1⎞ En posant z1 =1, il vient : arg ⎜z ⎟ = arg (z1) - arg (z2) = arg (1) - arg (z2) = - arg (z2) ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ arg ⎜z ⎟ = - arg (z2) [2π] ⎝ 2⎠ Autrement dit L’argument d’un quotient est égal à la différence des arguments. L’argument d’un inverse est égal à l’opposé de l’argument : XI.7. Notation exponentielle des complexes _________________________________________________________________________________________________________________ toutchap11 5/6 TERMINALE S chapitre 11 : les nombres complexes [forme trigonométrique] ________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________ toutchap11 6/6