C - Mon math

Nombres Complexes
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NIVEAU : 4ème MATHS
Série N°1
Exercice 1 : Q-C-M
Pour chacune des questions suivantes, une seule des propositions est exacte.
1°) Soit z un nombre complexe de module r > 0. Alors le conjugué de z est égal à :
a
1
,
rz
b
r
,
z
c

r²
.
z

2°) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O, u , v , on considère les points A et B
d’affixes respectives i et – i. l’ensemble des points M d’affixe z tels que
a Le segment [AB],
c le cercle  O,1 \ B .
b la droite (AB),

3°) Soient n et k deux entiers naturels. Le nombre 1  i 3

z i
soit imaginaire pur est :
z i
n
est un réel strictement positif si et
seulement si, n s’écrit sous la forme :
a 3k,
c
b 6k,
4°) Soit z un nombre complexe non nul d’argument  . Un argument de
a 

6
,
b 

3
12k .
1  i 3
est :
z
c 
,
2
.
3



5°) L’ensemble  M ( z )  P / arg  2 z  3  i    2  est :
3


a Une droite,
b une demi-droite,


i

6°) L’ensemble  M ( z )  P / z  2  3i  e 4 z  1  2i


a Un cercle
c un segment


 est :


b un demi – cercle
c une droite
e2i  1
  
7°) Pour     ,  , on pose z  2i
. Alors la forme algébrique de z est :
e 1
 2 2
a tan 
b
i tan 
c i cotan  .
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1
Exercice 2 : Vrai - Faux
Répondre par vrai ou faux, en justifiant la réponse.
 
Le plan est rapporté au repère (O , u , v ) .
Les points A, B, C, D et E d’affixes respectives a, b, c, d et e
sont sur le cercle de diamètre [AB] centré en F. On a alors :
1°) a + b = 0.
bc
2°)
est un imaginaire pur.
ac
ec
ba
 arg
3°) arg
[2  ].
bc
ea
4°) c  e = d  a .
5°) a + e + c + d = 2.
Exercice 3 : R – O – C


Le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O, u , v .
1°) Démonstration de cours :
Pré – requis : Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls alors
arg (z×z’)  arg (z) + arg (z’)  2 
z et z’ sont deux nombres complexes non nuls.
z
1
Démontrer que : arg    arg( z)  arg( z ') 2  puis que arg    2 arg( z )  2  .
 z'
 z² 
2°) Application : A tout point M distinct de O d’affixe z non nul, on associe le point M’ d’affixe Z =

 
On note (d) la demi droite d’origine O et de vecteur directeur w tel que u, w 
a) Quel est l’ensemble des points M’ lorsque M décrit (d) privée de O ?
b) Quel est l’ensemble des points M lorsque M’ décrit (d) privée de O ?
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2

3
 2  .
1
.
z²