Chapitre 5 : Les nombres complexes
1. Introduction - Définition
1.1. Introduction : De la création d’outils au profit des physiciens
1.2. Définition du nombre i
1.3. L’ensemble Cdes nombres complexes
1.4. Egalité de deux complexes
2. Opérations algébriques dans C
2.1. Addition - Opposé d’un nombre complexe
2.2. Multiplication
Exercices : 32 `a36,40,43,50 à53
2.4. Conjugué et module d’un complexe - Opérations
2.5. Inverse d’un complexe non nul.
Exercices : 54,55,59,38,39,60,65
3. Interprétation géométrique d’un nombre complexe
3.1. Le plan complexe
3.2. Interprétation géométrique de la somme et du conjugué
3.3. Module d’un nombre complexe
3.4. Argument d’un nombre complexe non nul
3.5. Forme trigonométrique d’un nombre complexe
3.6. Détermination de la forme trigo
Exercices : 67,68,70,72,75
4. Propriétés géométriques
4.1.Propriétés évidentes de module et argument
4.2. Module et argument d’un produit
4.3. Applications géométriques
4.4. Formule de Moivre
5. Exponentielle complexe
5.1. La notation eiθ
5.2. Forme exponentielle d’un complexe
5.3. Utilité de cette forme
Exercices : 93,94,95,101,103
6.Racine carrée complexe d’un nombre réel
7. Résolution d’une équation du second degré dans C
Exercices : 105,107,110,113
8. Applications aux transformations géométriques A faire plus tard
8.1. Equations de courbes dans le plan complexe
8.2. Caractérisation complexe d’une translation
8.3. Caractérisation complexe d’une homothétie
8.4. Caractérisation complexe d’une rotation
Exercices : 118,121,123,130.
L’essentiel du cours
1. Définition
i2=−1et z=x+iy, (x;y)∈R2
xest la partie réelle de znotée Re(z);yest la partie imaginaire de znotée Im(z)
z=x+iy z0=x0+iy0alors z=z0⇔½x=x0
y=y0
2. Opérations
On considère les complexes z=x+iy z0=x0+iy0alors
z+z0=(x+x0)+i(y+y0)
zz0=xx0−yy0+(xy0+x0y)i