Les nombres complexes

Mathématiques Bac STI Les nombres complexes
Pour bien comprendre les complexes, il faut voir cet objet mathématique comme un moyen simple et élégant d’opérer
dans un espace à deux dimensions que l’on peut représenter par un plan. Il y a très souvent un exercice sur les
complexes au bac. Pour mettre toutes les chances de son côté il faut donc s’exercer sur des problèmes de calculs
complexes mais aussi sur leurs applications à la géométrie.
1. Généralités
L’écriture
zxiy
avec
x
et
y
réels est appelée forme algébrique du nombre complexe
z
.
x
est la partie réelle de
z
, notée
Re(z)
,
y
est la partie imaginaire de
z
, notée
Im(z)
.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont la même partie réelle et même partie imaginaire.
2. Le conjugué
Le conjugué d’un complexe
zxiy
est le complexe
xiy
noté
z
.
z
est réel équivaut à
zz
.
z
est imaginaire pur équivaut à
z z
.
zz'zz'
z.z'z.z'
znzn
Si
z0
,
1
z
1
z
z'
z
z'
z
3. Module et argument d’un complexe
Le module d’un nombre complexe
zxiy
est
zx2y2
.
On prend un complexe
z
dont la représentation dans le plan complexe est
M
. On appelle alors argument de
z
et on
note
arg( z)
toute mesure en radians, de l’angle orienté que fait
OM
avec l’axe des abscisses.
Attention, l’argument d’un complexe n’est pas unique.
arg(z)2k
où
k 
est aussi un argument de
z
.
z
est réel équivaut à
arg(z)0
ou
arg(z)
.
z
est imaginaire pur équivaut à
arg( z)
2
ou
arg( z) 
2
.
Inégalité triangulaire :
zz'zz'
.
z.z'z.z'
et
arg(z.z') arg(z)arg(z')
.
1
z1 z
et
arg 1
z
 arg( z)
.
Pour tout entier naturel
n
non nul,
znzn
et
arg(zn)narg( z)
.
4. Forme exponentielle
Si
z
est un nombre complexe non nul,
r
son module et un argument de
z
tel que
0;2
, alors l'écriture
zrei
est appelée forme exponentielle de
z
.
Pour tout réel ,
ei 1
et
arg(ei )
.
ei ei ei(
)
,
1
ei
ei
et le conjugué de
ei
est
ei
.
Formule de Moivre : Pour tout entier naturel non nul
n
,
ei
 nein
.
Formules d’Euler :
cos( )ei
ei
2
et
sin( )ei
ei
2
.
5. Nombres complexes et transformations
w
est un vecteur d’affixe
b
.
L’écriture complexe de la translation de vecteur
w
est
zazb
.
k
un réel non nul.
L’écriture complexe de l’homothétie de centre
O
et de rapport
k
est
zakz
.
un réel.
L’écriture complexe de la rotation de centre
O
et d’angle est
zaei z
.