Chapitre 1.1b – La dérivée et le mouvement harmonique simple

Chapitre 1.1b – La dérivée et le mouvement
harmonique simple
La dérivée du mouvement harmonique simple
À partir de l’équation du mouvement harmonique simple xt   A sin  t    , il est facile de déduire
l’équation de la vitesse v x t  et l’équation de l’accélération a x t  associées à ce mouvement en
utilisant la dérivée :
xt 
1) La position
v x t  
2) La vitesse
3) L’accélération
a x t  
d xt 
dt
d v x t 
dt

xt   A sin  t   

v x t  

v x t   A cos t   

a x t  

a x t    A 2 sin  t   
d A sin  t   
dt
d A cos t   
dt
et
d sin ax 
 a cosax 
dx
et
d cosax 
 a sin ax 
dx
Les équations du mouvement harmonique simple (MHS)
La solution complète à l’oscillateur harmonique simple OHS est composée du mouvement harmonique
simple et de ses dérivées. La position peut être une fonction sinus ou cosinus, car ce sont des fonctions
identiques à une constante de phase  près :
Oscillateur harmonique simple
a x   2 x
ou
d2 x
  2 x
2
dt
où
Mouvement harmonique simple
xt   A sin t   
d xt 
 A cos t   
dt
d v t 
a x t   x   A 2 sin  t   
dt
v x t  
xt  : Position selon l’axe x (m)
A : Amplitude du mouvement (m)
v x t  : Vitesse selon l’axe x (m/s)
 : Fréquence angulaire (rad/s)
a x t  : Accélération selon l’axe x (m/s2)
 : Constante de phase (rad)
t
: Temps (s)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Représentation graphique du MHS
La représentation graphique du mouvement harmonique simple MHS se fait à partir de fonctions sinus
et cosinus. Voici une représentation possible à l’aide d’une constante de phase   0 et d’une fonction
de position en sinus :
 Position :
x  A sin  t 
 Vitesse :
v x  A cos t   v x max  cos t 
 Accélération :
a x   A 2 sin  t   a x max  sin  t 
Mouvement harmonique simple:
0
–A
+A
x
x
A sin(t)
t
A
x 0 v
ax 0 x(max)
–A
–ax(max)
vx 0
–vx(max)
xt  , v x t  et a x t 
Fonctions :
vx
vx(max)
vx(max) cos(t)
t
x 0
ax 0
ax(max)
vx 0
ax
ax(max)
x 0 v
ax 0 x(max)
t
–ax(max) sin(t)
Puisque la fonction sinus et cosinus varie entre [-1,1], on constante que :

v max  A
car
v x  A cos t   v x max  cos t 

a max   A 2
car
a x   A 2 sin  t   a x max  sin  t 
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Situation 4 : La vitesse et l’accélération dans un MHS, prise 2. Un mobile est animé d’un MHS le
long de l’axe x ; sa position en fonction du temps est donnée par
x  0,2 cos3t  5
où x est en mètres et t est en secondes et la phase est en radians. On désire déterminer la position, la
vitesse et l’accélération du mobile à t  5 s .
Nous avons l’équation de la position suivante :
x  0,2 cos3t  5
Avec la dérivée de la position, évaluons l’équation de la vitesse :
vx 
dx
dt
d0,2 cos3t  5
dt

vx 

v x  0,2

v x  0,2 sin 3t  5

v x  0,6 sin 3t  5
(Remplacer la fonction x)
dcos3t  5
dt
(Sortir la constante)
d3t 
dt
(
d cos f  x 
d f x 
)
  sin  f  x 
dx
dx
d xn
(Dérivée d’un polynôme :
 nx n 1 )
dx
Avec la dérivée de la vitesse, évaluons l’équation de l’accélération :
ax 
d vx
dt
d 0,6 sin 3t  5
dt

ax 

a x  0,6

a x  0,6cos3t  5

a x  1,8 cos3t  5
(Remplacer la fonction vx)
dsin 3t  5
dt
(Sortir la constante)
d3t 
dt
(
d sin  f  x 
d f x 
)
 cos f  x 
dx
dx
(Dérivée d’un polynôme :
d xn
 nx n 1 )
dx
Ainsi, nous avons les informations suivantes à t = 5 s :
Position :
xt  5  0,2 cos35  5
Vitesse :
v x t  5  0,6 sin 35  5 

Accélération : a x t  5  1,8 cos35  5 
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
xt  5  0,0816 m
v x t  5  0,548 m/s
a x t  5  0,735 m/s 2
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Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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