Chapitre 1.1b – La dérivée et le mouvement harmonique simple

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 1.1b – La dérivée et le mouvement
harmonique simple
La dérivée du mouvement harmonique simple
À partir de l’équation du mouvement harmonique simple tAtx sin , il est facile de déduire
l’équation de la vitesse tvx et l’équation de l’accélération tax associées à ce mouvement en
utilisant la dérivée :
1) La position tx 
tAtx sin
2) La vitesse
ttx
tvxd
d
ttA
tvxd
sind
 et axa
xax cos d
sind 
tAtvxcos
3) L’accélération
ttv
ta x
x
d
d
ttA
taxd
cosd
 et axa
xax sin d
cosd 
 tAtaxsin
2
Les équations du mouvement harmonique simple (MHS)
La solution complète à l’oscillateur harmonique simple OHS est composée du mouvement harmonique
simple et de ses dérivées. La position peut être une fonction sinus ou cosinus, car ce sont des fonctions
identiques à une constante de phase
près :
Oscillateur harmonique simple Mouvement harmonique simple
xax2
ou
x
tx2
2
2
d
d
tAtx sin
 tA
ttx
tvxcos
d
d
 tA
ttv
ta x
xsin
d
d2
où tx : Position selon l’axe x (m)
A
: Amplitude du mouvement (m)
tvx : Vitesse selon l’axe x (m/s) : Fréquence angulaire (rad/s)
tax : Accélération selon l’axe x (m/s2) : Constante de phase (rad)
t : Temps (s)

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Représentation graphique du MHS
La représentation graphique du mouvement harmonique simple MHS se fait à partir de fonctions sinus
et cosinus. Voici une représentation possible à l’aide d’une constante de phase 0
et d’une fonction
de position en sinus :
 Position :
tAx sin
 Vitesse :
tvtAv xx coscos max
 Accélération :
tatAa xx sinsin max
2
Mouvement harmonique simple: Fonctions :
tx , tvx et tax
vx(max)
0 +A
–A x
x 0
ax 0
vx 0
–ax(max)
x 0
ax 0
–vx(max)
ax(max)
vx 0
vx(max)
x 0
ax 0
x
t
vx
t
t
ax
A
–
A
vx(max)
A
sin(
t)
ax(max)
vx(max) cos( t)
–
ax(max) sin( t)
Puisque la fonction sinus et cosinus varie entre [-1,1], on constante que :
Av 
max car
tvtAv xx coscos max
 2
max
Aa  car
tatAa xx sinsin max
2

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Situation 4 : La vitesse et l’accélération dans un MHS, prise 2. Un mobile est animé d’un MHS le
long de l’axe x ; sa position en fonction du temps est donnée par
53cos2,0 tx
où x est en mètres et t est en secondes et la phase est en radians. On désire déterminer la position, la
vitesse et l’accélération du mobile à s5t.
Nous avons l’équation de la position suivante :
53cos2,0 tx
Avec la dérivée de la position, évaluons l’équation de la vitesse :
t
x
vxd
d
tt
vxd53cos2,0d
 (Remplacer la fonction x)
tt
vx
d
53cosd
2,0
 (Sortir la constante)
tt
tvxd
3d
53sin2,0  (
xxf
xf
xxf d
d
sin
d
cosd  )
53sin6,0  tvx (Dérivée d’un polynôme : 1
d
d
n
nnx
x
x)
Avec la dérivée de la vitesse, évaluons l’équation de l’accélération :
t
v
ax
x
d
d
tt
ax
d
53sin6,0d
 (Remplacer la fonction vx)
tt
ax
d
53sind
6,0
 (Sortir la constante)
tt
taxd
3d
53cos6,0  (
xxf
xf
xxf d
d
cos
d
sind )
53cos8,1  tax (Dérivée d’un polynôme : 1
d
d
n
nnx
x
x)
Ainsi, nous avons les informations suivantes à t = 5 s :
Position :
553cos2,05 tx 
m0816,05 tx
Vitesse :
553sin6,05 tvx 
m/s548,05 tvx
Accélération :
553cos8,15 tax 
2
m/s735,05 tax

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