Probabilités 03 – Variables aléatoires discrètes

Spéciales PSI – LYCÉE BUFFON
EXERCICES Probabilités 03 – Variables aléatoires discrètes
Loi, fonction de répartition
1. Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes.
a) On suppose que X et Y suivent des lois de POISSON de paramètres λet µ.
Quelle est la loi suivie par X +Y ?
b) Même question lorsque X et Y suivent une même loi géométrique de paramètre p.
c) Même question lorsque X et Y suivent des lois binomiales de paramètres (n,p) et (m,p).
On pourra redémontrer la formule de VANDERMONDE :
k
X
i=0Ãn
i!Ã m
k−i!=Ãn+m
k!.
2. Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes qui suivent une même loi
géométrique de paramètre p.
a) Déterminer P(X >n) pour n∈N.
b) En déduire la loi de Z =min(X,Y). On vérifiera que cette loi est géométrique.
3. Une urne contient au départ une boule blanche et une boule noire. On effectue des tirages
d’une boule avec remise jusqu’à l’obtention d’une boule noire, en ajoutant à chaque ti-
rage, une boule blanche supplémentaire. On note X la variable égale au numéro du tirage
final où apparaît une boule noire, si un tel tirage existe, et égale à 0 si, à chaque tirage, une
boule blanche est obtenue.
a) Donner sans calcul X(Ω).
b) Déterminer, pour tout n∈N∗, P(X =n).
c) Montrer que
+∞
X
n=1
P(X =n)=1. En déduire P(X =0). Qu’en conclure ?
4. Soit pun réel tel que 0 <p<1. On suppose que la fonction de répartition F d’une variable
aléatoire X à valeurs dans N∗vérifie :
∀n∈N, F(n)=1−(1−p)n
Donner la loi de X.
Espérance et variance
5. Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p. Calculer Eµ1
X¶.
6. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗. On suppose que
∀n∈N∗, 4P(X =n+2) =5P(X =n+1)−P(X =n).
Montrer que X suit une loi usuelle. En déduire la valeur de son espérance et de sa variance.
7. Soit X ,→P(θ). On pose Y =1
X+1. Montrer que Y admet une espérance et la calculer.
8. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗telle que ∀k∈N∗, P(X =k)=a3−k.
a) Déterminer apour que l’on définisse bien ainsi une loi de probabilité.
b) X a-t-elle plus de chances de prendre des valeurs paires ou impaires?
c) Montrer que X a une espérance et une variance et les calculer.
d) On pose Y =X(X −1). Montrer que la variable aléatoire Y admet une espérance et la
calculer.
9. Un sauteur en hauteur tente de franchir les hauteurs successives 1, 2, ... ,n.. . On suppose
que, pour tout n∈N∗, la probabilité de succès est 1
n. Le sauteur est éliminé à son premier
échec. On note X la variable aléatoire égale au numéro du dernier saut réussi.
a) Justifier soigneusement que X(Ω)=N∗, puis déterminer la loi de X, et vérifier que
+∞
X
k=1
P(X =k)=1.
b) Montrer que X a une espérance et une variance et les calculer.
10. On joue à PILE ou FACE avec une pièce non équilibrée. À chaque lancer la probabilité d’ob-
tenir FACE est égale à 1
3. Les lancers sont supposés indépendants.
On note X la variable aléatoire réelle égale au nombre de lancers nécessaires pour l’obten-
tion pour la première fois de deux PILEs consécutifs. Soit nun entier naturel non nul. On
note pnla probabilité de l’événement ©X=nª. On note de plus Fil’événement « obtenir
FACE au i-ème lancer ».
a) Expliciter les événements ©X=2ª,©X=3ª,©X=4ª,©X=5ªà l’aide des événements Fiet
Fi. Déterminer la valeur de p1,p2,p3,p4,p5.
b) A l’aide de la formule des probabilités totales, en distinguant deux cas selon le résultat
du premier lancer, montrer que :
∀nÊ3, pn=2
9pn−2+1 3pn−1
c) En déduire l’expression de pnen fonction de n, pour n>1.
d) Calculer E(X).
11. Deux joueurs A et B lancent une pièce, dont la probabilité d’obtenir « PILE » est 1/3, jusqu’à
l’obtention d’un « PILE ». On note XA(resp. XB) le nombre de lancers nécessaires au joueur
A (resp. B).
a) Donner les lois de XAet XBainsi que leurs espérances et variances.
b) Calculer P(XA=XB).
c) Soit k∈N∗. Calculer P(XBÊk). En déduire P(XAÊXB).
12. On effectue des lancers de dé équilibré indépendants et on appelle « succès » l’obtention
d’un « 6 ». Pour tout n∈N∗, on note Xnle temps d’attente du n-ième succès.
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a) Déterminer la loi de Xn.(On pourra commencer par déterminer Xn(Ω), puis dénom-
brer le nombre d’issues de l’événement (Xn=n+k)où k ∈N).
b) En déduire que
+∞
X
k=nÃk−1
n−1!µ5
6¶k
=5n.
13. Un péage comporte 10 guichets numérotés de 1 à 10. Le nombre de voitures N, arrivant
au péage en 1 heure, suit une loi de POISSON de paramètre λ>0. On suppose de plus que
les conducteurs choisissent leur file au hasard et indépendamment des autres. Soit X1la
variable aléatoire égale au nombre de voitures se présentant au guichet no1 en une heure.
a) Quelle est la probabilité qu’une voiture qui arrive au péage se dirige vers le guichet no1 ?
b) Calculer P(N=n)(X1=k) pour tout 0 ÉkÉn. Et pour tout k>n?
c) Justifier que P(X1=k)=
+∞
X
n=k
P(N=n)(X1=k)·P(N =n).
Puis montrer que P(X1=k)=e−λµ1
10¶kλk k!
+∞
X
n=0µ9
10¶nλn n!.
d) En déduire la loi de X1, son espérance et sa variance.
14. Soit X une variable aléatoire réelle telle que E(|X|)=0. Montrer que P(X =0) =1.
Inégalité de BIENAYMÉ-TCHÉBYTCHEV
15. On utilise un dé cubique équilibré. Déterminer le nombre de lancers nécessaires pour
pouvoir affirmer avec un risque d’erreur inférieur à 5% que la fréquence d’apparition du
« 6 » au cours de ces lancers différera de 1/6 d’au plus 1/100.
16. Soit (Xn)nÊ1une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes avec Xnsuivant
une loi de Bernoulli de paramètre pn. Montrer que pour tout ε>0
lim
n→+∞ Pﯯ¯¯
X1+ ·· · + Xn
n−1 n
n
X
i=1
pi¯¯¯¯¯
<ε!=1
17. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de POISSON de paramètre λ.
Montrer que P(X Êλ+1) Éλ.
Fonctions génératrices
18. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de POISSON de paramètre λ>0.
a) Calculer E¡X(X −1)...(X −r+1)¢.
b) Retrouver ce résultat par les fonctions génératrices.
c) Reprendre l’exercice lorsque X suit une loi binomiale de paramètre p∈[0,1].
19. Deux joueurs lancent deux dés équilibrés. On veut déterminer la probabilité que les
sommes des deux jets soient égales. On note X1et X2les variables aléatoires déterminant
les valeurs des dés lancés par le premier joueur et Y1et Y2celles associées au deuxième
joueur. On étudie donc l’événement (X1+X2=Y1+Y2).
a) Montrer que P(X1+X2=Y1+Y2)=P(14+X1+X2−Y1−Y2=14).
b) Déterminer la fonction génératrice de la variable à valeurs naturelles Z =14+X1+X2−
Y1−Y2.
c) En déduire la valeur de P(X1+X2=Y1+Y2).
20. On considère une expérience aléatoire ayant la probabilité pde réussir et q=1−p
d’échouer définissant une suite de variables de BERNOULLI indépendantes (Xn)nÊ1.
Pour m∈N∗, on note Smla variable aléatoire déterminant le nombre d’essais jusqu’à l’ob-
tention de msuccès :
Sm=k⇐⇒ X1+ · ·· + Xm=ket X1+ · ·· + Xm−1<k
a) Déterminer la loi et la fonction génératrice de S1.
b) Même question avec Sm−Sm−1pour mÊ2.
c) Déterminer la fonction génératrice de Smpuis la loi de Sm.
Petits problèmes
21. Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La proportion de boules
blanches est pet la proportion de boules noires est q.
Ainsi, on a : 0 <p<1, 0 <q<1 et p+q=1.
Partie I : Tirages avec arrêt dès qu’une boule noire a été obtenue
Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête dès que l’on
a obtenu une boule noire.
On note T la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués et U la variable aléa-
toire égale au nombre de boules blanches obtenues.
a) Reconnaître la loi de T. Pour tout entier kÊ1, donner P(T =k) et rappeler l’espérance
et la variance de T.
b) En déduire que U admet une espérance et une variance. Déterminer E(U) et V(U).
Partie II : Tirages avec arrêt dès qu’une boule blanche et une boule noire ont été obte-
nues
Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête dès que l’on
a obtenu au moins une boule blanche et au moins une boule noire.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
On note Y la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
On note Z la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues.
Ainsi, on peut remarquer que la probabilité de l’événement (Y =1)∪(Z =1) est égale à 1.
Pour tout entier naturel non nul i, on note :
Bil’événement « la i-ème boule tirée est blanche »,
Nil’événement « la i-ème boule tirée est noire ».
a) (i) Montrer, pour tout entier kÊ2, P(X =k)=q.pk−1+p.qk−1.
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(ii) Vérifier
+∞
X
k=2
P(X =k)=1
(iii) Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance et que : E(X) =1
p+1 q−1.
b) (i) Pour tout entier kÊ2, déterminer P¡(X =k)∩(Y =1)¢
(On distinguera les cas k =2et k Ê3).
(ii) En déduire que P(Y =1) =q(1+p).
(iii) Déterminer la loi de la variable aléatoire Y.
On admet que l’espérance de Y existe et que E(Y) =1
q(1−p+p2).
c) Donner la loi de Z et son espérance.
d) Montrer que les variables aléatoires Y Z et X −1 sont égales.
e) Montrer que le couple (Y,Z) admet une covariance et exprimer cov(Y,Z) à l’aide de
E(X), E(Y) et E(Z).
22. Soit nun entier naturel non nul. Une entreprise dispose d’un lot du nfeuilles originales
qu’elle a numérotées 1, 2, ··· ,n. Elle photocopie ces nfeuilles originales et souhaite que
chaque original soit agrafé avec sa copie. L’entreprise programme le photocopieur afin
que chaque original soit agrafé avec sa copie. Cependant, suite à un défaut informatique,
la photocopieuse a mélangé les originaux et les copies. L’entreprise décide donc de placer
les noriginaux et les ncopies dans une boite. Une personne est alors chargée du travail
suivant : elle pioche simultanément et au hasard 2 feuilles dans la boite. S’il s’agit d’un ori-
ginal et de sa copie, elle les agrafe et les sort de la boite. Sinon, elle repose les deux feuilles
dans la boite et elle recommence.
On modélise l’expérience par un espace probabilisé (Ω,B,P). Soit Tnla variable aléa-
toire égale au nombre de pioches qui sont nécessaires pour vider la boite lorsque celle-ci
contient noriginaux et ncopies (soit 2nfeuilles).
On considère l’événement An: « à l’issue de la première pioche, les deux feuilles piochées
ne sont pas agrafées » et ansa probabilité c’est-à-dire que an=P(An).
a) Calculer an.
b) Étude de T2. On suppose dans cette question que n=2, c’est-à-dire que la boite
contient deux originaux et deux copies.
(i) Montrer que pour tout entier kÊ2 P(T2=k)=(1−a2)ak−2
2.
(ii) Justifier que la variable S2=T2−1 suit une loi géométrique dont on précisera le
paramètre.
En déduire l’espérance et la variance de T2en fonction de a2
c) Étude de T3. On suppose dans cette question que n=3, c’est-à-dire que la boite
contient trois originaux et trois copies.
(i) Calculer P(T3=2) puis P(T3=3) en fonction de a2et a3.
(ii) À l’aide du système complet d’événements (A3,A3), démontrer pour tout kÊ2 que
P(T3=k+1) =(1−a3)P(T2=k)+a3P(T3=k)
(iii) Montrer que
∀kÊ2, P(T3=k)=(1 −a2)(1 −a3)
a3−a2hak−2
3−ak−2 2i.
(iv) Calculer
+∞
X
k=2
P(T3=k).
(v) Prouver que la variable aléatoire T3−1 admet une espérance et calculer E(T3−1).
Donner la valeur de E(T3) en fonction de a2et a3.
(vi) Établir que la variable aléatoire T3(T3−1) admet une espérance et donner sa valeur
en fonction de a2et a3.
En déduire que T3admet une variance.
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