Probabilité, L2-424, 2014 Devoir maison 1 - LAMA

Probabilité, L2-424, 2014
Devoir maison 1
A rendre au plus tard le Mardi 1 Avril 2014
Consignes :
• Efforcez vous de rendre une copie propre, sans rature, sans aucune faute d’orthographe. Faîtes un brouillon !
• Efforcez vous de rédiger des raisonnements précis, en écrivant en premier ce que vous voulez démontrer, en introduisant les variables, en utilisant des connecteurs logiques “et”, “ou” , “donc” , “or” , “car” et en faisant à la fin de chaque
raisonnement une conclusion.
1. Fonctions génératrices.
La fonction génératrice de la loi de probabilité d’une variable aléatoire X à valeurs dans N est la fonction
+∞
GX (z) = ∑ P(X = i)zi .
i=0
(a) Montrer que la fonction GX est bien définie sur l’intervalle [−1, 1].
(b) Ecrire GX (z) comme l’espérance d’une variable aléatoire bien choisie.
(c) Montrer que la fonction GX est C{ ∞} sur l’intervalle ] − 1, 1[. Relier alors la loi de la variable aléatoire X avec
les dérivées successives de GX . Conclure que la fonction génératrice caractérise la loi de X.
(d) On dit que la variable aléatoire X admet un moment d’ordre r si l’espérance E(X r ) est bien définie.
• Montrer que X admet un moment d’ordre r si et seulement si la fonction génératrice GX est r fois dérivable à
gauche en 1.
• On suppose X de classe L2 , exprimer l’espérance et la variance de X en fonction de la dérivée première et de
la dérivée seconde de GX .
(e) On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y . Montrer que
GX+Y = GX .GY
(f) On dit qu’une suite de variables aléatoires réelles converge en loi vers une variable aléatoire X si en tout point x
où la fonction de répartition FX de la variable aléatoire X est continue on a
FXn (x) → FX (x).
Montrer que si ∀z ∈ [0, 1[, limn→∞ GXn (z) = GX (z) alors la suite Xn converge en loi vers X.
(g) On appelle fonction génératrice de la fonction de répartition F d’une variable X à valeurs dans N la fonction QX
de ] − 1, 1[ dans R définie par la série entière
+∞
QX (z) = ∑ P(X > i)zi .
i=0
Montrer alors que
∀z ∈] − 1, 1[, QX (z) =
1 − GX (z)
.
1−z
Lorsque X est L2 montrer que
E(X) = QX (1) et Var(X) = 2Q0X (1) + QX (1) − (QX (1))2 .
(h) Calculer la fonction génératrice d’une loi de Poisson et d’une loi binomiale. En déduire dans chaque cas l’espérance et la variance.
1
2. Régression linéaire au sens des moindres carrés.
On considère deux variables aléatoires X et Y de classe L2 . On cherche à minimiser
inf(Φ(a, b) | (a, b) ∈ R2 )
où
Φ(a, b) = E[Y − (aX + b)]2 .
On note X̂ et Ŷ les variables centrées X − E(X) et Y − E(Y ).
(a) Pour a et b fixé, prouver la relation
Φ(a, b) = E(Ŷ − aX̂)2 + (E(Y ) − aE(X) − b)2 .
(b) Fixons a = α, trouver bα minimisant b 7→ Φα,b . Montrer en particulier que
Φα,bα = Var(Y ) − 2αCov(X,Y ) + α2Var(X).
(c) En déduire que la borne inférieure de Φ est atteinte au point
σY
σY
, E(Y ) − E(X)ρX,Y
,
(a0 , b0 ) = ρX,Y
σX
σX
où
ρX,Y =
Cov(X,Y )
.
σX , σY
En déduire la meilleure approximation de Y au sens des moindres carrés.
(d) La droite D déquation
(y − E(Y )) − ρX,Y
σX
(x − E(X)) = 0
σY
est appellée droite de régression linéaire. Montrer que
P[(X,Y ) ∈ D] ⇔ Φ(a0 , b0 ) = 0.
(e) Si la variable aléatoire est de loi uniforme sur l’ensemble des n points de plan {(xi , yi )}1≤n , alors
Φ(a, b) =
2
1 n
∑ [y − (axi + b)]2 .
n i=1