Probabilité, L2-424, 2014 Devoir maison 1 - LAMA

Probabilité, L2-424, 2014
Devoir maison 1
A rendre au plus tard le Mardi 1 Avril 2014
Consignes :
•Efforcez vous de rendre une copie propre, sans rature, sans aucune faute d’orthographe. Faîtes un brouillon !
•Efforcez vous de rédiger des raisonnements précis, en écrivant en premier ce que vous voulez démontrer, en introdui-
sant les variables, en utilisant des connecteurs logiques “et”, “ou” , “donc” , “or” , “car” et en faisant à la fin de chaque
raisonnement une conclusion.
1. Fonctions génératrices.
La fonction génératrice de la loi de probabilité d’une variable aléatoire Xà valeurs dans Nest la fonction
GX(z) =
+∞
∑
i=0
P(X=i)zi.
(a) Montrer que la fonction GXest bien définie sur l’intervalle [−1,1].
(b) Ecrire GX(z)comme l’espérance d’une variable aléatoire bien choisie.
(c) Montrer que la fonction GXest C{∞}sur l’intervalle ]−1,1[. Relier alors la loi de la variable aléatoire Xavec
les dérivées successives de GX. Conclure que la fonction génératrice caractérise la loi de X.
(d) On dit que la variable aléatoire Xadmet un moment d’ordre rsi l’espérance E(Xr)est bien définie.
•Montrer que Xadmet un moment d’ordre rsi et seulement si la fonction génératrice GXest r fois dérivable à
gauche en 1.
•On suppose Xde classe L2, exprimer l’espérance et la variance de Xen fonction de la dérivée première et de
la dérivée seconde de GX.
(e) On considère deux variables aléatoires indépendantes Xet Y. Montrer que
GX+Y=GX.GY
(f) On dit qu’une suite de variables aléatoires réelles converge en loi vers une variable aléatoire Xsi en tout point x
où la fonction de répartition FXde la variable aléatoire Xest continue on a
FXn(x)→FX(x).
Montrer que si ∀z∈[0,1[, limn→∞GXn(z) = GX(z)alors la suite Xnconverge en loi vers X.
(g) On appelle fonction génératrice de la fonction de répartition Fd’une variable Xà valeurs dans Nla fonction QX
de ]−1,1[dans Rdéfinie par la série entière
QX(z) =
+∞
∑
i=0
P(X>i)zi.
Montrer alors que
∀z∈]−1,1[,QX(z) = 1−GX(z)
1−z.
Lorsque Xest L2montrer que
E(X) = QX(1)et Var(X) = 2Q0
X(1) + QX(1)−(QX(1))2.
(h) Calculer la fonction génératrice d’une loi de Poisson et d’une loi binomiale. En déduire dans chaque cas l’espé-
rance et la variance.
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2. Régression linéaire au sens des moindres carrés.
On considère deux variables aléatoires Xet Yde classe L2. On cherche à minimiser
inf(Φ(a,b)|(a,b)∈R2)
où
Φ(a,b) = E[Y−(aX +b)]2.
On note ˆ Xet ˆ Yles variables centrées X−E(X)et Y−E(Y).
(a) Pour aet bfixé, prouver la relation
Φ(a,b) = E(ˆ Y−aˆ X)2+ (E(Y)−aE(X)−b)2.
(b) Fixons a=α, trouver bαminimisant b7→ Φα,b. Montrer en particulier que
Φα,bα=Var(Y)−2αCov(X,Y) + α2Var(X).
(c) En déduire que la borne inférieure de Φest atteinte au point
(a0,b0) = ρX,Y
σY
σX
,E(Y)−E(X)ρX,Y
σY
σX,
où
ρX,Y=Cov(X,Y)
σX,σY
.
En déduire la meilleure approximation de Yau sens des moindres carrés.
(d) La droite Ddéquation
(y−E(Y)) −ρX,Y
σX
σY
(x−E(X)) = 0
est appellée droite de régression linéaire. Montrer que
P[(X,Y)∈D]⇔Φ(a0,b0) = 0.
(e) Si la variable aléatoire est de loi uniforme sur l’ensemble des npoints de plan {(xi,yi)}1≤n, alors
Φ(a,b) = 1
n
n
∑
i=1
[y−(axi+b)]2.
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