Préparation examen Robotique et Micro robotique

ExercicesRobotique/Microrobotique Page1
Préparationexamen
RobotiqueetMicrorobotique

ExercicesRobotique/Microrobotique Page2
Partie1:CinématiqueetJacobien
Exercice1.1:UtilitédelamatriceJacobienne
Soitlerobotplanrotatifà2ddlsuivant:
Figure. 1, robot planaire à 2 ddl
Lescoordonnéesarticulairescorrespondentauxanglesq1etq2.
Lescoordonnéesopérationnellescorrespondentauxcoordonnéescartésiennes(x,y)del’organe
terminalréférencédanslerepère(O,x0,y0).
Nousconsidéreronsquechaquelieniestdelongueurl.
Questions:
1. Quellemodèlegéométriquedecerobot.
2. EcrirelamatriceJacobiennepourcerobot
Noussupposonsque
• lalongueurl=500mm,
• Lavitessemaximaledésiréeauniveauopérationnelestde
o 0.5mm/s
o 1m/s
o 10m/s
• Larésolutionauniveauarticulaireestde0.01°
3. Quellessontlesvitessesmaximalesauxniveauxarticulairespourlesposturessuivantes
• (q1=0etq2=PI/2),(q1=0etq2=3.PI/4),
• (q1=PI/4etq2=PI/2),(q1=PI/4etq2=3.PI/4)$
x0
q1
q2
y0x3
y3
y1
x1
x2
y2

ExercicesRobotique/Microrobotique Page3
4. Quellessontlesrésolutionsopérationnellesauxniveauxdel’outilpourlespostures
suivantes
• (q1=0etq2=PI/2),(q1=0etq2=3.PI/4),
• (q1=PI/4etq2=PI/2),(q1=PI/4etq2=3.PI/4)
Réponseexercice1.1
1‐ Modélisationgéométrique,
Lamodélisationgéométriqued’unrobotcommenceàavoirunsensàpartirduchoixderepère
d’entréeetduchoixdurepèredesortie.C’estlaraisonpourlaquellecesdeuxrepèresontétés
préalablementchoisis.
Entrée:(q1,q2)etsortie:(x,y)
Deuxméthodespeuventêtreutiliséespourlamodélisationgéométriquedecerobotplanaire.
Laméthodegéométriquequiutiliselareprésentationgéométriqueetlesmatricesderotation
poursuccessivementpasserdepuislerepèredebase(O,x,y)verslerepèreàlasortie(0,x3,y3)en
passantparlesrepères(0,x1,y1)et(0,x2,y2).
Laméthodeanalytiquerevientàuniquementécrireleséquationstrigonométriquesqui
permettentdepasserdepuislescoordonnéesarticulairesàopérationnelles.
Méthodegéométrique:
VoirpartiecourPr.H.Bleuler.

ExercicesRobotique/Microrobotique Page4
Méthodeanalytique:
Ilsuffitd’écrireque(Figure2)
x=dx1+dx2=l1cos(q1)+l2cos(q1+q2)
y=dy1+dy2=l1sin(q1)+l2sin(q1+q2)
Figure. 2, robot planaire à 2 ddl (Modélisation géométrique)
Latransformationdecoordonnées(modèlegéométrique)estdonnéepar:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
++
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
)sin()sin(
)cos()cos(
),(
),(
21211
21211
212
211 qqlql
qqlql
qqf
qqf
y
x
2‐ CalculdelamatriceJacobienne,
LamatriceJacobienneestégalementliéeauchoixdurepèred’entéetdesortie.Nousavons
vuqu’ellepouvaitêtrecalculéededeuxmanières:analytiqueetgéométrique.
Méthodeanalytique:
Laméthodeanalytiquerevientàfaireunedérivationpartielledumodèlegéométriquepar
rapportauxcoordonnéesarticulaires:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++
+−+−−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=)cos()cos()cos(
)sin()sin()sin(
21221211
21221211
2
2
1
2
2
1
1
1
qqlqqlql
qqlqqlql
q
f
q
f
q
f
q
f
JA
x0
q1
q2
y0x3
y3
dx1dx2
dy2
dy1

ExercicesRobotique/Microrobotique Page5
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++
+−+−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
21221211
21221211 )cos()cos()cos(
)sin()sin()sin(
q
q
qqlqqlql
qqlqqlql
y
x
&
&
&
&
Méthodegéométrique:
LaméthodegéométriquededéterminationdelamatriceJacobienneconsisteàretrouver
cettedernièregrâceàlaconstructiongéométriqueétudiéeencours(§2.2.3.1).
LamatriceJacobiennes’écrit:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−∧−∧
=
2
232
1
131 )()(
z
ppz
z
ppz
Jr
r
r
r
r
rr
r
Avec,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
0
0
1
p
r,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
)sin(
)cos(
11
11
2ql
ql
p
r,vecteursdeliaisondepuislabaseàla1èreetla2ème
articulation.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
=
0
)sin()sin(
)cos()cos(
21211
21211
3qqlql
qqlql
p
r,vecteurdeliaisondepuislabaseàl’organeterminal.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
==
1
0
0
21 zz rr ,carlerobotestplanaire(absencederotation)
Alors,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+−+−−
=
11
00
00
00
)cos()cos()cos(
)sin()sin()sin(
21221211
21221211
qqlqqlql
qqlqqlql
J
Ilfautremarquerquedanscecaslerobotestdedimension2etquenousnousintéressons
uniquementauxtranslations.LaJacobiennemettantenévidenceuniquementles
translationss’écrit: