SERIES DE FOURIER 1 Séries trigonométriques 2 Développement

SERIES DE FOURIER
1 Séries trigonométriques
Son terme général est de la forme :
un=ancos(nωt) + bnsin(nωt)
où (an)et (bn)sont deux suites numériques appelées coefficients de la série, remarquer que u0=a0.
Si la série trigonométrique est convergente sa somme Sest une fonction de tde période T=2π
ω
continue par morceaux sur tout intervalle Idu type [α;α+T]où α∈R.
S(t) = a0+(a1cos(ωt)+b1sin(ωt))+(a2cos(2ωt)+b2sin(2ωt))+. . .+(ancos(nωt)+bnsin(nωt))+. . .
S(t) = a0+
+∞
X
n=1
(ancos(nωt) + bnsin(nωt))
2 Développement en série de Fourier. Conditions de Dirichlet
2.1 Conditions de Dirichlet
Soient fune fonction de période Tet Iun intervalle du type [α;α+T].
Si fest continue et admet une dérivée continue sur Isauf peut-être en un nombre fini de points ti
(points particuliers ), points en lesquels fet f0admettent des limites finies à droite et à gauche alors f
est développable en série de Fourier. Les coefficients de la série sont donnés par les formules :
a0=1
TZα+T
α
f(t)dt
et pour n6= 0,
an=2
TZα+T
α
f(t) cos(nωt)dt
bn=2
TZα+T
α
f(t) sin(nωt)dt
avec ω=2π
Tet αréel quelconque.
Les nombres a0, an, bnsont les coefficients de Fourier de f. Pour les calculer, on prend en pra-
tique α= 0 ou α=−T
2
Le nombre a0est la valeur moyenne de f sur une période.
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2.2 Convergence
Si fsatisfait aux conditions de Dirichlet, alors :
– si la fonction fest continue en ti, la série de Fourier associée à fconverge vers f(ti);
– si la fonction fn’est pas continue en ti, la série de Fourier associée à fconverge vers
S(ti) = 1
2[f(t+
i) + f(t− i)]
f(t+
i)représente la limite à droite de fau point ti,
f(t−
i)représente la limite à gauche de fau point ti.
3 Cas des fonctions paires ou impaires
Si la fonction fest paire (signal symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) on a un développe-
ment en cosinus : pour tout n,bn= 0 ;
pour calculer a0et les anon peut utiliser les formules réduites :
a0=2
TZT
2
0
f(t)dt
et pour tout n≥1
an=4
TZT
2
0
f(t) cos(nωt)dt
Si la fonction fest impaire (signal symétrique par rapport à l’origine) on a un développement en sinus :
pour tout n,an= 0 ;
pour calculer les bn,on peut utiliser la formule réduite pour tout n≥1:
bn=4
TZT
2
0
f(t) sin(nωt)dt
4 Analyse spectrale ( spectres)
Soit une fonction périodique fet sa série de Fourier associée
S(t) = a0+
+∞
X
n=1
(ancos(nωt) + bnsin(nωt))
Pour n > 0, on peut écrire un=ancos(nωt) + bnsin(nωt) = Ancos(nωt −ϕn)avec An≥0.
En effet : Ancos(nωt −ϕn) = Ancos(nωt) cos ϕn+Ansin(nωt) sin ϕnet par identification ,
on obtient : an=Ancos ϕnet bn=Ansin ϕn
on en déduit a2
n+b2 n=A2 n, donc An=pa2 n+b2 n
4.1 Définition 1
La série de Fourier associée à fpeut s’écrire
f(t) = a0+
∞
X
n=1
Ancos(nωt −ϕn)
2

a0est la valeur moyenne de fsur une période. Les termes suivants ancos(nωt) + bnsin(nωt) =
Ancos(nωt −ϕn)sont les harmoniques de rang n.
Le nombre An=pa2
n+b2 nest l’amplitude de l’harmonique de rang net ϕnest la phase.
Remarque : le premier harmonique a1cos(ωt) + b1sin(ωt)est appelé le fondamental; sa fré-
quence est celle de la fonction fsoit ν=1
T=ω 2π.
L’harmonique de rang na pour période 2π
nω =T net pour fréquence n T=nν ; les fréquences des
harmoniques sont des multiples de la fréquence du fondamental.
4.2 Définition 2
On appelle spectre des fréquences d’une fonction périodique du temps, le diagramme en bâtons
obtenu en représentant Anen fonction de n.
Le spectre des fréquences est la représentation graphique par un diagramme en bâtons de la suite
(An).
5 Formule de PARSEVAL
5.1 Théorème
Soit une fonction périodique fet sa série de Fourier associée
S(t) = a0+
+∞
X
n=1
(ancos(nωt) + bnsin(nωt))
On appelle norme de fle nombre noté ||f|| avec
||f|| =s1
TZα+T
α
f2(t)dt
On a la formule de PARSEVAL :
||f||2=1
TZα+T
α
f2(t)dt =a2
0+1
2
∞
X
n=1
(a2
n+b2 n) = a2 0+1
2
∞
X
n=0
A2
n=a2 0+
∞
X
n=0
En
5.2 Interprétation physique
La valeur efficace de fest le nombre ||f|| =s1
TZT
0
f2(t)dt.
Le carré de la valeur efficace de f, soit ||f||2, représente l’énergie de fsur [α;α+T].
Si la valeur moyenne a0de fest nulle sur [α;α+T]l’énergie du signal fest la somme des
énergies Endes harmoniques qui le composent.
3

6 Forme complexe du développement en série de Fourier d’une fonction
périodique
6.1 Propriété
Si fest une fonction vérifiant les conditions de Dirichlet, alors pour tout réel toù la fonction f
est continue :
f(t) = a0+
+∞
X
n=1
(ancos(nωt) + bnsin(nωt)) =
+∞
X
−∞
cneinωt
avec pour n∈N
cn=1
TZα+T
α
f(t)e−inωtdt
Les coefficients de Fourier complexes cnsont liés aux coefficients de Fourier réels anet bnpar les
relations :
c0=a0cn=an−ibn
2c−n=an+ibn 2
De plus :
|cn|=|c−n|=1
2pa2
n+b2 n
lim
n→∞ |cn|= lim n→∞ an= lim n→∞ bn= 0
6.2 Formule de Parseval
Dans le cas complexe, la formule de PARSEVAL s’écrit :
1
TZα+T
α
|f2(t)|dt =|a2
0|+1
2
∞
X
n=1
(|a2
n|+|b2 n|) =
∞
X
−∞
|c2
n|
Dans le cas particulier ou fest à valeurs réelles , la formule de PARSEVAL s’écrit :
1
TZα+T
α
f2(t)dt =a2
0+1
2
∞
X
n=1
(a2
n+b2 n) =
∞
X
−∞
|c2
n|
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