© S.Boukaddid Eléctronique MP Composition en fréquence d'un signal périodique Table des matières 1 Composition en fréquence d’un signal périodique 1.1 Théorème de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Signal carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Signal triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal périodique 2 Représentation spéctrale 2.1 Spectre d’un signal périodique 2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . 2.3 Série à coefficients complexes 2.4 Interprétation énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 3 4 . . . . 5 5 5 6 7 1/7 © S.Boukaddid Eléctronique MP 1 Composition en fréquence d’un signal périodique 1.1 Théorème de Fourier 1 (pulsation ω = T 2π ),continûment dérivable sauf en un nombre fini de points par période,peut être mise sous T la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales,dont les pulsations sont des multiples en2π tiers de ω = : T • Enoncé : Toute fonction périodique de période T et de fréquence f = S(t ) = a 0 + ∞ X (a n cos(nωt ) + b n sin(nωt )) n=1 Ce développement est appelé développement en série de Fourier du signal S(t ) Ï a 0 : valeur moyenne du signal S(t ) 1 a0 = T Z T S(t )d t 0 Ï les coefficients a n et b n sont donnés par Z 2 T an = S(t ) cos(nωt )d t T 0 2 bn = T T Z S(t ) sin(nωt )d t 0 Ï le terme a n cos(nωt ) + b n sin(nωt ) est une fonction sinusoïdale de pulsation nω et s’appelle harmonique de rang n Ï l’harmonique de rang 1 est appelé fondamental du signal Ï l’harmonique de rang n : a n cos(nωt ) + b n sin(nωt ) peut se mettre sous la forme : a n cos(nωt ) + b n sin(nωt ) = Cn cos(nωt + ϕn ) avec : Cn = q a n2 + b n2 ; tan ϕn = − bn an • Cn : l’amplitude de l’harmonique de rang n • ϕn : la phase à l’origine S(t ) = a 0 + ∞ X Cn cos(nωt + ϕn ) n=1 Ï Parité d’un signal 2/7 © S.Boukaddid Eléctronique MP • si le signal S(t ) est une fonction paire,les coefficients b n du développement en série de fourier sont tous nuls S(t ) est paire ⇔ b n = 0 • si le signal S(t ) est une fonction impaire,les coefficients a n du développement en série de Fourier sont tous nuls. S(t ) est impaire ⇔ a n = 0 1.2 Exemples 1.2.1 Signal carré Considérons un signal carré S(t ),d’amplitude E,de période T,de pulsation ω = 2π . T S(t ) E T 2 t T −E • S(t ) : fonction impaire donc a n = 0 • < S(t ) >= 0 = a 0 : signal alternatif µZ T/2 ¶ Z Z T 2 T 2 • bn = S(t ) sin(nωt )d t = E sin(nωt )d t + −E sin(nωt )d t T 0 T 0 T/2 · ¸ · ¸ cos(nωt ) T/2 2E cos(nωt ) T 2E 2E − + = (1 − cos(nπ)) • bn = T nω T nω nπ 0 T/2 b 2p = 0 ; b 2p+1 = 4E (2p + 1)π ∞ sin(2p + 1)ωt 4E X S(t ) = π p=0 2p + 1 1.2.2 Signal triangulaire Considérons un signal triangulaire S(t ) de période T et d’amplitude E. 3/7 © S.Boukaddid Eléctronique MP S(t ) +E T T 2 t −E 4E T • S(t ) est une fonction paire : b n = 0 • la pente du signal vaut : ± • a 0 = 0 : signal alternatif µZ T/2 ¶ Z Z T 2 T 2 4E 4E • an = S(t ) cos(nωt )d t = t cos(nωt )d t + − t cos(nωt )d t T 0 T 0 T T T/2 ¢ 4E 4E ¡ • a n = − 2 2 (1 − cos(nπ)) = − 2 2 1 − (−1)n n π n π a 2p = 0; a 2p+1 = − S(t ) = − 8E π2 (2p + 1)2 ∞ cos(2p + 1)ωt 8E X π2 p=0 (2p + 1)2 1.3 Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal périodique Soit un signal périodique S(t ),de période T = s’écrit : S(t ) = a 0 + ∞ X 2π ,sa décomposition en série de Fourier ω Cn cos(nωt + ϕn ) n=1 Ï Valeur moyenne : la valeur moyenne S moy du signal S(t ) est définie par Z 1 T S moy = S(t )d t = a 0 T 0 Ï Valeur efficace : la valeur efficace d’un signal S e f f est par définition,égale à la racine carrée de la valeur moyenne du carrée de S(t ) Z 1 T 2 2 Se f f = S (t )d t T 0 On montre facilement que S 2e f f = a 02 + ∞ C2 X n n=1 2 c’est la formule de Parseval 4/7 © S.Boukaddid Eléctronique MP Ï Pour un signal sinusoïdal : S(t ) = S m cos(ωt + ϕ) Sm Se f f = p 2 Ï Pour un signal sinusïdal décalé par une composante continue : S(t ) = a 0 + S m cos(ωt + ϕ) s S 2m 2 S e f f = a0 + 2 Ï Facteur de forme : par définition on appelle facteur de forme f d’un signal périodique S(t ),le rapport entre la valeur efficace et la valeur moyenne du signal r 1 P∞ 2 2 a + n=1 Cn 0 Se f f 2 f = = S moy a0 • pour un signal continu : f = 1 • pour un signal périodique de valeur moyenne nulle f n’est pad défini 2 Représentation spéctrale 2.1 Spectre d’un signal périodique •Définition : le spectre en fréquence d’un signal est une représentation de celui-ci dans l’espace des fréquences. On obtient cette représentation en portant sur un diagramme,en ordonnée l’amplitude Cn des harmoniques et en abscisse les pulsations correspondantes. Cn C1 C2 a0 C3 C4 C5 ω 2ω 3ω 4ω 5ω pulsation 2.2 Exemples Ï Signal carré 5/7 © S.Boukaddid Eléctronique MP Cn 4E/π décroissance en 1/n 1 1/3 1/5 ω 3ω 2ω 4ω 5ω pulsation 6ω 7ω Ï Signal triangulaire Cn 8E/π2 1 décroissance en 1/n 2 ω 2ω 3ω 4ω 5ω pulsation 6ω 7ω 2.3 Série à coefficients complexes La série de Fourier peut être également écrit en utilisant les nombres complexes ∞ X S(t ) = k=−∞ Ck e j kωt les coefficients Ck sont calculés par 1 Ck = T Z S(t )e − j kωt d t (T) • C0 = a 0 : réel • pour k > 0 , Ck = • ϕk = arg(Ck ) ak − j bk et C−k = C∗ k 2 6/7 © S.Boukaddid Eléctronique MP 2.4 Interprétation énergétique S 2e f f = a 02 + ∞ C2 X n n=1 2 = ∞ X k=−∞ |Ck |2 On constate que la puissance du signal résultant est bien ici la somme des puissances de chacune des termes. 7/7
