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Chapitre 1e

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© S.Boukaddid
Eléctronique
MP
Composition en fréquence d'un signal périodique
Table des matières
1 Composition en fréquence d’un signal périodique
1.1 Théorème de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Signal carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Signal triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal périodique
2 Représentation spéctrale
2.1 Spectre d’un signal périodique
2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . .
2.3 Série à coefficients complexes
2.4 Interprétation énergétique . .
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5
5
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Eléctronique
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1 Composition en fréquence d’un signal périodique
1.1 Théorème de Fourier
1
(pulsation ω =
T
2π
),continûment dérivable sauf en un nombre fini de points par période,peut être mise sous
T
la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales,dont les pulsations sont des multiples en2π
tiers de ω =
:
T
• Enoncé : Toute fonction périodique de période T et de fréquence f =
S(t ) = a 0 +
∞
X
(a n cos(nωt ) + b n sin(nωt ))
n=1
Ce développement est appelé développement en série de Fourier du signal S(t )
Ï a 0 : valeur moyenne du signal S(t )
1
a0 =
T
Z
T
S(t )d t
0
Ï les coefficients a n et b n sont donnés par
Z
2 T
an =
S(t ) cos(nωt )d t
T 0
2
bn =
T
T
Z
S(t ) sin(nωt )d t
0
Ï le terme a n cos(nωt ) + b n sin(nωt ) est une fonction sinusoïdale de pulsation nω et
s’appelle harmonique de rang n
Ï l’harmonique de rang 1 est appelé fondamental du signal
Ï l’harmonique de rang n : a n cos(nωt ) + b n sin(nωt ) peut se mettre sous la forme :
a n cos(nωt ) + b n sin(nωt ) = Cn cos(nωt + ϕn )
avec :
Cn =
q
a n2 + b n2 ; tan ϕn = −
bn
an
• Cn : l’amplitude de l’harmonique de rang n
• ϕn : la phase à l’origine
S(t ) = a 0 +
∞
X
Cn cos(nωt + ϕn )
n=1
Ï Parité d’un signal
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• si le signal S(t ) est une fonction paire,les coefficients b n du développement en série
de fourier sont tous nuls
S(t ) est paire ⇔ b n = 0
• si le signal S(t ) est une fonction impaire,les coefficients a n du développement en série
de Fourier sont tous nuls.
S(t ) est impaire ⇔ a n = 0
1.2 Exemples
1.2.1 Signal carré
Considérons un signal carré S(t ),d’amplitude E,de période T,de pulsation ω =
2π
.
T
S(t )
E
T
2
t
T
−E
• S(t ) : fonction impaire donc a n = 0
• < S(t ) >= 0 = a 0 : signal alternatif
µZ T/2
¶
Z
Z T
2 T
2
• bn =
S(t ) sin(nωt )d t =
E sin(nωt )d t +
−E sin(nωt )d t
T 0
T 0
T/2
·
¸
·
¸
cos(nωt ) T/2 2E cos(nωt ) T
2E
2E
−
+
=
(1 − cos(nπ))
• bn =
T
nω
T
nω
nπ
0
T/2
b 2p = 0 ; b 2p+1 =
4E
(2p + 1)π
∞ sin(2p + 1)ωt
4E X
S(t ) =
π p=0
2p + 1
1.2.2 Signal triangulaire
Considérons un signal triangulaire S(t ) de période T et d’amplitude E.
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S(t )
+E
T
T
2
t
−E
4E
T
• S(t ) est une fonction paire : b n = 0
• la pente du signal vaut : ±
• a 0 = 0 : signal alternatif
µZ T/2
¶
Z
Z T
2 T
2
4E
4E
• an =
S(t ) cos(nωt )d t =
t cos(nωt )d t +
− t cos(nωt )d t
T 0
T 0
T
T
T/2
¢
4E
4E ¡
• a n = − 2 2 (1 − cos(nπ)) = − 2 2 1 − (−1)n
n π
n π
a 2p = 0; a 2p+1 = −
S(t ) = −
8E
π2 (2p + 1)2
∞ cos(2p + 1)ωt
8E X
π2 p=0 (2p + 1)2
1.3 Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal périodique
Soit un signal périodique S(t ),de période T =
s’écrit :
S(t ) = a 0 +
∞
X
2π
,sa décomposition en série de Fourier
ω
Cn cos(nωt + ϕn )
n=1
Ï Valeur moyenne : la valeur moyenne S moy du signal S(t ) est définie par
Z
1 T
S moy =
S(t )d t = a 0
T 0
Ï Valeur efficace : la valeur efficace d’un signal S e f f est par définition,égale à la racine
carrée de la valeur moyenne du carrée de S(t )
Z
1 T 2
2
Se f f =
S (t )d t
T 0
On montre facilement que
S 2e f f
= a 02 +
∞ C2
X
n
n=1
2
c’est la formule de Parseval
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Ï Pour un signal sinusoïdal : S(t ) = S m cos(ωt + ϕ)
Sm
Se f f = p
2
Ï Pour un signal sinusïdal décalé par une composante continue :
S(t ) = a 0 + S m cos(ωt + ϕ)
s
S 2m
2
S e f f = a0 +
2
Ï Facteur de forme : par définition on appelle facteur de forme f d’un signal périodique S(t ),le rapport entre la valeur efficace et la valeur moyenne du signal
r
1 P∞
2
2
a
+
n=1 Cn
0
Se f f
2
f =
=
S moy
a0
• pour un signal continu : f = 1
• pour un signal périodique de valeur moyenne nulle f n’est pad défini
2 Représentation spéctrale
2.1 Spectre d’un signal périodique
•Définition : le spectre en fréquence d’un signal est une représentation de celui-ci dans l’espace des fréquences. On obtient cette représentation en portant sur un diagramme,en ordonnée l’amplitude Cn des harmoniques et en abscisse les pulsations correspondantes.
Cn
C1
C2
a0
C3
C4
C5
ω
2ω
3ω
4ω
5ω
pulsation
2.2 Exemples
Ï Signal carré
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Cn
4E/π
décroissance en 1/n
1
1/3
1/5
ω
3ω
2ω
4ω
5ω
pulsation
6ω
7ω
Ï Signal triangulaire
Cn
8E/π2
1
décroissance en 1/n 2
ω
2ω
3ω
4ω
5ω
pulsation
6ω
7ω
2.3 Série à coefficients complexes
La série de Fourier peut être également écrit en utilisant les nombres complexes
∞
X
S(t ) =
k=−∞
Ck e j kωt
les coefficients Ck sont calculés par
1
Ck =
T
Z
S(t )e − j kωt d t
(T)
• C0 = a 0 : réel
• pour k > 0 , Ck =
• ϕk = arg(Ck )
ak − j bk
et C−k = C∗ k
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2.4 Interprétation énergétique
S 2e f f
= a 02 +
∞ C2
X
n
n=1
2
=
∞
X
k=−∞
|Ck |2
On constate que la puissance du signal résultant est bien ici la somme des puissances de
chacune des termes.
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