Chapitre 4 Nombres complexes, fonctions et formules

Chapitre 4
Nombres complexes, fonctions et
formules trigonom´etriques
4.1 Nombres complexes
L’ensemble Cdes nombres complexes est
C={z=a+ib :a, b ∈R}
o`u i2=−1.
R⊂C.
D´efinition 4.1.1. On dit que l’´ecriture z=a+ib o`u aet b∈R, est la forme alg´ebrique de
z. Cette ´ecriture est unique.
a=(z)est la partie r´eelle de zet b=(z)est la partie imaginaire de z.
Tout nombre complexe non nul tel que (z)=0est appel´e imaginaire pur.
Soient z=a+ib et z�=a�+ib�(a, b, a�,b
�∈R) deux nombres complexes. z=z�⇐⇒ a=
a�et b=b�.
Cest muni de deux lois de composition internes, l’addition + et la multiplication ×:
soient z=a+ib et z�=a�+ib�∈C.
1. z+z�=(a+a�)+i(b+b�)
2. zz�=(aa�−bb�)+i(ab�+ba�)
D´efinition 4.1.2. Le module d’un nombre complexe zest : |z|=(z)2+(z)2∈R+.
Le conjugu´e d’un nombre complexe zest : ¯z=(z)−i(z)∈C.
Proposition 4.1.1. ∀z,z�∈C, on a
1. z+¯z=2(z),z−¯z=2i(z)
2. z¯z=|z|2
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3. Si z=0,1
z=¯z |z|2
4. Si z�=0,z
z�=z1 z�=z¯
z�
|z�|2
5. z+z�=¯z+¯ z�,zz�=¯z¯ z�,(z
z�)= ¯z
¯
z�,
6. |zz�|=|z|| z�|
7. |z
z�|=|z| |z�|
8. |z+z�|≤|z|+|z�|(In´egalit´e triangulaire)
Exercice 4.1.1. Prouvez cette proposition. Et montrez que le module est une distance sur
C.
Quelles sont les parties r´eelles et imaginaires du complexe 1+i
2+3i?
4.1.1 Equations du second degr´e
Th´eor`eme 4.1.1. (de d’Alembert) Tout polynˆome `a coefficient dans Cadmet au moins
une racine dans C.
On s’int´eresse aux ´equations du type ax2+bx +c=0(o`ua, b et c∈R,a=0).
P(x)=ax2+bx +cest un polynˆome du second degr´e.
Mise sous forme canonique :
P(x)=a[x2+b
ax=c a]=a[(x+b 2a)2+c a−b2 4a2]=a[(x+b 2a)2−∆ 4a2],
o`u ∆=b2−4ac.
P(x)=0⇐⇒ (x+b
2a)2=∆ 4a2car a= 0. Les racines de Psont les solutions de l’´equation
P(x)=0.
1. Si ∆<0, ∆
4a2<0etPn’admet pas de racine dans R. Ses racines sont dans C\R.
(x+b
2a)2=∆ 4a2=−|∆| 4a2=(i)2.(|∆| 2a)2
⇐⇒ x+b
2a=i|∆| 2aou −i|∆| 2a
⇐⇒ x=−b
2a+i|∆| 2aou −b 2a−i|∆| 2a.
2. Si ∆= 0, Padmet une unique racine dans R. On dit qu’elle est double ou de multiplicit´e
2.
x0=−b
2a.
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3. Si ∆>0, ∆
4a2>0etPadmet deux racines distinctes dans R.
(x+b
2a)2=∆ 4a2=(
√∆
2a)2
⇐⇒ x+b
2a=√∆ 2aou −√∆ 2a
⇐⇒ x=−b
2a+√∆ 2a:= x1ou −b 2a−√∆ 2a:= x2.
4. R´esoudre P(x) = 0 est ´equivalent `a r´esoudre le syst`eme suivant x+y=−b
a
xy =c
a
.
Remarque 4.1.1. En pratique, pour factoriser un polynˆome et trouver ses racines, on com-
mence par chercher s’il a des racines ´evidentes : 0,1,−1,.... Par exemple, −1 est ´evidemment
racine de P(x):=3x2+2x−1, donc on commence par ´ecrire P(x)=(x+1)(px +q)avant
de d´eterminer pet q.
Exercice 4.1.2. 1) Tracez sch´ematiquement la courbe y=P(x) dans un rep`ere orthogonal
(xOy) de R2, dans les trois cas : ∆= 0,∆>0,∆<0.
2) Etudiez le signe de P(x) sur R, dans les trois cas pr´ec´edents.
3) R´esoudre x+1=√11 −x.
Exercice 4.1.3. In´equations et syst`emes d’in´equations
R´esoudre dans C:
1. z2+3z<−2,
2. −2z2+6z−5=0.
4.1.2 Repr´esentation g´eom´etrique d’un nombre complexe
* Le nombre complexe z=a+ib est associ´e au point M=(a, b) du plan muni du rep`ere
orthonorm´e direct (O,� i,� j).
Ce point Mest appel´e point image de zet le vecteur � OM =(a, b) est appel´e vecteur image
de z, tandis que z=a+ib est l’affixe du point Mou du vecteur � OM.
|z|=OM.
* Si les deux points Aet Bont pour affixes les deux complexes zAet zB, alors zB−zAest
l’affixe du vecteur � AB =� AO +� OB =� OB −� OA.
|zB−zA|=|| � AB ||.
* Si les deux points Aet Bont pour affixes les deux complexes zAet zB, alors (zA+zB)/2
est l’affixe du milieu du segment [AB].
* Soient M(a, b) le point d’affixe zet kun r´eel non nul. Le produit kz est l’affixe du point
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P(ka, kb) v´erifiant � OP =k� OM.Pest l’image de Mpar l’homoth´etie de centre Oet de
rapport k.
* Soient Mle point d’affixe z. Alors le produit iz est l’affixe du point N(−b, a), image de M
dans la rotation de centre Oet d’angle π/2.
Exercice 4.1.4. D´eterminer l’ensemble des nombres complexes x+iy tels que :
1. x+2y≤4
x−y<1.
2. x2<y
y<
x+3
2
.
4.1.3 Cercle trigonom´etrique et forme trigonom´etrique d’un nombre
complexe
Le cercle trigonom´etrique (ou cercle unit´e) Cest le sous ensemble de R2(identifi´e au
plan de coordonn´ees (xOy) muni d’un rep`ere orthonorm´e (O,� i,� j)) constitu´e des points `a
une distance 1 de l’origine : le cercle de centre Oet de rayon 1. Il peut ˆetre identifi´e au sous
ensemble de Csuivant
C={z∈C:|z|=1}.
Repr´esentez le sur votre feuille sans l’aide de votre calculatrice !
On note Ile point de coordonn´ees (1,0) et Jle point de coordonn´ees (0,1).
Rappels :
* Soit α∈Run angle. Soit Ale point du cercle trigonom´etrique tel que l’angle ( � OI, � OA)=α.
On appelle cosinus et sinus de l’angle α, et l’on note cos α,sinα, les coodonn´ees du point A
dans le rep`ere (O,� i,� j).
*∀α∈R,cos
2α+sin
2α=1.
*−1≤cos α≤1, −1≤sin α≤1.
*∀k∈Z,cos(α+2kπ)=cosα,sin(α+2kπ)=sinα.
* Si α=π
2+kπ,o`uk∈Z, alors cos α=0ettanα=sin α cos α.
Placer dans le plan (xOy) le point Tde coordonn´ees (1,tan α).
V´erifier que Test le point d’intersection de la tangente `a Cen Iet de la droite (OA).
Soit Mun point de Cd’affixe z. Alors z=cosθ+isin θ,o`uθ∈R(en radians).
Soit z=x+iy ∈C∗.r=|z|=x2+y2>0 son module. Alors z
r∈C∗et mˆeme |z r|=1.
Donc il existe θ∈[0,2π[ tel que z
r=cosθ+isin θ. La forme trigonom´etrique de zest
z=|z|(cos θ+isin θ).
θest un argument de z.θ+2kπen sont d’autres (k∈Z).
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ATTENTION : l’origine On’a pas d’argument.
On ´ecrit (en l’admettant) la forme trigonom´etrique de z:z=|z|eiθ, o`u la fonction
e.est la fonction exponentielle.
Exercice 4.1.5. Donnez la forme exponentielle des nombres complexes 1 −i,iet −1.
Notations. on ´ecrit que 2 r´eels xet ysont ´egaux modulo 2π
x≡y[2π]
s’il existe k∈Ztel que x=y+2kπ.
Th´eor`eme 4.1.2. Deux nombres complexes non nuls sont ´egaux ssi ils ont mˆeme module et
des arguments ´egaux `a un multiple de 2πpr`es.
Proposition 4.1.2. arg(¯z)≡−arg(z),arg(−z)≡π+arg(z),arg(zz�)≡arg(z)+arg(z�),
arg(1/z)≡−arg(z),arg(z/z�)≡arg(z)−arg(z�)
Cela provient des r`egles de calcul de la fonctions exponentielle : eiθeiθ�=ei(θ+θ�),1/eiθ=
e−iθ,eiθ
eiθ�=ei(θ−θ�),(eiθ)n=einθ.
Proposition 4.1.3. .
1. Formule de De Moivre.(cos θ+isin θ)n= cos(nθ)+isin(nθ).
2. Formules d’Euler.cos θ=eiθ+e−iθ
2et sin θ=eiθ−e−iθ 2i.
4.1.4 Nombres complexes et transformations du plan
Translation. Soient z, z�et ades nombres complexes. La transformation du plan qui `a
tout point Md’affixe zassocie le point M�d’affixe z�=z+a, est la translation de vecteur
�uayant pour affixe a.
Montrez le.
Homoth´etie. Soient z, z�et ωdes nombres complexes et kun r´eel non nul. La transformation
du plan qui `a tout point Md’affixe zassocie le point M�d’affixe z�tel que z�−ω=k(z−ω),
est l’homoth´etie de rapport ket de centre le point Ωd’affixe ω.
Montrez le.
Rotation. Soient z, z�et ωdes nombres complexes et αun r´eel. La transformation du plan
qui `a tout point Md’affixe zassocie le point M�d’affixe z�tel que z�−ω=eiα(z−ω), est
la rotation d’angle αet de centre le point Ωd’affixe ω.
Montrez le.
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