Calcul algébrique 1) Nombres et opérations :

Calcul algébrique 1
Calcul algébrique
1) Nombres et opérations :
1.1 L’ensemble des entiers naturels
Il existe différentes catégories de nombres.
La première est la plus élémentaire et la plus simple, il s’agit de l’ensemble des entiers naturels noté
. Cet ensemble, provient de l’interprétation de quantités positives dans notre vie de tous les jours.
Il permet de quantifier et de ranger les objets.
L’ensemble des nombres entiers naturels est donc l’ensemble des nombres entiers et positifs :
On note aussi parfois ainsi : 
Dans cet ensemble, il est tout naturel de poser l’opération de l’addition :
Il faut aussi faire attention à ce que la différence soit définie :
En effet, si  nous obtenons un nombre négatif qui n’est pas dans l’ensemble des entiers
naturels.
L’addition de deux nombres entiers positifs peut se définir formellement ainsi :
Ça se lit ainsi : « A tout couple d’entiers positifs  on associe le nombre  »

Calcul algébrique 2
Produit cartésien de deux ensembles de nombres :
Je viens d’utiliser la notation , c’est le produit cartésien de l’ensemble  par lui-même.
Quand on fait le produit cartésien de deux ensembles, on obtient l’ensemble des couples de chaque
élément de ces ensembles.
Par exemple si
 et 
Alors le produit cartésien de  par  noté  sera l’ensemble suivant :
Quand on considère le produit cartésien d’un ensemble par lui-même on note ainsi :
On peut aussi définir l’opération multiplication dans  :
De la même manière que l’addition donc, on peut associer à un couple de nombres entiers positifs
la multiplication qui peut s’écrire sous forme d’une addition avec des pointillés.
L’opération contraire de la multiplication, la division peut aussi être définie dans  si et seulement
si le résultat de cette opération est un élément de , ou autrement dit, si le résultat de cette
opération est un nombre entier positif.
On devine donc pour que la division soit définie dans  il faut que le numérateur soit un multiple
entier du dénominateur. Par exemple : 
Ici l’opération a un sens.
On peut aussi définir la puissance d’un nombre entier positif :
Qui est définit pour tous les entiers (au contraire de la différence où on devait vérifier que  et
de la division où on devait vérifier que les deux entiers avec un multiple commun).
Bien sûr l’addition et la multiplication sont des opérations commutative, associative et possédant
un élément neutre, ce qui s’écrit ainsi :
(commutativité)
(associativité)
Le  montre qu’on considère ici des triplets d’entiers (trois entiers donc).
De même pour la multiplication.

Calcul algébrique 3
On peut associer un élément neutre à chacune de ces opérations :
L’élément neutre pour l’addition est 0, en effet, comme son nom l’indique cet élément est
« neutre » pour cette opération donc il ne change pas le résultat de départ.
De même par 1 pour la multiplication.
On dit aussi que 0 est l’élément « absorbant » de la multiplication car :
Il « absorbe » en quelque sorte l’opération.
L’opération « puissance » n’est ni commutative, ni associative et ne possède pas d’élément neutre,
en effet : 
1.2 Ensemble des entiers relatifs
On peut élargir l’ensemble des entiers naturels pour donner un sens à l’opération pour tout entiers
naturels. Ceci implique de définir des nouveaux nombres « négatifs » qui seront le résultats d’une
différence :  .
L’ensemble des entiers naturels est donc contenu dans l’ensemble des entiers relatifs et on a :
On note ainsi : 
C’est l’opération « inclusion » pour montrer que  est contenu dans  .
Les mêmes opérations sont valables dans  à la subtilité que la différence est définie pour tout
élément de  : 
Et qu’elle est donc équivalente à une addition.
1.3 Ensemble des nombres rationnels
L’ensemble des nombres rationnels est un élargissement de l’ensemble des entiers relatifs, pour
donner un sens à la division pour tous les nombres rationnels.

Calcul algébrique 4
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer comme le quotient de deux entiers
relatifs :
Ça se lit ainsi : « Pour tout (quantificateur universel : ) nombre rationnel  il existe un
(quantificateur existentiel : )  et un  (donc un couple  ) d’entiers relatifs tel que 
 »
c’est la définition.
Donc ici, la division est définie pour tous les entiers relatifs puisque :
(la définition écrite à l’envers).
N’importe quel quotient d’entiers relatifs a une valeur dans  . Ainsi la division est définie pour
tout couple d’entiers relatifs dans  .
1.4 Ensemble des réels
Quand à l’ensemble des nombres rationnels on ajoute l’ensemble des nombres irrationnels (donc
l’ensemble des nombres qui ne peuvent pas être écrit comme le quotient de deux entiers relatifs),
on obtient l’ensemble d
es nombres réels .
Où n’importe qu’elle opération (arithmétique : addition, soustraction, division, multiplication,
puissance) a un sens.
On note alors : 
Et on schématise ainsi avec un diagramme de Venn :

Calcul algébrique 5
2) Propriétés calculatoires
Dans toute cette partie, on considérera que 
2.1 Notations
On note pour abrégé ainsi :
Il s’agit du symbole sigma pour représenter de manière condensée des sommes avec un grand
nombre de termes. Ce symbole sigma vérifie les quelques propriétés suivantes :
Linéarité :
Relation de Chasles :
Et nous avons également le symbole PI, « grand produit » pour symboliser de manière condensée,
le produit d’un très grand nombre de facteurs :
Homogénéité :
Cette écriture a une propriété très importante :