Calcul algébrique 1) Nombres et opérations :

Calcul algébrique
1)
Nombres et opérations :
1.1 L’ensemble des entiers naturels
Il existe différentes catégories de nombres.
La première est la plus élémentaire et la plus simple, il s’agit de l’ensemble des entiers naturels noté
ℕ. Cet ensemble, provient de l’interprétation de quantités positives dans notre vie de tous les jours.
Il permet de quantifier et de ranger les objets.
L’ensemble des nombres entiers naturels est donc l’ensemble des nombres entiers et positifs :
ℕ = {0,1,2,3, … }
On note aussi parfois ainsi :
ℕ∗ = {1,2,3, … }
Dans cet ensemble, il est tout naturel de poser l’opération de l’addition :
𝑎+𝑏 =𝑐
Il faut aussi faire attention à ce que la différence soit définie :
𝑎 − 𝑏 = 𝑐, 𝑐 ∈ ℕ ⇒ 𝑎 > 𝑏
En effet, si 𝑎 < 𝑏 nous obtenons un nombre négatif qui n’est pas dans l’ensemble des entiers
naturels.
L’addition de deux nombres entiers positifs peut se définir formellement ainsi :
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2 , (𝑎, 𝑏) → 𝑎 + 𝑏
Ça se lit ainsi : « A tout couple d’entiers positifs (𝑎, 𝑏) on associe le nombre 𝑎 + 𝑏 »
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1
Produit cartésien de deux ensembles de nombres :
Je viens d’utiliser la notation ℕ², c’est le produit cartésien de l’ensemble ℕ par lui-même.
Quand on fait le produit cartésien de deux ensembles, on obtient l’ensemble des couples de chaque
élément de ces ensembles.
Par exemple si
𝐸 = {0,1} et 𝐹 = {1,2}
Alors le produit cartésien de 𝐸 par 𝐹 noté 𝐸 × 𝐹 sera l’ensemble suivant :
𝐸 × 𝐹 = {(0,1); (0,2); (1,1); (1,2)}
Quand on considère le produit cartésien d’un ensemble par lui-même on note ainsi :
𝐸 × 𝐸 = 𝐸²
On peut aussi définir l’opération multiplication dans ℕ :
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2 , (𝑎, 𝑏) → 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎 (𝑏 𝑓𝑜𝑖𝑠)
De la même manière que l’addition donc, on peut associer à un couple de nombres entiers positifs
la multiplication qui peut s’écrire sous forme d’une addition avec des pointillés.
L’opération contraire de la multiplication, la division peut aussi être définie dans ℕ si et seulement
si le résultat de cette opération est un élément de ℕ, ou autrement dit, si le résultat de cette
opération est un nombre entier positif.
On devine donc pour que la division soit définie dans ℕ il faut que le numérateur soit un multiple
entier du dénominateur. Par exemple :
4 2×2
=
=2∈ℕ
2
2
Ici l’opération a un sens.
On peut aussi définir la puissance d’un nombre entier positif :
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2 , (𝑎, 𝑏) → 𝑎𝑏 = 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎 (𝑏 𝑓𝑜𝑖𝑠)
Qui est définit pour tous les entiers (au contraire de la différence où on devait vérifier que 𝑎 > 𝑏 et
de la division où on devait vérifier que les deux entiers avec un multiple commun).
Bien sûr l’addition et la multiplication sont des opérations commutative, associative et possédant
un élément neutre, ce qui s’écrit ainsi :
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2 , 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
(commutativité)
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ3 , (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = (𝑎 + 𝑐) + 𝑏 = (𝑏 + 𝑐) + 𝑎 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
(associativité)
Le ℕ3 = ℕ × ℕ × ℕ montre qu’on considère ici des triplets d’entiers (trois entiers donc).
De même pour la multiplication.
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2
On peut associer un élément neutre à chacune de ces opérations :
∀𝑎 ∈ ℕ, 𝑎 + 0 = 𝑎
∀𝑎 ∈ ℕ, 𝑎 × 1 = 𝑎
L’élément neutre pour l’addition est 0, en effet, comme son nom l’indique cet élément est
« neutre » pour cette opération donc il ne change pas le résultat de départ.
De même par 1 pour la multiplication.
On dit aussi que 0 est l’élément « absorbant » de la multiplication car :
∀𝑎 ∈ ℕ, 𝑎 × 0 = 0
Il « absorbe » en quelque sorte l’opération.
L’opération « puissance » n’est ni commutative, ni associative et ne possède pas d’élément neutre,
en effet :
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2 , 𝑎𝑏 ≠ 𝑏 𝑎
𝑐
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ3 , 𝑎𝑏 ≠ 𝑎𝑐 ≠ 𝑏 𝑐 ≠ 𝑏 𝑎 ≠ 𝑐 𝑏 ≠ 𝑐 𝑎
𝑏
1.2 Ensemble des entiers relatifs
On peut élargir l’ensemble des entiers naturels pour donner un sens à l’opération pour tout entiers
naturels. Ceci implique de définir des nouveaux nombres « négatifs » qui seront le résultats d’une
différence : 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ2 , 𝑎 < 𝑏, 𝑎 − 𝑏 .
L’ensemble des entiers naturels est donc contenu dans l’ensemble des entiers relatifs et on a :
ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … }
On note ainsi :
ℕ⊂ℤ
C’est l’opération « inclusion » pour montrer que ℕ est contenu dans ℤ .
Les mêmes opérations sont valables dans ℤ à la subtilité que la différence est définie pour tout
élément de ℤ :
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ2 , (𝑎, 𝑏) → 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
Et qu’elle est donc équivalente à une addition.
1.3 Ensemble des nombres rationnels
L’ensemble des nombres rationnels est un élargissement de l’ensemble des entiers relatifs, pour
donner un sens à la division pour tous les nombres rationnels.
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Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer comme le quotient de deux entiers
relatifs :
∀𝛾 ∈ ℚ, ∃𝑎, 𝑏 ∈ ℤ2 , 𝛾 =
𝑎
𝑏
Ça se lit ainsi : « Pour tout (quantificateur universel : ∀) nombre rationnel 𝛾 il existe un
𝑎
(quantificateur existentiel : ∃) 𝑎 et un 𝑏 (donc un couple (𝑎, 𝑏) ) d’entiers relatifs tel que 𝛾 = 𝑏 »
c’est la définition.
Donc ici, la division est définie pour tous les entiers relatifs puisque :
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ2 , ∃! 𝛾 ∈ ℚ , 𝛾 =
𝑎
𝑏
(la définition écrite à l’envers).
N’importe quel quotient d’entiers relatifs a une valeur dans ℚ . Ainsi la division est définie pour
tout couple d’entiers relatifs dans ℚ .
1.4 Ensemble des réels
Quand à l’ensemble des nombres rationnels on ajoute l’ensemble des nombres irrationnels (donc
l’ensemble des nombres qui ne peuvent pas être écrit comme le quotient de deux entiers relatifs),
on obtient l’ensemble d
es nombres réels ℝ.
Où n’importe qu’elle opération (arithmétique : addition, soustraction, division, multiplication,
puissance) a un sens.
On note alors :
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ
Et on schématise ainsi avec un diagramme de Venn :
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2)
Propriétés calculatoires
Dans toute cette partie, on considérera que 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
2.1 Notations
On note pour abrégé ainsi :
𝑛
∑ 𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑖=1
Il s’agit du symbole sigma pour représenter de manière condensée des sommes avec un grand
nombre de termes. Ce symbole sigma vérifie les quelques propriétés suivantes :
Linéarité :
𝑛
∀𝜆 ∈ ℝ, ∑ 𝜆𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 = 𝜆𝑎1 + 𝑏1 + 𝜆𝑎2 + 𝑏2 + ⋯ + 𝜆𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
𝑘=1
𝑛
⇔ ∑ 𝜆𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 = 𝜆(𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ) + 𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑛
𝑛
⇔ ∑ 𝜆𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 = 𝜆 ∑ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑏𝑘
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
Relation de Chasles :
𝑛
∀𝑝 ∈ ℕ, 𝜇 < 𝑝 < 𝑛, ∑ 𝑎𝑘 = 𝑎𝜇 + 𝑎𝜇+1 + ⋯ + 𝑎𝑝 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑘=𝜇
𝑝
𝑛
𝑛
⇔ ∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑎𝑘
𝑘=𝜇
𝑘=𝜇
𝑘=𝑝+1
Et nous avons également le symbole PI, « grand produit » pour symboliser de manière condensée,
le produit d’un très grand nombre de facteurs :
𝑛
∏ 𝑎𝑖 = 𝑎1 × 𝑎2 × … × 𝑎𝑛
𝑖=1
Homogénéité :
Cette écriture a une propriété très importante :
𝑛
∀𝜆 ∈ ℝ, ∏ 𝜆𝑎𝑖 = 𝜆𝑎1 × 𝜆𝑎2 × … × 𝜆𝑎𝑛
𝑖=1
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𝑛
𝑛
𝑛
⇔ ∏ 𝜆𝑎𝑖 = 𝜆 ∏ 𝑎𝑖
𝑖=1
𝑖=1
On dit que ce symbole est homogène d’ordre 𝑛.
2.2 Factorielle
Et plus particulièrement on appelle « factorielle 𝑛 », 𝑛! le nombre défini par :
𝑛
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛! = 1 × 2 × … × 𝑛 = ∏ 𝑖
𝑖=1
On pose par convention que :
0! = 1
Comme on peut le remarquer, la factorielle possède de nombreuses propriétés importantes.
En particulier, si on note 𝜓 la fonction définie par :
{
𝜓∶ℕ→ℕ
𝜓 ∶ 𝑛 → 𝜓(𝑛) = 𝑛!
Alors :
𝜓(𝑛 + 1) = 1 × 2 × 3 × … × 𝑛 × (𝑛 + 1) = 𝑛! (𝑛 + 1) = (𝑛 + 1)𝜓(𝑛)
2.3 Arrangements
Un arrangement est comme son nom l’indique, le fait que dans une liste d’objets, on réarrange ces
objets en respectant l’ordre.
Par exemple, prenons la liste suivante :
(1,2,3,4)
Alors un arrangement possible de cette liste est :
(1,4,2,3)
Bien sûr il y a beaucoup d’arrangement possible, on peut commencer par énumérer les nombres de
possibilités en prenant toujours comme premier objet 1 :
(1,2,3,4)
(1,2,4,3)
(1,3,2,4)
(1,3,4,2)
(1,4,2,3)
(1,4,3,2)
Comme il y a 4 objets différents (1,2,3,4) on peut répéter cette énumération en prenant à chaque
fois un élément différent pour le premier objet.
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6
Finalement on aura 4 fois ça :
(1,2,3,4)
(1,2,4,3)
(1,3,2,4)
(1,3,4,2)
(1,4,2,3)
(1,4,3,2)
En prenant successivement les quatre objets de l’ensemble comme premier objet de la liste.
Finalement nous aurons :
6 × 4 = 24
Listes possibles.
Or :
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
En effet, pour toute liste de 𝑛 objets, la manière de réarranger ces objets (comme on a fait plus
haut), ou autrement dit le nombre de réarrangement est ! .
La factorielle 𝑛! est donc le nombre de réarrangements de 𝑛 objets.
Pour généraliser tout ça, on veut savoir combien il y a de réarrangements possibles pour 2 objets
parmi une liste de 4. Par exemple :
(1,2,3,4)
Il y a plus arrangements possibles pour deux objets de cette liste :
(1,2)
(2,1)
(1,3)
(3,1)
(1,4)
(4,1)
(2,3)
(3,2)
(2,4)
(4,2)
(3,4)
(4,3)
Il y a donc 12 réarrangements différents possibles.
C’est le nombre de réarrangements de 𝑘 objets parmi 𝑛, noté 𝐴𝑘𝑛 et valant :
𝐴𝑘𝑛 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
En prenant pour notre exemple précédent :
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𝑛=4
{
𝑘=2
On trouve :
𝐴24 =
24
= 12
2
On retrouve ce qu’on avait trouvé en énumérant toutes les possibilités.
Et en particulier :
𝑛=𝑛
{
𝑘=𝑛
Alors :
𝐴𝑛𝑛 =
𝑛!
𝑛!
= = 𝑛!
(𝑛 − 𝑛)! 0!
On retrouve le nombre d’arrangements de 𝑛 objets différents (la formule de tout à l’heure).
2.4 Coefficients binomiaux
Le coefficient binomial est un nombre noté (𝑛𝑘) qui mesure le nombre de possibilités de réarranger
𝑘 éléments dans un ensemble à 𝑛 éléments.
Par exemple, dans une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10, et on en tire 4 au hasard, on
peut tomber sur les résultats suivants :
(1,2,3,4)
(2,3,4,5)
(1,2,5,4)
(6,7,1,2)
(9,1,2,3)
…
Le nombre de quadruplets possibles parmi 10 éléments est noté :
10
( )
4
Et vaut :
10
10!
3628800
( )=
=
= 210
4
4! (10 − 4)!
17280
Il y a donc en tout 210 quadruplets possibles. Ici on n’a pas compté l’ordre.
Donc comme tu l’auras devinée, l’expression du coefficient binomial est la suivante :
𝑛
𝑛!
( )=
𝑘
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
Et on remarque que le coefficient binomial et le nombre de réarrangement sont reliés par :
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𝑛
𝐴𝑘𝑛
( )=
𝑘
𝑘!
Les coefficients binomiaux respectent certaines règles, en particulier :
𝑛
𝑛
(
)=( )
𝑛−𝑘
𝑘
En effet :
𝑛
𝑛!
𝑛!
𝑛
(
)=
=
=( )
𝑛−𝑘
𝑘
(𝑛 − 𝑘)! (𝑛 − (𝑛 − 𝑘))! 𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
De même, on a la fameuse règle de Pascal :
𝑛
𝑛
𝑛+1
( )+(
)=(
)
𝑘
𝑘+1
𝑘+1
En effet :
𝑛
𝑛
𝑛!
𝑛!
( )+(
)=
+
𝑘
𝑘+1
𝑘! (𝑛 − 𝑘)! (𝑘 + 1)! (𝑛 − 𝑘 − 1)!
𝑛
𝑛
𝑛! (𝑘 + 1)
𝑛! (𝑛 − 𝑘)
⇔ ( )+(
)=
+
𝑘
𝑘+1
𝑘! (𝑛 − 𝑘)! (𝑘 + 1) (𝑘 + 1)! (𝑛 − 𝑘 − 1)! (𝑛 − 𝑘)
Or :
{
(𝑛 − 𝑘 − 1)! (𝑛 − 𝑘) = 1 × 2 × … × (𝑛 − 𝑘 − 1) × (𝑛 − 𝑘) = (𝑛 − 𝑘)!
𝑘! (𝑘 + 1) = 1 × 2 × … × 𝑘 × (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)!
D’où :
𝑛
𝑛
𝑛! (𝑘 + 1)
𝑛! (𝑛 − 𝑘)
⇔ ( )+(
)=
+
(𝑛 − 𝑘)! (𝑘 + 1)! (𝑘 + 1)! (𝑛 − 𝑘)!
𝑘
𝑘+1
𝑛
𝑛
𝑛! (𝑘 + 1 + 𝑛 − 𝑘)
⇔ ( )+(
)=
(𝑛 − 𝑘)! (𝑘 + 1)!
𝑘
𝑘+1
𝑛
𝑛
𝑛! (𝑛 + 1)
⇔( )+(
)=
(𝑛 − 𝑘)! (𝑘 + 1)!
𝑘
𝑘+1
Et :
𝑛! (𝑛 + 1) = 1 × 2 × … × 𝑛 × (𝑛 + 1) = (𝑛 + 1)!
Donc :
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(𝑛 + 1)!
𝑛
𝑛
⇔( )+(
)=
(𝑛 − 𝑘)! (𝑘 + 1)!
𝑘
𝑘+1
Et en faisant apparaître dans le dénominateur :
(𝑛 + 1)!
𝑛
𝑛
𝑛+1
⇔( )+(
)=
=(
)
((𝑛 + 1) − (𝑘 + 1))! (𝑘 + 1)!
𝑘
𝑘+1
𝑘+1
Grâce à cette formule, on peut calculer ce qu’on appelle le triangle de Pascal :
Qui donne en fonction de 𝑛 et 𝑝, le coefficient binomial (𝑛𝑝).
On voit, comme indiquer en rouge, que la somme de deux nombres côte à côte donne le nombre
juste en dessous.
C’est ce qu’exprime la formule de Pascal.
2.5 Distributivité et factorisation
La distributivité correspond au passage d’une expression factorisée (c’est-à-dire d’une
multiplication) à une expression développée (c’est-à-dire une addition).
Regardons cette expression :
𝑎(𝑏 + 𝑐)
Il s’agit d’une multiplication car on a des parenthèses sur l’addition. La distributivité est la
propriété suivante :
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
On a donc transformé une multiplication en une addition. Au contraire, quand on utilise cette
identité pour passer d’une somme à un produit on dit qu’on « factorise » l’expression.
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10
2.6 Identités et autres formules de factorisation
A partir de la formule du développement, on peut en déduire les identités dite du « second degré » :
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏² = 𝑎² + 𝑏² + 2𝑎𝑏
(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏
(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎² + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑏²
De la même manière on peut en déduire les identités du troisième degré :
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎2 + 𝑏 2 + 2𝑎𝑏)(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏)(𝑎 − 𝑏)
Nous avons aussi, ces identités assez courantes :
(𝑐 + 𝑎)(𝑐 + 𝑏) = 𝑐² + 𝑐(𝑎 + 𝑏) + 𝑎𝑏
{(𝑐 + 𝑎)(𝑐 − 𝑏) = 𝑐² + 𝑐(𝑎 − 𝑏) − 𝑎𝑏
(𝑐 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏) = 𝑐² − 𝑐(𝑎 + 𝑏) + 𝑎𝑏
2.7 Binôme de Newton
La propriété du binôme de Newton s’écrit ainsi :
𝑛
𝑛
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , 𝑛 ∈ ℕ, (𝑎 + 𝑏) = ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑖 𝑏 𝑖
𝑖
2
𝑛
𝑖=0
On peut la démontrer par récurrence.
L’idée d’une démonstration par récurrence est assez simple.
Partons de l’idée même d’une démonstration. Si nous voulons démontrer une propriété, nous
pouvons démontrer factuellement (donc en faisant un calcul) que la propriété est juste. Par
exemple je veux démontrer que 9² − 42 = (3 − 2)(3 + 2) pour cela il suffit de calculer et je
l’aurais démontré pour un cas particulier, un exemple. Pour démontrer une propriété pour tout
réel, il suffit simplement de considérer deux réels quelconques.
Si les nombres auxquels on a à faire sont des entiers naturels, on peut utiliser la propriété de
construction des entiers pour démontrer une hypothèse. En effet, dans la suite des entiers, notonslà (𝑢𝑛 ), la propriété de construction (de récurrence) de la suite est la suivante : 𝑢𝑛+1 = 1 + 𝑢𝑛 .
Au lieu de démontrer pour tout entier. On peut démontrer que la propriété est vraie pour un entier
initial et qu’elle est vraie pour tout entier successeur, c’est-à-dire qu’elle est vraie pour tout entier.
Voyons directement un exemple, avec le binôme de Newton :
Montrons que la propriété est vraie pour un entier 𝑛 (l’exposant de la somme) initial (c’est ce que
l’on nomme l’initialisation) :
Prenons 𝑛 = 1 alors :
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1
1
1
1
(𝑎 + 𝑏) = 𝑎 + 𝑏 = ∑ ( ) 𝑎1−𝑖 𝑏 𝑖 = ( ) 𝑎𝑏 0 + ( ) 𝑎0 𝑏1 = 𝑎 + 𝑏
𝑖
0
1
1
𝑖=0
Donc la formule est vraie pour 𝑛 = 1
Montrons à présent que si elle est vraie pour un entier 𝑛 quelconque alors elle est vraie pour l’entier
𝑛 + 1 (on veut montrer que si elle est vraie pour 𝑛 alors elle sera vraie pour 𝑛 + 1, ici on veut
démontrer une implication : sa vérité pour 𝑛 implique sa vérité pour 𝑛 + 1) il faut donc supposer
que la formule soit vraie (prémisse de l’implication) pour montrer que SI elle est vraie, alors elle est
aussi vraie pour l’entier d’après.
Il faut bien faire le distinguo, on ne démontre pas la formule pour tout 𝑛 mais on démontre
l’implication : « Si la formule est juste pour un entier 𝑛 quelconque alors elle sera également juste
pour l’entier 𝑛 + 1 suivante ».
Démontrer une telle implication s’appelle démontrer l’hérédité de la formule (en effet, on peut
penser que sa vérité est « répercutée » sur l’entier d’après d’où un peu la notion d’hérédité), on
a donc :
Supposons que pour un 𝑛 quelconque :
𝑛
𝑛
(𝑎 + 𝑏) = ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑖 𝑏 𝑖
𝑖
𝑛
𝑖=0
Soit vraie, alors :
(𝑎 + 𝑏)𝑛+1 = (𝑎 + 𝑏)𝑛 (𝑎 + 𝑏)
𝑛
𝑛+1
⇔ (𝑎 + 𝑏)
𝑛
= (𝑎 + 𝑏) ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑖 𝑏 𝑖
𝑖
𝑖=0
𝑛+1
⇔ (𝑎 + 𝑏)
𝑛+1
⇔ (𝑎 + 𝑏)
𝑛
𝑛
𝑖=0
𝑖=0
𝑛
𝑛
= 𝑎 ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑖 𝑏 𝑖 + 𝑏 ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑖 𝑏 𝑖
𝑖
𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=0
𝑖=0
𝑛
𝑛
= ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑖+1 𝑏𝑖 + ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑖 𝑏 𝑖+1
𝑖
𝑖
On peut écrire ainsi de la même manière en effectuant un changement d’indice
𝑘 =𝑖+1⇔𝑖 =𝑘−1:
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12
𝑛
𝑛+1
𝑖=0
𝑘=1
𝑛
𝑛
∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑖 𝑏 𝑖+1 = ∑ (
) 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏𝑘
𝑖
𝑘−1
D’où :
𝑛+1
⇔ (𝑎 + 𝑏)
𝑛
𝑛+1
𝑖=0
𝑘=1
𝑛
𝑛
= ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑖+1 𝑏𝑖 + ∑ (
) 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏𝑘
𝑖
𝑘−1
Comme il s’agit « d’indice muet » (ils ne représentent rien en particulier, ils servent juste pour
itérer les termes de la somme), on peut écrire indifféremment :
𝑛+1
⇔ (𝑎 + 𝑏)
𝑛
𝑛+1
𝑘=0
𝑘=1
𝑛
𝑛
= ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏𝑘 + ∑ (
) 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏𝑘
𝑘
𝑘−1
Or :
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏 𝑘 = ( ) 𝑎𝑛−0+1 𝑏 0 + ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏 𝑘 = ( ) 𝑎𝑛+1 + ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏 𝑘
𝑘
0
𝑘
0
𝑘
𝑛+1
∑(
{𝑘=1
𝑘=0
𝑘=1
𝑛
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
) 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏 𝑘 = ∑ (
) 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏 𝑘 + ((𝑛 + 1) − 1) 𝑎𝑛−𝑛−1+1 𝑏 𝑛+1 = ∑ (
) 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏 𝑘 + ( ) 𝑏 𝑛+1
𝑘−1
𝑘−1
𝑘−1
𝑛
𝑘=1
𝑘=1
D’où
𝑛+1
⇔ (𝑎 + 𝑏)
𝑛
𝑛+1
= ( )𝑎
0
𝑛
𝑛
𝑘=1
𝑘=1
𝑛
𝑛
𝑛
+ ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏𝑘 + ∑ (
) 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏𝑘 + ( ) 𝑏 𝑛+1
𝑘
𝑘−1
𝑛
En regroupant les deux sommes par linéarité :
𝑛
𝑛+1
⇔ (𝑎 + 𝑏)
𝑛
𝑛+1
= ( )𝑎
0
𝑛
𝑛
𝑛
+ ( ) 𝑏 𝑛+1 + ∑ [( ) + (
)] 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏𝑘
𝑛
𝑘
𝑘−1
𝑘=1
Or d’après la formule de Pascal :
𝑛
𝑛
𝑛+1
( )+(
)=(
)
𝑘
𝑘+1
𝑘+1
Donc :
𝑛
𝑛
𝑛+1
( )+(
)=(
)
𝑘
𝑘−1
𝑘
D’où :
𝑛+1
⇔ (𝑎 + 𝑏)
𝑛
𝑛
𝑛+1
= ( )𝑎
0
𝑛
𝑛 + 1 𝑛−𝑘+1 𝑘
+ ( ) 𝑏 𝑛+1 + ∑ (
)𝑎
𝑏
𝑛
𝑘
𝑘=1
Or :
Calcul algébrique
13
𝑛
𝑛+1
( )=(
)=1
0
0
{
𝑛+1
𝑛
( )=(
)=1
𝑛
𝑛+1
Donc en prenant la somme à partir de zéro jusqu’à 𝑛 + 1, on réécrit (on a simplement intégré les
deux termes à la somme) :
𝑛+1
𝑛+1
⇔ (𝑎 + 𝑏)
𝑛 + 1 𝑛+1−𝑘 𝑘
= ∑(
)𝑎
𝑏
𝑘
𝑘=0
On a donc démontré que si la formule est vraie au rang 𝑛 alors elle est vraie au rang 𝑛 + 1.
Or, on a démontré qu’elle était vraie pour 𝑛 = 1 (initialisation), donc elle vraie pour le rang
(𝑛 + 1) = 2. Puisqu’elle est vraie pour le rang 2 alors elle est aussi vraie pour le rang 2 + 1 = 3 et
ainsi de suite. Finalement on a démontré que la formule était vraie pour tout entier 𝑛.
Comme tu peux le voir les coefficients de la somme, les coefficients binomiaux sont les nombres des
termes développés des identités précédentes. En effet, quand on regarde le triangle de Pascal :
Et les différentes identités :
(𝑎 + 𝑏)1 = 1𝑎 + 1𝑏
(𝑎 + 𝑏)2 = 1𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 1𝑏 2
(𝑎 + 𝑏)3 = 1𝑎3 + 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² + 1𝑏 3
On reconnaît que les coefficients correspondent exactement à une ligne du triangle de Pascal. Ceci
n’est pas anodins, puisque le triangle de Pascal répertorie les différentes valeurs des coefficients
binomiaux alors que ces mêmes coefficients interviennent dans l’expression du binome de Newton.
Calcul algébrique
14
3)
Puissance et polynômes
3.1 Théorie des polynômes
Une fonction polynôme réelle est une fonction définie par :
𝑛
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑃𝑛 (𝑥) = ∑ 𝑎𝑘 𝑥 𝑘
𝑘=0
Les 𝑎𝑘 sont les coefficients du polynôme et 𝑛, le plus grand exposant de 𝑥 est, ce que l’on appelle le
degré du polynôme.
Les racines d’un polynôme sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le polynôme est nul. Si on connaît
l’ensemble des racines d’un polynôme alors on peut écrire sa forme factorisée qui sera alors du
type :
𝑛
𝑃𝑛 (𝑥) = ∏(𝑥 − 𝑥𝑘 )
𝑘=0
Où les 𝑥𝑘 sont les racines du polynôme. En effet, puisqu’il s’agit d’un produit, lorsque 𝑥 = 𝑥𝑘 alors
le polynôme est nul, ce qui vérifie bien la définition de la « racine d’un polynôme ».
Le théorème fondamental de l’algèbre stipule qu’un polynôme de degré 𝑛 possède au maximum 𝑛
racines.
3.2 Polynôme du premier degré
Un polynôme du premier degré (ou « monôme ») est une fonction de la forme :
{
𝑃1 : ℝ → ℝ
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, 𝑃1 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
Rechercher les racines de ce type de polynôme est assez simple. En effet, on trouve facilement que
la racine d’un tel polynôme est :
𝑥0 = −
𝑏
𝑎
Un polynôme de degré 1 modélise algébriquement une droite et comme le dit le théorème
fondamental de l’algèbre, un polynôme de degré 1 n’a qu’une seule racine. Ainsi la connaissance de
cette racine, nous renseigne sur l’unique point d’intersection entre sa droite représentative et l’axe
des abscisses.
Un polynôme de degré 1 ne se factorise pas, en effet, si on veut écrire sa factorisation comme cidessus, on aurait :
𝑃1 (𝑥) = 𝑥 −
𝑏
𝑎
Qui n’est pas un produit mais une somme.
Calcul algébrique
15
3.3 Polynôme du second degré
Comme tu le sais sans doute, un polynôme du second degré est une fonction de la forme :
{
𝑃2 : ℝ → ℝ
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, 𝑃2 (𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
On peut écrire simplement ce polynôme ainsi :
𝑏
𝑐
𝑃2 (𝑥) = 𝑥² + 𝑥 +
𝑎
𝑎
Puisque 𝑎 ≠ 0
Si on recherche une factorisation de ce polynôme, on peut toujours voir les deux premiers termes
comme le début d’un carré :
𝑏 2
𝑏
𝑏2
(𝑥 + ) = 𝑥² + 𝑥 + 2
2𝑎
𝑎
4𝑎
D’où
𝑃2 (𝑥) = (𝑥 +
𝑃2 (𝑥) = (𝑥 +
𝑏 2
𝑏2
𝑐
) − 2+
2𝑎
4𝑎
𝑎
𝑏 2 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
) −
2𝑎
4𝑎²
Pour factoriser cette expression, il faut pouvoir remarquer une identité, donc, ici, une différence de
carré. Or, puisque 4𝑎² est toujours positif, il faut que le numérateur 𝑏² − 4𝑎𝑐 soit positif aussi
pour que le polynôme soit factorisable et donc qu’il admette des racines.
Ainsi, l’étude du signe du nombre 𝑏² − 4𝑎𝑐, le discriminant du polynôme, nous renseigne sur le
nombre de racines du polynôme.
Et on obtient les racines en forçant la factorisation :
𝑏² − 4𝑎𝑐 > 0, 𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑏² − 4𝑎𝑐 = 0, 𝑥0 =
−𝑏
2𝑎
Si le discriminant est négatif alors le polynôme n’admet pas de racines réelles.
Calcul algébrique
16
Nous allons voir ici, un théorème fort sympathique concernant les racines d’un polynôme du
second degré :
Etudions les deux racines d’un polynôme du second degré, voyons ce que donnent leur somme et
leur produit :
−𝑏 + √𝑏² − 4𝑎𝑐 −𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐
𝑥1 + 𝑥2 =
+
2𝑎
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏 − 𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐 + √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =
Et :
𝑥1 × 𝑥2 =
−𝑏 + √𝑏² − 4𝑎𝑐 −𝑏 − √𝑏² − 4𝑎𝑐
×
2𝑎
2𝑎
𝑥1 × 𝑥2 =
(−𝑏 + √∆)(−𝑏 − √∆) 𝑏² − ∆
=
4𝑎²
4𝑎²
𝑥1 × 𝑥2 =
Or :
Donc :
−2𝑏
𝑏
=−
2𝑎
𝑎
𝑏² − 𝑏 2 + 4𝑎𝑐 𝑐
=
𝑎
4𝑎²
𝑏
𝑐
𝑃2 (𝑥) = 𝑥² + 𝑥 +
𝑎
𝑎
𝑃2 (𝑥) = 𝑥² − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2
Qui est une nouvelle façon d’écrire un polynôme du second degré.
3.4 Puissances non-entières
Dans une fonction polynôme n’intervient généralement que les puissances entières et positives
d’un polynôme. Bien sûr, il existe les puissances négatives, telles que :
𝑥 −1 =
1
𝑥
𝑥 −2 =
1
𝑥2
Etc.
Il existe aussi des puissances fractionnaires. En particulier, on peut écrire ainsi :
1
√𝑥 = 𝑥 2
3
1
√𝑥 = 𝑥 3
Et plus généralement :
𝑎
1
√𝑥 = 𝑥 𝑎
Calcul algébrique
17
Les mêmes règles de calcul s’appliquent que pour les puissances entières. Ainsi, avec cette notation
rien d’étonnant que :
1
′
(√𝑥) =
2√𝑥
C’est simplement la formule bien connue :
′
𝑥 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛−1
On a effectivement :
1 1 1 1 −1
1
′
(√𝑥) = 𝑥 −2 = (𝑥 2 ) =
2
2
2√𝑥
Pour simplifier cela :
𝑥 √𝑥
3
𝑥² √𝑥
Il suffit simplement de l’écrire sous forme fractionnaire :
1
𝑥𝑥 2
1
𝑥²𝑥 3
1
=
𝑥 1+2
1
𝑥 2+3
3
=
𝑥2
7
7 −1
3
= 𝑥 2 × (𝑥 3 )
3
7
3 7
= 𝑥 2 × 𝑥 −3 = 𝑥 2−3 = 𝑥
9−14
6
5
= 𝑥 −6
𝑥3
Ce qui peut se réécrire en notation normale ainsi :
1 −1
5
𝑥 −6 = ((𝑥 5 )6 )
4)
=
1
6
√𝑥 5
Fonction exponentielle et logarithme
4.1 Fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée « exp » est la fonction définie ainsi :
{
exp : ℝ → ℝ
exp: 𝑥 → 𝑒 𝑥
Où la constante 𝑒 est dite constante de « néper »
Voyons directement les particularités de cette fonction :
exp(0) = 𝑒 0 = 1
exp(𝑎 + 𝑏) = 𝑒 (𝑎+𝑏) = 𝑒 𝑎 × 𝑒 𝑏 = exp(𝑎) × exp(𝑏)
exp(−𝑎) = 𝑒 −𝑎 =
1
1
=
𝑎
𝑒
exp(𝑎)
𝑎
exp(𝑎𝑏) = 𝑒 𝑎𝑏 = (𝑒 𝑎 )𝑏 = (𝑒 𝑏 ) = (exp(𝑎))𝑏 = (exp(𝑏))𝑎
Calcul algébrique
18
Le nombre 𝑒 est une constante fondamentale qui se caractérise à l’aide d’une série :
∞
𝑒=∑
𝑘=1
1
𝑘!
De même on peut approximer 𝑒 par le formule de Stirling :
lim
𝑛!
𝑛→+∞
𝑛
𝑛
( ) √2𝜋𝑛
𝑒
=1
On trouve que :
𝑛 𝑛
𝑛! ~ ( ) √2𝜋𝑛
𝑒
𝑛!
𝑛 𝑛
~( )
𝑒
√2𝜋𝑛
D’où :
𝑛
𝑛𝑛 √2𝜋𝑛
𝑒~ √
𝑛!
Le symbole ~ signifie « asymptotiquement égal à » donc quand 𝑛 devient très grand
l’approximation devient de plus en plus exacte.
4.2 Fonction exponentielle de base 𝒂
Une fonction exponentielle de base 𝑎 est une fonction qui s’écrit ainsi :
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
De la même manière que pour la fonction exponentielle (de base 𝑒 donc), on démontre
que :
𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)
𝑓(0) = 1
𝑓(1) = 𝑎
𝑓(−𝑎) =
1
𝑓(𝑎)
𝑏
𝑓(𝑎𝑏) = (𝑓(𝑎)) = (𝑓(𝑏))
Calcul algébrique
𝑎
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4.3 Fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, notée ln est la fonction définie par :
ℝ→ℝ
{
𝑥 → ln 𝑥
Cette fonction est définie comme la bijection réciproque de l’exponentielle en base 𝑒 de
telle sorte que :
ln(𝑒 𝑥 ) = 𝑥
Et
𝑒 ln(𝑥) = 𝑥
Donc si on applique la fonction logarithme à l’exponentielle on retrouve le nombre de
départ et si on applique la fonction exponentielle à la fonction logarithme on retombe
aussi sur notre nombre de départ. D’où l’appellation de fonctions « réciproques ».
Et en généralisant à toute fonction exponentielle de base 𝑎 :
ln(𝑎 𝑥 ) = 𝑥 ln 𝑎
Et :
𝑎 𝑥 = 𝑒 𝑥 ln 𝑎
Ce qui implique donc que :
ln 𝑒 = 1
Relations fonctionnelles :
Cette fonction jouit de relations exceptionnelles :
ln(𝑎𝑏) = ln 𝑎 + ln 𝑏
𝑎
ln ( ) = ln 𝑎 − ln 𝑏
𝑏
ln(𝑎𝑏 ) = 𝑏 ln 𝑎
4.4 Logarithmes en base 𝒂
De la même manière, on peut définir les logarithmes log pour différentes bases :
log 𝑎 (𝑎 𝑥 ) = 𝑥
Ces logarithmes vérifient la propriété suivante :
Calcul algébrique
20
log 𝑎 (𝑥) =
ln 𝑥
ln 𝑎
Et les mêmes propriétés que le logarithme népérien, qui est un cas particulier de
logarithmes.
5)
Résolution d’équations polynomiales, inverses, puissances
5.1 Equations polynômiales
Une équation polynômiale de degré 𝑛 est une équation qui peut s’écrire sous la forme (développée,
réduite et ordonnée) suivante :
𝑛
∑ 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 = 0
𝑘=0
Cela revient donc à chercher les racines d’un polynôme de degré 𝑛 (les racines sont les valeurs de
pour lesquels le polynôme s’annule, donc les solutions de cette équation).
Il suffit donc d’appliquer les règles pour retrouver les racines vues juste avant :
Degré 1:
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑥 = −
𝑏
𝑎
(Si une solution existe, c’est-à-dire si 𝑎 ≠ 0)
Degré 2 :
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏² − 4𝑎𝑐
2𝑎
(Si une ou des solutions existent, c’est-à-dire si ∆≥ 0)
Si ∆= 0
On trouve la racine unique facilement :
𝑥0 =
−𝑏 ± √∆ −𝑏 ± √0
𝑏
=
=−
2𝑎
2𝑎
2𝑎
Degré 3 et supérieurs :
Les polynômes de degré 3 et 4 admettent des formules donnant leurs racines en fonction de leurs
coefficients. Ces racines sont assez compliquées et sont surtout complexes (c’est-à-dire qu’elles font
intervenir l’unité imaginaire 𝑖). Au-delà du degré 4, la théorie de Galois (une théorie d’algèbre qui
s’occupe de la recherche générale des racines de n’importe quel polynôme) nous montre qu’il
n’existe pas de formule pour trouver les racines et que donc la résolution des équations
Calcul algébrique
21
polynomiales de degré supérieurs ou égal à 5 est impossible par radicaux (c’est-à-dire en
appliquant une formule donnant directement les racines du polynôme en fonction de ses
coefficients).
5.2 Fonctions rationnelles
On appelle « fonctions rationnelles » toute fonction de la forme :
∀𝑥 ∈ ℝ_{𝑅ℎ }, 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
Où 𝑔 et ℎ sont des fonctions polynômes quelconques. La notation ℝ_{𝑅ℎ } signifie qu’on retranche
à ℝ l’ensemble des racines de ℎ : 𝑅ℎ . En effet, une telle fonction est définie si et seulement si le
dénominateur est non-nul.
Résoudre une équation du type :
𝑓(𝑥) = 0
Revient donc à résoudre une équation du type :
𝑔(𝑥)
=0
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥) ×
Il s’agit d’un produit. Or,
1
ℎ(𝑥)
1
=0
ℎ(𝑥)
n’est jamais égal à 0. Donc les solutions d’une telle équation sont les
racines du polynôme 𝑔(𝑥).
5.3 Equations puissances
Une équation puissance est une équation de la forme :
𝑎𝑥 = 𝑏
Pour résoudre de telles équations, il faut se souvenir des propriétés des exponentielles et des
logarithmes, en particulier de :
log 𝑎 (𝑎 𝑥 ) = 𝑥
On résout donc immédiatement une telle équation :
𝑎 𝑥 = 𝑏 ⇔ log 𝑎 (𝑎 𝑥 ) = log𝑎 (𝑏)
⇔ 𝑥 = log𝑎 (𝑏) =
Calcul algébrique
ln 𝑏
ln 𝑎
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