Quand les nombres se transcendent

Quand les nombres se transcendent
Devoir maison 1
Un nombre réel a est dit algébrique s’il est racine d’un polynôme P non nul à coefficients dans Q .
Un nombre qui n’est pas algébrique est dit transcendant. Un tel polynôme P est appelé un polynôme
annulateur de a (On attire l’attention du lecteur que le fait que les coefficients du polynôme sont dans
Q et non dans R car sinon tout nombre réel a serait algébrique puisqu’il serait racine du polynôme
X−a). On note Al’ensemble des nombres algébriques.
Partie I. Quelques exemples
1. Montrer que √2,√3,4
√2sont des nombres algébriques
2. Montrer que tout nombre rationnel est un nombre algébrique.
3. Soit aun nombre algébrique et Pun polynôme de Q[X]annulateur de ade degré n.
a) Montrer que √aest algébrique
b) Montrer que −aest algébrique.
c) Montrer que 1
a(si a≠0) est algébrique. On pourra considérer Q(X)=XnP1 X
Partie II. Polynôme minimal associé à un nombre algébrique. On pourra noter la très forte
analogie entre le polynôme minimal associé à un nombre algébrique et le polynôme minimal associé à
un endomorphisme. Voir la construction du polynôme minimal d’un endomorphisme dans les exercices
du chapitre I.
Soit a un nombre algébrique. On note P l’ensemble des polynômes annulateurs de a et D l’ensemble
des degrés des polynômes de Pnon nuls. En d’autres termes :
P={P∈Q[X]  P(a)=0}
D={n∈N∃P∈P∖{0}, n =deg(P) }
1. Montrer que Dadmet un minimum. On pose n=M in(D).
2. Montrer qu’il existe un unique polynôme unitaire (cad de coefficient dominant égale à 1) de P de
degré n. On le notera µ, c’est le polynôme minimal associé à a.
3. On note (µ)l’ensemble des multiples de µdans Q[X]c’est-à-dire que :
(µ)={P∈Q[X]∃Q∈Q[X], P =µ.Q}
Montrer que (µ)est un sous espace vectoriel de Q[X].
4. Montrer que (µ)=P.
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Partie III. Stabilité par ×et +. Soient a et b des nombres algébriques, Pa et Pb des polynômes de
Q[X]annulateurs respectivement de aet b. Enfin notons naet nbles degrés de ces polynômes.
1. On pose :
Q(a, b)=vectQapbqp∈{0,...,na−1}, q ∈{0,...,nb−1}
Décrire les éléments de Q(√2,√3).
2. Soit ndans N. Montrer qu’il existe Rdans Q[X]tel que deg(R)<naet an=R(a)
3. Montrer que apbq∈Q(a, b)pour tous pet qde N.
4. Soit d=na.nb. Montrer que les familles de Q(a, b)
1,(a+a2),(a+b)2,...,(a+b)det 1,(ab),(ab)2,...,(ab)d
sont liées. En déduire que a+bet ab sont algébriques.
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