Cours d`algebre pour la licence et le Capes

Cours d’algebre pour la licence et le Capes
Jean-Étienne ROMBALDI
6 juillet 2007

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Table des matières
Avant-propos v
Notation vii
1 Éléments de logique et de théorie des ensembles 1
1.1 Quelques notions de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Les connecteurs logiques de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Quelques méthodes de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Notions de base sur les ensembles. Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Les symboles Xet Y................................ 10
1.6 Les théorèmes de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 L’algèbre des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Applications. Notions d’injectivité, surjectivité et bijectivité . . . . . . . . . . . 27
1.9 Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.10 Ensembles infinis dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Le corps Cdes nombres complexes 41
2.1 Conditions nécessaires à la construction de C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Construction de C.................................. 42
2.3 Conjugué et module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Les équations de degré 2............................... 51
2.5 Les équations de degré 3et 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6 Arguments d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7 Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.8 Représentation géométrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Espaces vectoriels réels 79
3.1 L’espace vectoriel Rn................................. 79
3.2 Définition d’un espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.5 La base canonique de Rnet expression matricielle des applications linéaires de
Rndans Rm...................................... 90
3.6 Matrices réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6.2 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6.3 Déterminant d’une matrice d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.6.4 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6.5 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
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iv
3.7 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.8 Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 107
4 Espaces vectoriels réels de dimension finie 109
4.1 Systèmes libres, systèmes générateurs et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3 Rang d’un système de vecteurs ou d’une application linéaire . . . . . . . . . . . 120
4.4 Expression matricielle des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5 Formules de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5 Opérations élémentaires et déterminants 131
5.1 Opérations élémentaires. Matrices de dilatation et de transvection . . . . . . . . 132
5.2 Déterminants des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 Déterminant d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Avant-propos
Ce livre est en construction.
Cet ouvrage destiné aux étudiants préparant le Capes externe de Mathématiques et aux
enseignants préparant l’agrégation interne fait suite au livre « Éléments d’analyse réelle pour
le Capes et l’Agrégation Interne de Mathématiques ».
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