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Mines Maths toutes filières 2008 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Doctorant en mathématiques) ; il a
été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).
Cette épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
• Le premier problème consiste en l’étude d’un endomorphisme ϕn sur Rn [X].
Dans une première partie, on travaille dans le cas particulier où n = 1, ce
qui permet d’aborder bon nombre de notions d’algèbre linéaire au programme,
comme les changements de base, les matrices diagonales, la structure de sousespace vectoriel, les bases ainsi que les involutions. Dans la deuxième partie,
l’étude du noyau de ϕn requiert des techniques d’analyse sur les équations différentielles et nécessite un soin particulier de rédaction pour travailler simultanément avec des polynômes et les fonctions polynômes associées. La troisième
partie propose l’étude du lieu géométrique d’un point d’intersection de deux
courbes définies à partir de ϕ2 .
• Le second problème est consacré à l’étude de deux fonctions. Une première partie nécessite la mise en œuvre de notions essentielles en analyse sur la continuité
et la dérivation. Dans la deuxième partie, on démontre d’une part le lemme de
Riemann-Lebesgue pour des fonctions de classe C 1 , d’autre part la continuité
d’une certaine intégrale à paramètre.
Ce sujet est un très bon entraînement pour tester ses connaissances, tant en
algèbre qu’en analyse. Les questions purement calculatoires ne sont pas légion et
laissent le champ libre pour des questions plus fines sur le sens et l’usage des objets
mathématiques abordés au cours de la première année de classes préparatoires.
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Indications
Premier Problème
3 Utiliser le déterminant.
4.c Écrire 1 et X comme des combinaisons linéaires de (X − a) et (X − b).
4.e Remarquer que M est diagonale.
5.a Vérifier que Γ est un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
5.c Montrer que (I2 , M1 ) est une famille libre.
6 L’application s est caractérisée par Ker (s + Id ) et Ker (s − Id ).
8.a Voir f comme un quotient de fonctions polynômes.
8.b La fonction f est de la forme g ′ /g.
e associée sur I. Utiliser alors
8.d Pour P ∈ Ker (ϕ2p ), définir la fonction polynôme P
le résultat de la question 8.c.
8.e Distinguer a = b et a 6= b.
2
1
10.b Poser x = et écrire − + 2a en fonction de x.
a
a
10.c Vérifier que E est l’ensemble des zéros d’un polynôme du deuxième degré en x
et y et que E admet deux droites concourantes asymptotes.
Second Problème
1.b Voir lim+ F(x) et lim+ G(x) comme des dérivées.
x→0
x→0
2.d Utiliser les développements limités usuels
sin x = x + o(x2 ) et
cos x = 1 −
x2
+ o(x2 )
2
4.a Remarquer que F(ak ) = F(ak+1 ).
4.d Vérifier que les fonctions F′ et h s’annulent simultanément sur R∗+ .
4.e Calculer h(ak )h(ak + π/2).
4.f Utiliser l’encadrement de la question 4.e.
5 Étudier F′ sur ] 0 ; π ] puis montrer que F′ s’annule en xk en changeant de signe.
Z 1
8.a Intégrer par parties
f (t) e ixt dt.
0
8.b Exploiter le fait que f est C 1 .
8.c Utiliser l’expression obtenue à la question 8.a.
8.d Pour z ∈ C, on a | Re z| 6 |z| et | Im z| 6 |z|.
8.e Utiliser les propriétés de parité de If et Jf .
(
[ 0 ; 1 ] −→ R
10 Considérer la fonction 1 :
.
x 7−→ 1
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Premier problème
A.
Étude de ϕ1
1 Pour tous polynômes P et Q de R1 [X] et pour tout réel λ, on a par linéarité de
la dérivation
a+b
′
(λP + Q)
ϕ1 (λP + Q) = (X − a)(X − b)(λP + Q) − X −
2
a+b
= λ(X − a)(X − b)P′ − λ X −
P
2
a+b
Q
+(X − a)(X − b)Q′ − X −
2
c’est-à-dire
ϕ1 (λP + Q) = λϕ1 (P) + ϕ1 (Q)
Si α et β sont des réels quelconques,
d’où
a+b
ϕ1 (αX + β) = (X − a)(X − b)α − X −
(αX + β)
2
a+b
a+b
ϕ1 (αX + β) = − α
+ β X + αab + β
2
2
(1)
Par conséquent, ϕ1 est une application linéaire de R1 [X] dans R1 [X], c’est-à-dire que
ϕ1 est un endomorphisme de R1 [X].
2 En appliquant la relation (1) avec (α, β) = (0, 1), on trouve
ϕ1 (1) = −X +
a+b
2
a+b
X + ab
2
Ainsi, la matrice M1 de ϕ1 dans la base B1 = (1, X) est donnée par


a+b
ab


M1 =  2
a + b
−1
−
2
Avec (α, β) = (1, 0), il vient
ϕ1 (X) = −
3 Rappelons un des critères qui caractérisent un endomorphisme bijectif, aussi
appelé automorphisme :
ϕ1 bijective ⇐⇒ det ϕ1 6= 0
Par définition, det ϕ1 = det Mat B1 ϕ1 , d’où
ϕ1 bijective ⇐⇒ det M1 6= 0
Le calcul donne
det M1 = −
On en déduit que
a+b
2
2
+ ab = −
1 2
1
a + 2ab + b2 − 4ab = − (a − b)2
4
4
ϕ1 est bijective si et seulement si a 6= b.
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4.a L’ensemble R1 [X] est un R-espace vectoriel de dimension 2. La famille de polynômes B = (X − a, X − b) est une famille libre si a 6= b. En effet, soient α, β des
réels tels que
α(X − a) + β(X − b) = 0
En prenant successivement les valeurs en a et b du polynôme α(X − a) + β(X − b),
on obtient
β(a − b) = 0
et
α(b − a) = 0
ce qui implique, comme a 6= b, que (α, β) = (0, 0). Ainsi, B est une famille libre
de 2 vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 2 ce qui prouve que B est une
famille libre maximale. Autrement dit,
B est une base de R1 [X].
4.b En appliquant la relation (1) avec (α, β) = (1, −a), on trouve
a+b
a+b
a−b
ϕ1 (X − a) = −
− a X + ab − a ×
=
(X − a)
2
2
2
Pour (α, β) = (1, −b), il vient
a+b
a−b
a+b
ϕ1 (X − b) = −
− b X + ab − b ×
=−
(X − b)
2
2
2
On conclut que
M=
a−b
2
1
0
0
−1
On remarque immédiatement que cette matrice est diagonale. Le fait que
l’énoncé impose le calcul de la matrice de ϕ1 dans une base autre que la base
canonique éveille l’attention et laisse penser qu’une telle matrice doit avoir
une particularité.
4.c Puisque B1 est une base de R1 [X], tout élément de R1 [X] s’écrit comme une
unique combinaison linéaire des vecteurs de cette base. Étant donné que a 6= b,
1
(X − a) − (X − b) = (b − a) ⇐⇒ 1 =
((X − a) − (X − b))
b−a
1
et
b(X − a) − a(X − b) = (b − a)X ⇐⇒ X =
(b(X − a) − a(X − b))
b−a
On en déduit la matrice de passage de B1 à B, donnée par
1
1
b
PB,B1 =
b − a −1 −a
L’obtention de la matrice de passage de B à B1 est immédiate et elle est donnée par
−a −b
PB1 ,B =
1
1
On rappelle que ces matrices de passage sont liées par la relation
PB1 ,B −1 = PB,B1
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