télécharger le PDF

c
Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/19
Mines Maths toutes filières 2008 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Doctorant en mathématiques) ; il a
été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).
Cette épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
•Le premier problème consiste en l’étude d’un endomorphisme ϕnsur Rn[X].
Dans une première partie, on travaille dans le cas particulier où n= 1, ce
qui permet d’aborder bon nombre de notions d’algèbre linéaire au programme,
comme les changements de base, les matrices diagonales, la structure de sous-
espace vectoriel, les bases ainsi que les involutions. Dans la deuxième partie,
l’étude du noyau de ϕnrequiert des techniques d’analyse sur les équations dif-
férentielles et nécessite un soin particulier de rédaction pour travailler simulta-
nément avec des polynômes et les fonctions polynômes associées. La troisième
partie propose l’étude du lieu géométrique d’un point d’intersection de deux
courbes définies à partir de ϕ2.
•Le second problème est consacré à l’étude de deux fonctions. Une première par-
tie nécessite la mise en œuvre de notions essentielles en analyse sur la continuité
et la dérivation. Dans la deuxième partie, on démontre d’une part le lemme de
Riemann-Lebesgue pour des fonctions de classe C1, d’autre part la continuité
d’une certaine intégrale à paramètre.
Ce sujet est un très bon entraînement pour tester ses connaissances, tant en
algèbre qu’en analyse. Les questions purement calculatoires ne sont pas légion et
laissent le champ libre pour des questions plus fines sur le sens et l’usage des objets
mathématiques abordés au cours de la première année de classes préparatoires.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

c
Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/19
Indications
Premier Problème
3 Utiliser le déterminant.
4.c Écrire 1et Xcomme des combinaisons linéaires de (X −a)et (X −b).
4.e Remarquer que Mest diagonale.
5.a Vérifier que Γest un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
5.c Montrer que (I2,M1)est une famille libre.
6 L’application sest caractérisée par Ker (s+ Id ) et Ker (s−Id ).
8.a Voir fcomme un quotient de fonctions polynômes.
8.b La fonction fest de la forme g′/g.
8.d Pour P∈Ker (ϕ2p), définir la fonction polynôme e Passociée sur I. Utiliser alors
le résultat de la question 8.c.
8.e Distinguer a=bet a6=b.
10.b Poser x=1
aet écrire −2 a+ 2aen fonction de x.
10.c Vérifier que Eest l’ensemble des zéros d’un polynôme du deuxième degré en x
et yet que Eadmet deux droites concourantes asymptotes.
Second Problème
1.b Voir lim
x→0+F(x)et lim x→0+G(x)comme des dérivées.
2.d Utiliser les développements limités usuels
sin x=x+o(x2)et cos x= 1 −x2
2+o(x2)
4.a Remarquer que F(ak) = F(ak+1 ).
4.d Vérifier que les fonctions F′et hs’annulent simultanément sur R∗
+.
4.e Calculer h(ak)h(ak+π/2).
4.f Utiliser l’encadrement de la question 4.e.
5 Étudier F′sur ] 0 ; π]puis montrer que F′s’annule en xken changeant de signe.
8.a Intégrer par parties Z1
0
f(t) e ixt dt.
8.b Exploiter le fait que fest C1.
8.c Utiliser l’expression obtenue à la question 8.a.
8.d Pour z∈C, on a |Re z|6|z|et |Im z|6|z|.
8.e Utiliser les propriétés de parité de Ifet Jf.
10 Considérer la fonction 1:([ 0 ; 1 ] −→ R
x7−→ 1.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

c
Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/19
Premier problème
A. Étude de ϕ1
1Pour tous polynômes Pet Qde R1[X] et pour tout réel λ, on a par linéarité de
la dérivation
ϕ1(λP + Q) = (X −a)(X −b)(λP + Q)′−X−a+b
2(λP + Q)
=λ(X −a)(X −b)P′−λX−a+b
2P
+(X −a)(X −b)Q′−X−a+b
2Q
c’est-à-dire ϕ1(λP + Q) = λϕ1(P) + ϕ1(Q)
Si αet βsont des réels quelconques,
ϕ1(αX + β) = (X −a)(X −b)α−X−a+b
2(αX + β)
d’où ϕ1(αX + β) = −αa+b
2+βX + αab +βa+b 2(1)
Par conséquent, ϕ1est une application linéaire de R1[X] dans R1[X], c’est-à-dire que
ϕ1est un endomorphisme de R1[X].
2En appliquant la relation (1)avec (α, β) = (0,1), on trouve
ϕ1(1) = −X + a+b
2
Avec (α, β) = (1,0), il vient ϕ1(X) = −a+b
2X + ab
Ainsi, la matrice M1de ϕ1dans la base B1= (1,X) est donnée par
M1=
a+b
2ab
−1−a+b
2
3Rappelons un des critères qui caractérisent un endomorphisme bijectif, aussi
appelé automorphisme :
ϕ1bijective ⇐⇒ det ϕ16= 0
Par définition, det ϕ1= det Mat B1ϕ1, d’où
ϕ1bijective ⇐⇒ det M16= 0
Le calcul donne
det M1=−a+b
22
+ab =−1
4a2+ 2ab +b2−4ab=−1 4(a−b)2
On en déduit que ϕ1est bijective si et seulement si a6=b.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

c
Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/19
4.a L’ensemble R1[X] est un R-espace vectoriel de dimension 2. La famille de po-
lynômes B= (X −a, X−b)est une famille libre si a6=b. En effet, soient α, β des
réels tels que
α(X −a) + β(X −b) = 0
En prenant successivement les valeurs en aet bdu polynôme α(X −a) + β(X −b),
on obtient
β(a−b) = 0 et α(b−a) = 0
ce qui implique, comme a6=b, que (α, β) = (0,0). Ainsi, Best une famille libre
de 2 vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 2 ce qui prouve que Best une
famille libre maximale. Autrement dit,
Best une base de R1[X].
4.b En appliquant la relation (1)avec (α, β) = (1,−a), on trouve
ϕ1(X −a) = −a+b
2−aX + ab −a×a+b 2=a−b 2(X −a)
Pour (α, β) = (1,−b), il vient
ϕ1(X −b) = −a+b
2−bX + ab −b×a+b 2=−a−b 2(X −b)
On conclut que M = a−b
21 0
0−1
On remarque immédiatement que cette matrice est diagonale. Le fait que
l’énoncé impose le calcul de la matrice de ϕ1dans une base autre que la base
canonique éveille l’attention et laisse penser qu’une telle matrice doit avoir
une particularité.
4.c Puisque B1est une base de R1[X], tout élément de R1[X] s’écrit comme une
unique combinaison linéaire des vecteurs de cette base. Étant donné que a6=b,
(X −a)−(X −b) = (b−a)⇐⇒ 1 = 1
b−a((X −a)−(X −b))
et b(X −a)−a(X −b) = (b−a)X ⇐⇒ X = 1
b−a(b(X −a)−a(X −b))
On en déduit la matrice de passage de B1àB, donnée par
PB,B1=1
b−a1b
−1−a
L’obtention de la matrice de passage de BàB1est immédiate et elle est donnée par
PB1,B=−a−b
1 1
On rappelle que ces matrices de passage sont liées par la relation
PB1,B
−1= PB,B1
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .