DYNAMIQUE DES FLUIDES : ECOULEMENTS PARFAITS ∯ ∭

DYNAMIQUE DES FLUIDES : ECOULEMENTS PARFAITS
ρF , ext
Définition 1 : Densité volumique de force ⃗
⃗
ρF , ext =
d⃗
F ext
dτ
Equation d'Euler :
⃗
ρF , ext = μ( M , t) ⃗
a = μ ( M ,t )(∂ t (⃗v )+( v⃗.⃗
grad )( ⃗
v ))
Propriété 1 :
⃗
ρ pres = −⃗
grad ( P )
⃗ .⃗
u = ⃗
u .∯Σ P d ⃗
S i = −∯Σ P ⃗u . d ⃗
S e = −∭V div( P ⃗u )d τ où ⃗
u est
En effet, F
un champ uniforme. Or, div(P ⃗
u ) = P div(⃗u )+⃗
grad ( P). ⃗
u =⃗
grad ( P). ⃗
u .
⃗
⃗ . u⃗ = −∭ ( P ) ⃗u d τ = −⃗u .∭ ⃗
grad ( P)d τ , et ce pour tout u
Donc F
⃗ .
V
V
⃗ =∭ ⃗
ρ pres d τ = ∭ (−⃗
grad (P))d τ .
Donc F
V
V
Remarque 1 :
a // ⃗
v , i.e (−⃗
En écoulement unidimensionnel, ⃗
grad ( P)+⃗
ρext ).⃗
eN = 0 .
Théorème 1 : De Bernoulli
Soit un écoulement incompressible, soumis à des forces massiques
dérivant d'une énergie potentielle.
Cas 1 : Mouvement stationnaire
2
–
–
v
P
rot ( ⃗v ) = ⃗0 , alors
Si ⃗
+ μ + e p ,m = C .
2
v2
P
rot ( ⃗v ) ≠ 0⃗ , alors
Si ⃗
+ μ + e p , m = C (ligne de courant) .
2
Cas 2 : Mouvement instationnaire
2
–
v
P
Si ⃗v = ⃗
grad (φ) , alors ∂ t φ +
+ μ + e p , m = C ( t)
2
Propriété 2 : Effet Venturi
Il y a dépression dans la zone où les particules de fluides sont
accélérées.
μ S1 v1 = μ S2 v2 ⇒
v2
S
= 1
v2
S2
( )
S 21
μ 2 2
μ 2
P 2−P 1 = (v 1−v 2 ) = v 1 1− 2
2
2
S2
Exemple 1 : Applications
1) Sonde de Pitot
PB' ≃ PO'
1
P A+ μ air v 2 = P O
2
1
1
P B + μ air v 2 = P B ' + μair v 2
2
2
μH O
2
2
v = μ (P O −PO ' ) = 2 μ g ( hO −hO ' )
air
air
2
2) Pompe à eau/Vase de Tantale
Vase de Tantale :
– Oscillateur à relaxation (remplissage → Siphonnage)
–
μ q−μ s v siphon = ṁ = μ S ḣ
3) Siphon
Régime amorcé :
v uniforme dans le siphon
P A = P A +μ g A0 A1 = P 0+μ g A0 A1
1
P A = P A − μ v2
2
P A = P A −μ g A2 A3
1
0
2
1
3
2
v2 = 2 g H
Propriété 3 : Effet Coanda (force de portance)
μ⃗
a = −⃗
grad ( P)
v2
μ a.
⃗ ⃗n = μ
= −⃗
grad ( P)
R
Différence de pression sous et sur la sphère : =>
Force dirigée vers la pression basse.
=> Ci-contre, la force tend à porter la sphère.
Théorème 2 : De Torricelli (Temps de vidange d'un récipient)
Grandeurs caractéristiques : v jet , h , s≪ S
Approx. Quasi-stat (AQS) : ∂t ⃗
v ≪(⃗
v.⃗
grad ( v))(⃗v )
2
v
v
=> Il suffit de vérifier que τjet ≪ jet
h
Cons. Masse : v A dt = − ḣ dt ⇒ −S ḣ = s v jet = s √ 2 g h
τ ?
dh
s √g
s√ g
=−
dt ⇒ −√ h = −
τ ⇒ τ =
2 √h
S √2
S √2
AQS ?
v jet h
h
h s√ g
s
τ v2 = τ v = S √ 2 h √ 2 h g = 2 S ≪ 1
jet
jet
√
2h S
g s
Propriété 4 : Surface d'un tourbillon de Rankine
Rappel des propriétés :
Vitesse générale : v⃗ = v θ (r ) e⃗θ
rω
2
2
a ω
r > a ⇒ v =
2r
Expression : r < a ⇒ v =
Extérieur : ω
⃗ = ⃗0
–
Pression dans le fluide :
–
Hauteur de la surface :
1 2
P+ μ v +μ g z = C = P 0
2
v2
a4ω2
P = P0 ⇒ z = −
= −
2g
8 g r2
⃗ = 1ω
Intérieur : ω
⃗ ≠ ⃗0 et Ω
⃗
2
–
Chang. de référentiel :
–
Energie potentielle :
–
Pression dans le fluide :
–
Hauteur de la surface :
⃗
grad ( P) = μ ⃗
g −μ ⃗
a e = μ (⃗
g +Ω2 r ⃗
er )
1
E pie = − μ Ω2 r 2
2
1
a2 ω 2
P−μ g z + μ Ω2 r 2 = C 1 = P0 +μ
2
4
2
2
2
P = P 0 ⇒ z = ω ( r −2 a )
8g
Propriété 5 : Paradoxe de d'Alembert
Soit un écoulement irrotationnel autour d'un cylindre de rayon
⃗ . On
R , sans circulation, soumis à un courant de vitesse à l'infini
U
P
*
a donc k = 0 et ⃗
.
v =⃗
grad ( φ) . On définit la pression réduite P =
μU 2
Alors :
–
–
1
1
1
P (r , θ) = P 0+ μ (U 2−v 2) ⇒ P * = P *0+ (1−v *2) = P*0+ (1−4 sin2 θ)
2
2
2
2π
1
1
⃗
F p , h ,l =
Pd⃗
S int =
P(−⃗
e r ) R d θ dz = −∫0 P * (1,θ) d θ ⃗
er = ⃗
0
2∬
2 ∬
hμ U
hμU
Il n'y a donc pas de portance, ni de traînée.
Propriété 6 : Effet Magnus
Soit un écoulement irrotationnel autour d'un cylindre de rayon
⃗ , de circulation
R soumis à un courant de vitesse à l'infini U
k .
Alors :
–
1
P * = P *0+ (1−(k 2+4 sin 2 θ−4 k sin θ)) = T (θ , int nulle)−2 k sin θ
2
2π
2π
*
*
2
⃗
F .⃗
e = −
P (1, θ) ⃗
e .⃗
e d θ = −2 k
sin θ d θ = −2 π k
–
⃗
⃗ ∧Γ
⃗
F p ,l = −2 πμ U R k ⃗
e y = −μ U Γ e y = μ U
–
lin
y
∫0
r
y
∫0
2
Propriété 7 : Bilan de quantité de matière
Soit Σ un système et Σ * un volume de contrôlé de Σ tel que
*
Σ (t) = Σ(t )∪Σ 1 et Σ * (t+dt ) = Σ(t+dt )∪Σ2 . Alors :
D ⃗p
= ⃗
F ext
Dt
Où
⃗p (Σ(t+dt))+ ⃗p(Σ 2)− ⃗p(Σ( t))− ⃗p (Σ 1)
D ⃗p
.
= lim
Dt
dt
dt → 0
Exemple 2 : La Fusée !
–
–
–
u
Ejection de gaz à un débit q m à une vitesse ⃗
Masse M TOT = M 0+m(t) où ṁ = −q m .
v (t)
Vitesse ⃗
–
–
–
–
Σ1 = ∅
v (t)+⃗
u)
⃗p (Σ 2) = q m dt( ⃗
v ( t+dt )+d p gaz⃗,turbine
⃗p (Σ(t+dt)) = ( M 0+m(t+dt)) ⃗
⃗p (Σ(t)) = (M 0+m(t )) v⃗ (t)+d p gaz⃗, turbine
–
D ⃗p
d
dv
=
(M TOT ⃗v )+q m ⃗v +q m ⃗u = M TOT (t) ⃗ +q m ⃗
u =⃗
F ext
Dt
dt
dt
d ⃗v
= ⃗
F ext +⃗
F poussée où ⃗
F poussée = −q m ⃗
u
Finalement, M TOT (t)
dt
Méthode 1 : Calcul de forces de surpression
Parfois, il vaut mieux décomposer les forces de pressions pour se
ramener à une intégrale sur une surface fermée avec une
pression
constante (qui est alors nulle).
Exemple 3 : Quelques applications
1) Coude de canalisation
Conservation de la masse :
S v1 = S v2 ⇒ v1 = v2
Théorème de Bernoulli (ligne de courant) :
1
1
P 1+ μ v12 = P 2+ μ v 22 ⇒ P 1 = P 2
2
2
Bilan de quantité de mouvement :
⃗p (Σ 2)− ⃗p (Σ 1)
D ⃗p
= lim
= −μ v 21 S (⃗
e x +⃗
e y)
Dt
dt
dt → 0
Bilan des forces :
⃗
F ext = ⃗
Rcond →coude +⃗
F pres
⃗
F pres = ( P 1− P0 )S ( ⃗
e x +⃗
e y)
2
⃗
R cond → coude = −[( P1 −P 0)S +μ v1 S ](⃗
e x +⃗
e y)
2) Jet sur une plaque fixe
Conservation de la masse :
q 0 = q 1+q 2
Théorème de Bernoulli :
1
1
P 0+ μ v 20 = P 0+ μ v 21 ⇒ v 0 = v 1
2
2
1 2
1 2
P 0+ μ v 0 = P 0 + μ v 2 ⇒ v 0 = v 2
2
2
Bilan de quantité de mouvement :
D ⃗p
.⃗
e = μ v 20 ( s2 −s1−s 0 sin α) = 0
Dt y
Bilan des débits :
1
1
q 1 = q 0 (1+sin α) et q 2 = q0 (1−sin α)
2
2
Remarque 2 : Retour sur le tonneau percé
–
–
–
Le théorème de Bernoulli permet d'obtenir la vitesse
La conservation de la masse nous donne le temps de vidange
Le bilan de quantité de matière nous donne la section du jet