DYNAMIQUE DES FLUIDES : ECOULEMENTS PARFAITS ∯ ∭

DYNAMIQUE DES FLUIDES : ECOULEMENTS PARFAITS
Définition 1 : Densité volumique de force
⃗ ρF , ext
⃗ ρF , ext =d
⃗
Fext
dτ
Equation d'Euler :
⃗ ρF , ext = μ(M , t)⃗a= μ(M ,t )(∂t(⃗v)+( ⃗v.
⃗
grad)(⃗v))
Propriété 1 :
⃗ ρpres = −
⃗
grad (P)
En effet,
⃗
F.⃗ u=⃗ u.∯ΣP d
⃗
Si= −∯ΣP⃗ u.d
⃗
Se= −∭Vdiv(P⃗ u)dτ
où
⃗
u
est
un champ uniforme. Or,
div(P⃗u) = Pdiv(⃗u)+
⃗
grad (P).⃗u=
⃗
grad (P).⃗u
.
Donc
⃗
F.⃗ u= −∭V
⃗
(P)⃗ u d τ = −⃗ u.∭V
⃗
grad (P)dτ
, et ce pour tout
⃗
u
.
Donc
⃗
F=∭V ⃗ ρpres dτ = ∭V(−
⃗
grad (P))dτ
.
Remarque 1 :
En écoulement unidimensionnel,
⃗
a// ⃗ v
, i.e
(−
⃗
grad (P)+ ⃗ ρext ). ⃗ eN=0
.
Théorème 1 : De Bernoulli
Soit un écoulement incompressible, soumis à des forces massiques
dérivant d'une énergie potentielle.
Cas 1 : Mouvement stationnaire
–Si
⃗
rot (⃗ v) = ⃗ 0
, alors
v2
2+P
μ+ep ,m =C
.
–Si
⃗
rot (⃗ v) ≠ ⃗ 0
, alors
v2
2+P
μ+ep , m =C(ligne de courant)
.
Cas 2 : Mouvement instationnaire
–Si
⃗v=
⃗
grad (φ)
, alors
∂tφ + v2
2+P
μ+ep , m =C(t)

Propriété 2 : Effet Venturi
Il y a dépression dans la zone où les particules de fluides sont
accélérées.
μS1v1= μ S2v2⇒v2
v2
=S1
S2
P2−P1=μ
2(v1
2−v2 2) = μ
2v1
2
(
1−S1
2
S2
2
)
Exemple 1 : Applications
1) Sonde de Pitot
PB ' ≃PO'
PA+1
2μair v2=PO
PB+1
2μair v2=PB' +1 2μair v2
v2=2
μair (PO−PO ') = 2μH2O μair g(hO−hO ')
2) Pompe à eau/Vase de Tantale
Vase de Tantale :
–Oscillateur à relaxation (remplissage
→
Siphonnage)
–
μq−μ s vsiphon =˙ m= μ S˙ h

3) Siphon
Régime amorcé :
v
uniforme dans le siphon
PA1=PA0+μ g A0A1=P0+μ g A0A1
PA2=PA1−1
2μv2
PA3=PA2−μ g A2A3
v2=2g H
Propriété 3 : Effet Coanda (force de portance)
μ⃗a= −
⃗
grad (P)
μ ⃗a. ⃗ n= μ v2
R= −
⃗
grad (P)
Différence de pression sous et sur la sphère : =>
Force dirigée vers la pression basse.
=> Ci-contre, la force tend à porter la sphère.
Théorème 2 : De Torricelli (Temps de vidange d'un récipient)
Grandeurs caractéristiques :
vjet
,
h
,
s≪S
Approx. Quasi-stat (AQS) :
∂t⃗v≪(⃗v.
⃗
grad (v))(⃗v)
=> Il suffit de vérifier que
vjet
τ≪vjet
2
h
Cons. Masse :
vAdt = − ˙ h dt ⇒ −S˙ h=sv jet =s
√
2g h
τ
?
dh
2
√
h= − s
√
g
S
√
2dt ⇒ −
√
h= − s
√
g
S
√
2τ ⇒ τ =
√
2h
g
S
s
AQS ?
vjet
τh
vjet
2=h
τvjet
=h s
√
g
S
√
2h
√
2h g =s
2S≪1

Propriété 4 : Surface d'un tourbillon de Rankine
Rappel des propriétés :
Vitesse générale :
⃗
v=vθ(r)
⃗
eθ
Expression :
r<a⇒v=rω
2
r>a⇒v=a2ω
2r
Extérieur :
⃗
ω = ⃗ 0
–Pression dans le fluide :
P+1
2μv2+μ g z =C=P0
–Hauteur de la surface :
P=P0⇒z= − v2
2g= − a4ω2
8g r2
Intérieur :
⃗
ω ≠ ⃗ 0
et
⃗
Ω = 1
2⃗
ω
–Chang. de référentiel :
⃗
grad (P) = μ ⃗g−μ ⃗ ae= μ(⃗g+Ω2r ⃗ er)
–Energie potentielle :
Epie = − 1
2μ Ω2r2
–Pression dans le fluide :
P−μ g z +1
2μΩ2r2=C1=P0+μ a2ω2 4
–Hauteur de la surface :
P=P0⇒z=ω2
8g(r2−2a2)
Propriété 5 : Paradoxe de d'Alembert
Soit un écoulement irrotationnel autour d'un cylindre de rayon
R
, sans circulation, soumis à un courant de vitesse à l'infini
⃗
U
. On
a donc
k=0
et
⃗v=
⃗
grad (φ)
. On définit la pression réduite
P*=P
μU2
.
Alors :
–
P(r , θ) = P0+1
2μ(U2−v2) ⇒ P*=P0
*+1
2(1−v*2) = P0
*+1
2(1−4 sin2θ)
–
⃗
Fp , h , l =1
hμU2∬P d
⃗
Sint =1
hμU2∬P(−
⃗
er)R d θdz = −∫0
2πP*(1,θ)dθ
⃗
er=⃗ 0
Il n'y a donc pas de portance, ni de traînée.

Propriété 6 : Effet Magnus
Soit un écoulement irrotationnel autour d'un cylindre de rayon
R
soumis à un courant de vitesse à l'infini
⃗
U
, de circulation
k
.
Alors :
–
P*=P0
*+1
2(1−(k2+4 sin2θ−4ksin θ)) = T(θ ,int nulle)−2ksin θ
–
⃗
Flin
*.
⃗
ey= −∫0
2πP*(1, θ)
⃗
er.
⃗
eydθ = −2k∫0
2πsin2θdθ = −2πk
–
⃗
Fp ,l = −2πμ U2R k ⃗ ey= −μUΓey= μ ⃗ U∧⃗ Γ
Propriété 7 : Bilan de quantité de matière
Soit
Σ
un système et
Σ*
un volume de contrôlé de
Σ
tel que
Σ*(t) = Σ(t)∪Σ1
et
Σ*(t+dt ) = Σ(t+dt )∪Σ2
. Alors :
D⃗ p
D t =
⃗
Fext
Où
D⃗p
D t =lim
dt →0
⃗
p(Σ(t+dt ))+⃗ p(Σ2)−⃗ p(Σ(t))−⃗ p(Σ1)
dt
.
Exemple 2 : La Fusée !
–Ejection de gaz à un débit
qm
à une vitesse
⃗
u
–Masse
MTOT =M0+m(t)
où
˙
m= −qm
.
–Vitesse
⃗
v(t)
–
Σ1= ∅
–
⃗
p(Σ2) = qmdt(⃗ v(t)+⃗ u)
–
⃗
p(Σ(t+dt)) = (M0+m(t+dt ))⃗ v(t+dt)+d⃗ pgaz ,turbine
–
⃗
p(Σ(t)) = (M0+m(t))⃗ v(t)+d⃗ pgaz , turbine
–
D⃗ p
D t =d dt (MTOT ⃗
v)+qm⃗ v+qm⃗ u=MTOT (t)d⃗
v
dt +qm⃗
u=
⃗
Fext
Finalement,
MTOT (t)d⃗
v
dt =
⃗
Fext+
⃗
Fpoussée
où
⃗
Fpoussée = −qm⃗ u
Méthode 1 : Calcul de forces de surpression
Parfois, il vaut mieux décomposer les forces de pressions pour se
ramener à une intégrale sur une surface fermée avec une pression
constante (qui est alors nulle).