Equations de Reynolds

1
Approximation de lubrification : écoulements
quasiparallèles quasi-stationnaires
•(v.grad)v << ν Δ vsi
•
∂ v/ ∂ t<< ν Δ vsi
(temps Td’évolution >> temps de diffusion visqueuse)
⇒Ecoulement localement identique à un écoulement parallèle
Mais vitesse et gradient de pression varien
t
lentemen
t
avec x
1
Re o
Uh
ν
θ
=
<<
2
0
h
T >>
ν
Equation de Reynolds de la lubrification
362
p
Uhh
hhU
x
xxxt
μ
∂∂ ∂ ∂ ∂
⎡⎤⎡ ⎤
=++
⎢⎥⎢ ⎥
∂∂ ∂ ∂∂
⎣⎦⎣ ⎦
hh
VU
tx
∂∂
=−
∂∂
362
pUh
hhUV
xx x x
μ
∂∂ ∂ ∂
⎡
⎤⎡ ⎤
=−+
⎢
⎥⎢ ⎥
∂∂ ∂ ∂
⎣
⎦⎣ ⎦
3(,) (,) (,)(,)
(,) 12 2
h xt pxt U xthxt
Qxt x
μ
∂
=− +
∂hQ
tx
∂
∂
=−
∂
∂
y
xx+dx
Q(x,t) h(x,t) (U,V)
x
O

2
Généralisation à 3 dimensions de l’équation de Reynolds
.
hVh
t
∂=−
∂U
g
rad
r
[
]
3
div = 6 2hp hdiv hV μ
⎡⎤ +
⎣⎦
grad U-U.grad
332
div = h p + 3 h h. p
= 6 2
hp
h
hdiv h t
μ
⎡⎤
Δ
⎣⎦
∂
⎡
⎤
+
⎢
⎥
∂
⎣
⎦
grad grad grad
U+U.grad
3(,)
12 2
hxt h
p
μ
=− +
r
rU
Qgrad
•Couche d’épaisseur h(x,z) << Lx, Lz∂h/∂x << 1, ∂h/∂z << 1
hdiv
t
∂
=−
∂Q
Descente d’un cylindre vers un plan
¾h = cst./x,z ⇒
¾Equilibre force de pression-force appliquée (poids etc...)
3
112
p = =
pdh
r
rr r h dt
μ ∂∂
⎛⎞
Δ⎜⎟
∂∂
⎝⎠
1/2
4
1/2
31
h(t) = 4| | ( )
ext o
R
Ftt
πμ
⎡⎤
⎢⎥
+
⎣⎦
1/4
2
01/4
31
h(t) = 8| | ( )
ext o
V
Ftt
η
π
⎡⎤
⎢⎥
+
⎣⎦
Avec :8π t0⏐Fext⏐= 3μV02/h04 avec: 4t0⏐Fext⏐= 3π μ R4/h02

3
•Ecoulements entre plaques parallèles très proches.
•Lignes de courant reproduisant un écoulement potentiel 2D autour des
obstacles placés entre les plaques.
Cellule de Hele Shaw
Document Ladhyx Ecole Polytechnique
Forces de lubrification entre cylindres de diamètre proche
1. Apparition de pressions importantes pendant la rotation
2. Variations de pression changeant de sens avec le sens de rotation
3. Dépressions suffisantes pour créer des bulles.

4
Ecoulement entre deux cylindres d’axes parallèles
•Modélisation comme l’espace entre un plan mobile et une surface courbe.
•Variation de pression antisymétrique par rapport au point d’ouverture minimum
•Force résultante verticale sur l’axe si le point d’épaisseur minimum n’est pas à la
verticale de O.
x
δR(1-λ)δR(1+λ)
x = θR
πR
−πR-2R -R R 2R
Pression
πR
δR(1+λ)
−πR0
ΩR
(a.u.)
y
e(x)
•Vitesse nulle sur la paroi, contrainte
nulle sur la surface, p=pat àla
surface
•Injection liquide à débit constant q
Chute d’un film liquide sur une paroi verticale
q
y
x
h
ρ
μ
pat
g
2
1
x
v
pg
x
y
ν
ρ
∂
∂−=
∂∂
0
p
y
∂=
∂
x
v(2)
2g
y
hy
ρ
μ
=− 3
03
h
x
g
h
qvdy
ρ
μ
==
∫
0
p
x
∂
=
∂
1/3
hq∝

5
•Force par unité de longueur 2γ(2 interfaces pour un film liquide)
•Pour une ligne sur une interface, si γ = cst. Équilibre entre les forces
de part et d’autre d’une ligne tracée sur l’interface.
•Avec une variation de tension superficielle sur l’interface :
déséquilibre des forces et écoulements par effets Marangoni
Force sur un film fluide : tension superficielle
dW = F dl = 2 L dl = 2 dS
γ
γ
•Le tensioactif abaisse la tension superficielle à l’intérieur de la boucle
•Le liquide extérieur tire plus fort sur la boucle que l’intérieur et celle-
ci prend une aire maximale (avec une forme circulaire).
Déséquilibre de forces créé par un tensioactif
Document
NCFMF