Equations de Reynolds

Approximation de lubrification : écoulements
quasiparallèles quasi-stationnaires
• (v.grad)v << ν Δv si
• ∂v/∂ t<< ν Δv si
Re =
T >>
h 02
Uho
ν
<<
1
θ
ν
(temps T d’évolution >> temps de diffusion visqueuse)
⇒Ecoulement localement identique à un écoulement parallèle
Mais vitesse et gradient de pression varient lentement avec x
Equation de Reynolds de la lubrification
x x+dx
y
(U,V)
Q(x,t)
h(x,t)
O
x
h3 ( x, t ) ∂p ( x, t ) U ( x, t )h( x, t )
+
Q ( x, t ) = −
12 μ
∂x
2
∂h
∂Q
=−
∂t
∂x
∂ ⎡ 3 ∂p ⎤
∂h
∂h ⎤
⎡ ∂U
h
h
U
6
μ
2
=
+
+
⎢⎣ ∂x
∂x ⎢⎣ ∂x ⎥⎦
∂x
∂t ⎥⎦
∂h
∂h
= V −U
∂t
∂x
∂ ⎡ 3 ∂p ⎤
∂h
⎡ ∂U
⎤
= 6μ ⎢ h
−U
+ 2V ⎥
h
⎢
⎥
∂x ⎣ ∂x ⎦
∂x
⎣ ∂x
⎦
1
Généralisation à 3 dimensions de l’équation de Reynolds
• Couche d’épaisseur h(x,z) << Lx, Lz ∂h/∂x << 1, ∂h/∂z << 1
r
r
h 3 ( x, t )
Uh
Q=−
grad p +
12 μ
2
∂h
= − div Q
∂t
div ⎡⎣ h3gradp ⎤⎦ = h 3 Δp + 3 h 2 grad h.grad p
∂h ⎤
⎡
= 6μ ⎢ h div U + U.grad h + 2 ⎥
∂t ⎦
⎣
r
∂h
= V − U . grad h
∂t
div ⎡⎣ h3gradp ⎤⎦ = 6μ [ h div U - U.grad h + 2V ]
Descente d’un cylindre vers un plan
1 ∂ ⎛ ∂p ⎞ 12 μ dh
⎜r ⎟= 3
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
h dt
¾ Equilibre force de pression-force appliquée (poids etc...)
¾ h = cst./x,z ⇒
⎡ 3ηV02
h(t) = ⎢
⎣ 8π | Fext
Δp =
1/ 4
⎤
⎥
|⎦
1/ 2
1
(t + to )1/ 4
⎡ 3πμ R 4 ⎤
h(t) = ⎢
⎥
⎣ 4 | Fext | ⎦
1
(t + to )1/ 2
Avec :8π t0⏐Fext⏐= 3μ V02/h04 avec: 4t0⏐Fext⏐= 3π μ R4/h02
2
Cellule de Hele Shaw
Document Ladhyx Ecole Polytechnique
• Ecoulements entre plaques parallèles très proches.
• Lignes de courant reproduisant un écoulement potentiel 2D autour des
obstacles placés entre les plaques.
Forces de lubrification entre cylindres de diamètre proche
1. Apparition de pressions importantes pendant la rotation
2. Variations de pression changeant de sens avec le sens de rotation
3. Dépressions suffisantes pour créer des bulles.
3
Ecoulement entre deux cylindres d’axes parallèles
y
Pression (a.u.)
x = θR
−πR
-2R
R
-R
δR(1+λ)
ΩR
δR(1-λ)
−πR
πR
2R
δR(1+λ)
e(x)
πR
0
x
• Modélisation comme l’espace entre un plan mobile et une surface courbe.
• Variation de pression antisymétrique par rapport au point d’ouverture minimum
• Force résultante verticale sur l’axe si le point d’épaisseur minimum n’est pas à la
verticale de O.
Chute d’un film liquide sur une paroi verticale
• Vitesse nulle sur la paroi, contrainte
nulle sur la surface, p=pat à la
surface
• Injection liquide à débit constant q
∂p
=0
∂y
q
∂p
=0
∂x
∂v
1 ∂p
− g = ν x2
ρ ∂x
∂y
ρg
vx =
y (2h − y )
2μ
ρ gh3
q = ∫ vx dy =
3μ
0
h ∝ q1/ 3
y
g
pat
h
h
ρ
μ
x
4
Force sur un film fluide : tension superficielle
dW = F dl = 2 γ L dl = 2γ dS
• Force par unité de longueur 2γ (2 interfaces pour un film liquide)
• Pour une ligne sur une interface, si γ = cst. Équilibre entre les forces
de part et d’autre d’une ligne tracée sur l’interface.
• Avec une variation de tension superficielle sur l’interface :
déséquilibre des forces et écoulements par effets Marangoni
Déséquilibre de forces créé par un tensioactif
Document
NCFMF
• Le tensioactif abaisse la tension superficielle à l’intérieur de la boucle
• Le liquide extérieur tire plus fort sur la boucle que l’intérieur et celleci prend une aire maximale (avec une forme circulaire).
5
Effet Marangoni dû à de l’alcool
Document
NCFMF
• Les vapeurs d’alcool abaissent la tension superficielle
• Liquide tiré vers la zone non contaminée
• Phénomène voisin des larmes de vin
Effet Marangoni dû à des charges électriques
Document
NCFMF
• Effet de pile entre le mercure et un clou en présence d’un électrolyte
• Appport de charges modifiant la tension superficielle du mercure avec
l’électrolyte et produisant des mouvements du mercure
6
Effet Marangoni thermique
Document
NCFMF
• Elevation de température par le fer à souder abaissant la tension
superficielle
liquide chassé vers les régions plus froides.
• Effet inverse avec la glace
Instabilité de Bénard-Marangoni
Document
NCFMF
• Couche liquide à surface libre chauffée par en dessous
• Mouvement du gradients de γ à cause des variations de T en surface
• Instabilité de Rayleigh-Bénard différente entre deux plaques
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Effet Marangoni thermique : film infini
T
γ (T) = γ (To) (1 - b (T- To) )
d γ ∂T
∂γ
⎛ ∂T ⎞
=
= - b γ (To ) ⎜
⎟
∂x
dT ∂x
⎝ ∂x ⎠
x1
F1
L
z
x2
x
F2
dx
• Contrainte sur un élément de surface en présence d’un gradient de T
F −F
(γ 2 − γ 1 ) L
dF
∂γ
⎛ ∂T ⎞
σ xy(γ ) =
= 2 1=
=
= -b γ (To ) ⎜
⎟
L dx
L dx
L dx
p = p atmosphérique +ρ g (a - y)
⎛ ∂T
⎝ ∂x
σ xy(γ ) +σ xy( n ) = -b γ (To ) ⎜
∂x
∂ 2 vx
μ
=0
∂y 2
⎞ ⎛ ∂vx ⎞
=0
⎟
⎟- μ ⎜
⎠ ⎝ ∂y ⎠int erface
⎝ ∂x ⎠
vx (y)= -
b γ (To ) ⎛ ∂T
μ ⎜⎝ ∂x
⎞
⎟y
⎠
Effet Marangoni thermique : film de longueur finie
∂γ
⎛ ∂T ⎞
= - b γ (To ) ⎜
⎟
∂x
⎝ ∂x ⎠
y
p=p
atmosphérique
dγ > 0
dx
dT < 0
dx
a
h(x)
v (y)
x
⎛ ∂v ⎞
⎛ ∂T ⎞
μ⎜ x ⎟
=- b γ (To ) ⎜
⎟
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y ⎠int erface
x
O
• Accumulation de fluide à l’extrêmité créant
un gradient de pression
a
• En régime stationnaire :
v ( y ) dy = 0
∫
μ
∂ 2 vx ∂p
dh
= =ρ g
2
∂y
∂x
dx
μρ g dh 2h
⎛ dT ⎞
= −bγ (Τo ) ⎜
⎟
μ dx 3
⎝ dx ⎠
0
vx =
x
ρ g dh ⎛ y 2 hy ⎞
⎜ − ⎟
μ dx ⎝ 2 3 ⎠
h 2 (x) - h 2 (x 0 ) = -
3bγ (Τo ) ⎛ dT
ρ g ⎜⎝ dx
⎞
⎟ ( x − xo )
⎠
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